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Tiberiu Popoviciu

Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the approximations of continuous functions of a real variable by polynomials

Auteur(s)

T. Popoviciu

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https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/11/1942-a-176-Popoviciu-Ann.-Sci.-Univ.-Jassy-Sur-lapproximations-des-fonctions-continues-dune-variable-reelle-par-des-polynomes.pdf

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur les l’approximations des fonctions continues d’une variable réelle par des polynomes, Ann. Sci. Univ. Iassy, 28 (1942) p. 208 (in French).

Sur ce travail

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Ann. Sci. Univ. Iassy

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[MR0018270]

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1942-a-176-Popoviciu-Ann.-Sci.-Univ.-Jassy-Sur-lapproximations-des-fonctions-continues-dune-variable

SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS CONTINUES D'UNE VARIABLE RÉELLE PAR DES POLYNOMES

par

TIBERIU POPOVICIU

Dans un travail précédent 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) nous avons montré que les polynomes de M. S. Bernstein
P n ( x ; f ) = ∑ i = 0 n f ( i n ) ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i P n ( x ; f ) = ∑ i = 0 n   f i n ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i P_(n)(x;f)=sum_(i=0)^(n)f((i)/(n))((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)P_{n}(x ; f)=\sum_{i=0}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}Pn(x;f)=∑i=0nf(in)(ni)xi(1−x)n−i
donnent, pour la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) continue dans l'intervalle fermé [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1], une approximation de l'ordre de ω ( 1 n ) ω 1 n omega((1)/(sqrtn))\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)ω(1n) si ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ) est le module d'oscillation de f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x). Voici une démonstration plus simple de ce résultat.
Si nous remarquons que ∑ i = 0 n ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i = 1 ∑ i = 0 n   ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i = 1 sum_(i=0)^(n)((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)=1\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}=1∑i=0n(ni)xi(1−x)n−i=1, les propriétés connues de ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ) nous donnent
| f ( x ) − P n ( x ; f ) | ≤ ( 1 δ ∑ i = 0 n | x − i n | ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i + 1 ) ω { δ } , x ∈ [ 0 , 1 ] . f ( x ) − P n ( x ; f ) ≤ 1 δ ∑ i = 0 n   x − i n ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i + 1 ω { δ } , x ∈ [ 0 , 1 ] . |f(x)-P_(n)(x;f)| <= ((1)/(delta)sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)+1)omega{delta},quad x in[0,1].\left|f(x)-P_{n}(x ; f)\right| \leq\left(\frac{1}{\delta} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}+1\right) \omega\{\delta\}, \quad x \in[0,1] .|f(x)−Pn(x;f)|≤(1δ∑i=0n|x−in|(ni)xi(1−x)n−i+1)ω{δ},x∈[0,1].
Mais nous avons, en appliquant une inégalité bien connue,
∑ i = 0 n | x − i n | ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i ≤ ∑ i = 0 n ( x − i n ) 2 ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i = = x ( 1 − x ) n ≤ 1 2 n , x ∈ [ 0 , 1 ] ∑ i = 0 n   x − i n ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i ≤ ∑ i = 0 n   x − i n 2 ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i = = x ( 1 − x ) n ≤ 1 2 n , x ∈ [ 0 , 1 ] {:[sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i) <= sqrt(sum_(i=0)^(n)(x-(i)/(n))^(2)((n)/(i))^(x^(i)(1-x)^(n-i)))=],[=sqrt((x(1-x))/(n)) <= (1)/(2sqrtn)","quad x in[0","1]]:}\begin{gathered} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i} \leq \sqrt{\sum_{i=0}^{n}\left(x-\frac{i}{n}\right)^{2}\binom{n}{i}^{x^{i}(1-x)^{n-i}}}= \\ =\sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}, \quad x \in[0,1] \end{gathered}∑i=0n|x−in|(ni)xi(1−x)n−i≤∑i=0n(x−in)2(ni)xi(1−x)n−i==x(1−x)n≤12n,x∈[0,1]
En prenant donc δ = 1 n δ = 1 n delta=(1)/(sqrtn)\delta=\frac{1}{\sqrt{n}}δ=1n, nous avons
| f ( x ) − P n ( x ; f ) | ≤ 3 2 ω ( 1 n ) f ( x ) − P n ( x ; f ) ≤ 3 2 ω 1 n |f(x)-P_(n)(x;f)| <= (3)/(2)omega((1)/(sqrtn))\left|f(x)-P_{n}(x ; f)\right| \leq \frac{3}{2} \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)|f(x)−Pn(x;f)|≤32ω(1n)
ce qui démontre la propriété.
    1. Tiberiu Popoviciu. "Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supérieur" Mathematica, 10, 49-54, (1934).

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