Posts by Tiberiu Popoviciu

théorie des fongtions. - Sur un problème de maximum de Sticlijes. Note de M. Tibère Popoviciu.

donc que $\log f(x)$$\log f(x)$log f(x)\log f(x)$\log f(x)$ est concave.
2. Hypothèses faites sur les points $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$. - Nous dirons que les $n$$n$nn$n$ points $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$, $x_2,\dots ,x_n$$x_2,\dots ,x_n$x_(2),dots,x_(n)x_{2}, \ldots, x_{n}$x_2,\dots ,x_n$ de l'axe réel ont une distribution donnée $[k_1,k_2,\dots ,k_m]\mathrm{si}$$\left[k_1,k_2,\dots ,k_m\right]\mathrm{si}$[k_(1),k_(2),dots,k_(m)]si\left[k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}\right] \mathrm{si}$[k_1,k_2,\dots ,k_m]\mathrm{si}$, parmi ces points, il y en a $k_i$$k_i$k_(i)k_{i}$k_i$ dans l'intervalle $(a_i,b_i)(i=1,\dots ,m)$$\left(a_i,b_i\right)(i=1,\dots ,m)$(a_(i),b_(i))(i=1,dots,m)\left(a_{i}, b_{i}\right)(i=1, \ldots, m)$(a_i,b_i)(i=1,\dots ,m)$. On a $k_i\geqq 0,k_1+k_2+\dots +k_m=n$$k_i\geqq 0,k_1+k_2+\dots +k_m=n$k_(i) >= 0,k_(1)+k_(2)+dots+k_(m)=nk_{i} \geqq 0, k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{m}=n$k_i\geqq 0,k_1+k_2+\dots +k_m=n$. Nous dirons que deux distributions différentes $[k_1,k_2,\dots ,k_m]$$\left[k_1,k_2,\dots ,k_m\right]$[k_(1),k_(2),dots,k_(m)]\left[k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}\right]$[k_1,k_2,\dots ,k_m]$ et $[k_1^{\prime },k_2^{\prime },\dots ,k_m^{\prime }]$$\left[k_1^{\prime },k_2^{\prime },\dots ,k_m^{\prime }\right]$[k_(1)^('),k_(2)^('),dots,k_(m)^(')]\left[k_{1}^{\prime}, k_{2}^{\prime}, \ldots, k_{m}^{\prime}\right]$[k_1^{\prime },k_2^{\prime },\dots ,k_m^{\prime }]$ de $n$$n$nn$n$ points $x_1<x_2<\dots <x_n$$x_1<x_2<\dots <x_n$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}$x_1<x_2<\dots <x_n$ (dont aucun ne coïncide avec un $a_i$$a_i$a_(i)a_{i}$a_i$ ou un $b_i$$b_i$b_(i)b_{i}$b_i$ ) et $x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_n^{\prime }$$x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_n^{\prime }$x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n)^(')x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_n^{\prime }$ respectivement, sont consécutives si on peut choisir les points $x_i^{\prime }$$x_i^{\prime }$x_(i)^(')x_{i}^{\prime}$x_i^{\prime }$ de manière que l'on ait
$x_1<x_1^{\prime }<x_2<x_2^{\prime }<\dots <x_n<x_n^{\prime }$$x_1<x_1^{\prime }<x_2<x_2^{\prime }<\dots <x_n<x_n^{\prime }$x_(1) < x_(1)^(') < x_(2) < x_(2)^(') < dots < x_(n) < x_(n)^(')quadx_{1}<x_{1}^{\prime}<x_{2}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n}<x_{n}^{\prime} \quad$x_1<x_1^{\prime }<x_2<x_2^{\prime }<\dots <x_n<x_n^{\prime }$ ou $x_1^{\prime }<x_1<x_2^{\prime }<x_2<\dots <x_n^{\prime }<x_n$$x_1^{\prime }<x_1<x_2^{\prime }<x_2<\dots <x_n^{\prime }<x_n$quadx_(1)^(') < x_(1) < x_(2)^(') < x_(2) < dots < x_(n)^(') < x_(n)\quad x_{1}^{\prime}<x_{1}<x_{2}^{\prime}<x_{2}<\ldots<x_{n}^{\prime}<x_{n}$x_1^{\prime }<x_1<x_2^{\prime }<x_2<\dots <x_n^{\prime }<x_n$.
Nous dirons aussi que deux distributions $[l_1,l_2,\dots ,l_m]$$\left[l_1,l_2,\dots ,l_m\right]$[l_(1),l_(2),dots,l_(m)]\left[l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{m}\right]$[l_1,l_2,\dots ,l_m]$ et $[h_1,h_2,\dots ,h_m]$$\left[h_1,h_2,\dots ,h_m\right]$[h_(1),h_(2),dots,h_(m)]\left[h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{m}\right]$[h_1,h_2,\dots ,h_m]$ de $n$$n$nn$n$ points $x_1<x_2<\dots <n_n$$x_1<x_2<\dots <n_n$x_(1) < x_(2) < dots < n_(n)x_{1}<x_{2}<\ldots<n_{n}$x_1<x_2<\dots <n_n$ et de $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$ points $y_1,y_2,\dots ,y_{n-1}$$y_1,y_2,\dots ,y_{n-1}$y_(1),y_(2),dots,y_(n-1)y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n-1}$y_1,y_2,\dots ,y_{n-1}$ respectivement, sont consécutives si on peut choisir les points $y_i$$y_i$y_(i)y_{i}$y_i$ de manière que l'on ait $x_1<y_1<x_2<\dots <y_{n-1}<x_n$$x_1<y_1<x_2<\dots <y_{n-1}<x_n$x_(1) < y_(1) < x_(2) < dots < y_(n-1) < x_(n)x_{1}<y_{1}<x_{2}<\ldots<y_{n-1}<x_{n}$x_1<y_1<x_2<\dots <y_{n-1}<x_n$.
3. Position du problème. - La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ étant une fonction ( C ) et les points $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ ayant une distribution donnée, nous avons étudié le maximum de l'expression

${\xi }_{n,i}^{\prime }$${\xi }_{n,i}^{\prime }$xi_(n,i)^(')\xi_{n, i}^{\prime}${\xi }_{n,i}^{\prime }$ étant le système maximisant de $g(x)$$g(x)$g(x)g(x)$g(x)$ correspondant au même problème.
IV. Les systèmes maximisants ${\xi }_{n,i},{\xi }_{n,i}^{\prime }$${\xi }_{n,i},{\xi }_{n,i}^{\prime }$xi_(n,i),xi_(n,i)^(')\xi_{n, i}, \xi_{n, i}^{\prime}${\xi }_{n,i},{\xi }_{n,i}^{\prime }$ correspondant, pour la mème fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, à deux distributions consécutives de $n$$n$nn$n$ points, se séparent. On a donc
${\xi }_{n,1}<{\xi }_{n,1}^{\prime }<{\xi }_{n,2}<\dots <{\xi }_{n,n}<{\xi }_{n,n}^{\prime }$${\xi }_{n,1}<{\xi }_{n,1}^{\prime }<{\xi }_{n,2}<\dots <{\xi }_{n,n}<{\xi }_{n,n}^{\prime }$xi_(n,1) < xi_(n,1)^(') < xi_(n,2) < dots < xi_(n,n) < xi_(n,n)^(')quad\xi_{n, 1}<\xi_{n, 1}^{\prime}<\xi_{n, 2}<\ldots<\xi_{n, n}<\xi_{n, n}^{\prime} \quad${\xi }_{n,1}<{\xi }_{n,1}^{\prime }<{\xi }_{n,2}<\dots <{\xi }_{n,n}<{\xi }_{n,n}^{\prime }$ ou ${\xi }_{n,1}^{\prime }<{\xi }_{n,1}<{\xi }_{n,2}^{\prime }<\dots <{\xi }_{n,n}^{\prime }<{\xi }_{n,n}$${\xi }_{n,1}^{\prime }<{\xi }_{n,1}<{\xi }_{n,2}^{\prime }<\dots <{\xi }_{n,n}^{\prime }<{\xi }_{n,n}$quadxi_(n,1)^(') < xi_(n,1) < xi_(n,2)^(') < dots < xi_(n,n)^(') < xi_(n,n)\quad \xi_{n, 1}^{\prime}<\xi_{n, 1}<\xi_{n, 2}^{\prime}<\ldots<\xi_{n, n}^{\prime}<\xi_{n, n}${\xi }_{n,1}^{\prime }<{\xi }_{n,1}<{\xi }_{n,2}^{\prime }<\dots <{\xi }_{n,n}^{\prime }<{\xi }_{n,n}$.
V. Les systèmes maximisants ${\xi }_{n,i},{\xi }_{n-1,i}$${\xi }_{n,i},{\xi }_{n-1,i}$xi_(n,i),xi_(n-1,i)\xi_{n, i}, \xi_{n-1, i}${\xi }_{n,i},{\xi }_{n-1,i}$ correspondant, pour la même fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, à deux distributions consécutives de net de n-1 points, se séparent. On a donc

On peut dire que deux systèmes maximisants de $n$$n$nn$n$ points ou bien de $n$$n$nn$n$ et $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$ points se séparent toujours, à moins que cette séparation ne soit visiblement impossible.
5. Le problème de Stieltjes. - Le cas particulier

a été examiné par Th. Stieltjes, qui a obtenu les propriétés I et II d'une autre manière ${}^{(1)}$${}^{(1)}$^((1)){ }^{(1)}${}^{(1)}$ Dans ce cas, le polynome $\mathrm{P}(x)=\prod _{i=1}^n(x-{\xi }_{n,i})$$\mathrm{P}(x)=\prod _{i=1}^n \left(x-{\xi }_{n,i}\right)$P(x)=prod_(i=1)^(n)(x-xi_(n,i))\mathrm{P}(x)=\prod_{i=1}^{n}\left(x-\xi_{n, i}\right)$\mathrm{P}(x)=\prod _{i=1}^n(x-{\xi }_{n,i})$ vérifie une équation différentielle linéaire de la forme

$\psi (x)$$\psi (x)$psi(x)\psi(x)$\psi (x)$ étant un certain polynome de degré $2m-2$$2m-2$2m-22 m-2$2m-2$.
Nous avons obtenu les propriétés IV et V en montrant qu'il suffit de faire la démonstration pour ce cas particulier et même seulement pour certaines valeurs particulières des constantes ${\sigma }_i$${\sigma }_i$sigma_(i)\sigma_{i}${\sigma }_i$ et ${\rho }_i$${\rho }_i$rho_(i)\rho_{i}${\rho }_i$.

La propriété IV est une généralisation, très étendue, de certains résultats de F. Klein ( ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ ) et E. B. van Vleck ( ${}^3$${}^3$^(3){ }^{3}${}^3$ ). La propriété V se rattache, pour $m=\mathrm{I}$$m=\mathrm{I}$m=Im=\mathrm{I}$m=\mathrm{I}$, à la théorie des polynomes de Jacobi ( ${}^4$${}^4$^(4){ }^{4}${}^4$ ).