Asupra delimitării restului în unele formule de aproximare liniară ale analizei

Tiberiu Popoviciu
Uncategorized

Abstract

 

Autori

T. Popoviciu
Institutul de Calcul

Cuvinte cheie

PDF

1960 a1-Popoviciu- Stud. Cerc. Mat. (Cluj) – Asupra delimitarii restului in unele formule de aproximare liniara ale analizei – trad in romana a lucrarii 1960a

on the journal website: https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/79/79

Citați articolul în forma

T. Popoviciu, Asupra delimitării restului în unele formule de aproximare liniară ale analizei, Acad. R. P. Romîne Fil. Cluj, Stud. Cerc. Mat. (Cluj), 11 (1960) no. 2, pp. 357-362 (in Romanian)

Despre acest articol

Journal

Studii şi cercetări matematice

Publisher Name

Academia Republicii S.R.

DOI

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/79

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Google Scholar Profile

[MR0148817, Zbl 0163.30501]
https://zbmath.org/?q=an:0163.30501

Referințe

Lucrarea in format html

1960 a1-Popoviciu- Stud. Cerc. Mat. (Cluj) - Asupra delimitarii restului in unele formule de aproxim

ASUPRA DELIMITARII RESTULUI IN UNELE FORMULE DE APROXIMARE LINIARÁ ALE ANALIZEI*)

DETIBERIU POPOVICIUMembru corespondent al Academiei R.P.R.(Cluj)

  1. Să presupunem că restul R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] al unei formule de aproximare liniară este o functională liniară definită pe un spatiu vectorial S S SSS, format din functii f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x), definite şi continue pe un interval I I III. Functiile f f fff si funcționala liniară R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] sint reale și S S SSS contine toate polinoamele.
Spunem că R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] este de formă simplă, dacă există un întreg n ≧ − 1 n ≧ − 1 n >= -1n \geqq-1n≧−1, astfel încît să aibă loc egalitatea
(1) R [ f ] = K [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f ] , f ∈ S , (1) R [ f ] = K ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f , f ∈ S , {:(1)R[f]=K[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2);f]","quad f in S",":}\begin{equation*} R[f]=K\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2} ; f\right], \quad f \in S, \tag{1} \end{equation*}(1)R[f]=K[ξ1,ξ2,…,ξn+2;f],f∈S,
unde K = R [ x n + 1 ] K = R x n + 1 K=R[x^(n+1)]K=R\left[x^{n+1}\right]K=R[xn+1] este ≠ 0 ≠ 0 !=0\neq 0≠0, independent de functia f f fff, iar ξ i ξ i xi_(i)\xi_{i}ξi, i = 1 , 2 , … , n + 2 i = 1 , 2 , … , n + 2 i=1,2,dots,n+2i=1,2, \ldots, n+2i=1,2,…,n+2 sint n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 puncte distincte ale intervalului I I III (care pot să depindă în general de funcţia f f fff și care sînt situate în interiorul intervalului, dacă n ≥ 0 n ≥ 0 n >= 0n \geq 0n≥0 ). Notația [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f ] ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f [xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2);f]\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2} ; f\right][ξ1,ξ2,…,ξn+2;f] reprezintă diferenta divizată a functiei f f fff pe nodurile ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2}ξ1,ξ2,…,ξn+2. Pentru aceste noţiuni și pentru cele cîteva proprietăți care vor urma, rugăm cititorul de a consulta lucrările noastre anterioare, în particular, lucrarea noastră [3] din volumul anterior al acestei reviste.
In acest caz, n n nnn reprezintă gradul de xactitate al restului şi se bucură de proprietatea (caracteristică) că R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] este nul pentru orice polinom de grad n n nnn, dar R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0.
Reamintim că pentru ca functionala R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] avînd gradul de exactitate n n nnn, să fie de formă simplă, este necesar si suficient ca R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0R[f] \neq 0R[f]≠0 pentru orice functie f f fff ∈ S ∈ S in S\in S∈S convexă de ordinul n n nnn (pe I I III ). In acest caz este de altfel necesar ca R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] să păstreze un semn constant pentru orice functie convexă de ordinul n n nnn. Observînd că funcţia x n + 1 x n + 1 x^(n+1)x^{n+1}xn+1 este convexă de ordinul n n nnn, condiţia precedentă se poate scrie
(2) R [ x n + 1 ] ⋅ R [ f ] > 0 . (2) R x n + 1 ⋅ R [ f ] > 0 . {:(2)R[x^(n+1)]*R[f] > 0.:}\begin{equation*} R\left[x^{n+1}\right] \cdot R[f]>0 . \tag{2} \end{equation*}(2)R[xn+1]⋅R[f]>0.
Conditia (2) pentru orice functie f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S convexă de ordinul n n nnn, este deci necesară şi suficientă pentru ca R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] să fie de forma simplă (1). Observăm că pentru aceasta este de asemeeea necesar (dar nu suficient) ca R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 și
(3) R [ x n + 1 ] ⋅ R [ f ] ≧ 0 (3) R x n + 1 ⋅ R [ f ] ≧ 0 {:(3)R[x^(n+1)]*R[f] >= 0:}\begin{equation*} R\left[x^{n+1}\right] \cdot R[f] \geqq 0 \tag{3} \end{equation*}(3)R[xn+1]⋅R[f]≧0
pentru orice funcţie f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S neconcavă de ordinul n n nnn.
2. Dacă functionala R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] este de formă simplă (1), atunci o putem delimita cu formula
(4) | R [ f ] | ≦ | R [ x n + 1 ] | ⋅ M , (4) | R [ f ] | ≦ R x n + 1 ⋅ M , {:(4)|R[f]| <= |R[x^(n+1)]|*M",":}\begin{equation*} |R[f]| \leqq\left|R\left[x^{n+1}\right]\right| \cdot M, \tag{4} \end{equation*}(4)|R[f]|≦|R[xn+1]|⋅M,
unde
(5) M = sup x i ∈ I | [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] | (5) M = sup x i ∈ I   x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f {:(5)M=s u p_(x_(i)in I)|[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]|:}\begin{equation*} M=\sup _{x_{i} \in I}\left|\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]\right| \tag{5} \end{equation*}(5)M=supxi∈I|[x1,x2,…,xn+2;f]|
De altfel dacă f f fff admite o derivată de ordin n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 (mărginită) pe I I III, numărul (5) este dat de egalitatea
M = 1 ( n + 1 ) ! sup x ∈ I | f ( n + 1 ) ( x ) | M = 1 ( n + 1 ) ! sup x ∈ I   f ( n + 1 ) ( x ) M=(1)/((n+1)!)s u p_(x in I)|f^((n+1))(x)|M=\frac{1}{(n+1)!} \sup _{x \in I}\left|f^{(n+1)}(x)\right|M=1(n+1)!supx∈I|f(n+1)(x)|
Dar delimitarea (4) este valabilă într-un caz mai general. Anume, vom demonstra că:
Delimitarea (4) este valabilă dacă R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] are gradul de exactitate n n nnn si dacă inegalitatea (3) este verificată pentru orice functie f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S neconcavă de ordinul n n nnn.
Avem R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 şi pentru demonstratie putem presupune R [ x n + 1 ] > 0 R x n + 1 > 0 R[x^(n+1)] > 0R\left[x^{n+1}\right]>0R[xn+1]>0. Considerăm atunci funcționala liniară (definită pe S S SSS )
(6) R 1 [ f ] = R [ f ] + ε [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] (6) R 1 [ f ] = R [ f ] + ε x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f {:(6)R_(1)[f]=R[f]+epsi[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]:}\begin{equation*} R_{1}[f]=R[f]+\varepsilon\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right] \tag{6} \end{equation*}(6)R1[f]=R[f]+ε[x1,x2,…,xn+2;f]
unde x 1 , x 2 , … , x n + 2 x 1 , x 2 , … , x n + 2 x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}x1,x2,…,xn+2 sint n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 puncte distincte fixate (independent de functia f f fff ) în intervalul I I III, iar ε ε epsi\varepsilonε este un număr pozitiv oarecare. Vom arăta că R 1 [ f ] R 1 [ f ] R_(1)[f]R_{1}[f]R1[f] este de formă simplă (1). Intr-adevăr, dacă tinem seamă de faptul că diferenta divizată pe n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 noduri (nu toate confundate) a unei functii convexe de ordinul n n nnn este, prin definitie, pozitivă, deducem că R 1 [ f ] > 0 R 1 [ f ] > 0 R_(1)[f] > 0R_{1}[f]>0R1[f]>0 pentru orice functie f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S convexă de ordinal n n nnn. Proprietatea demonetrah a trată. Tinînd seamă de (5) și (6) şi scriind de asemenea delimitarea corespunzătoare (4) pentru R 1 [ f ] R 1 [ f ] R_(1)[f]R_{1}[f]R1[f], obținem
| R [ f ] | ≦ ( R [ x n + 1 ] + 2 ε ) M | R [ f ] | ≦ R x n + 1 + 2 ε M |R[f]| <= (R[x^(n+1)]+2epsi)M|R[f]| \leqq\left(R\left[x^{n+1}\right]+2 \varepsilon\right) M|R[f]|≦(R[xn+1]+2ε)M
Această inegalitate fiind adevărată oricare ar fi numărul pozitiv ε ε epsi\varepsilonε, rezultă delimitarea (4) şi proprietatea în cauză este demonstrată. Dacă avem R [ x n + 1 ] < 0 R x n + 1 < 0 R[x^(n+1)] < 0R\left[x^{n+1}\right]<0R[xn+1]<0, demonstraţia este analoagă. Se ia atunci în (6) pentru ε ε epsi\varepsilonε un număr negativ oarecare.
3. Pentru a aplica proprietatea precedentă este suficient de a cunoaşte criterii care să permită de a afirma că (în ipoteza R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 ) inegalitatea (3) este verificată pentru orice funcție f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, neconcavă de ordinul n n nnn. Vom
prezentà aici un astfel de criteriu care rezultă din remarcabila proprietate a polinoametor de aproximare ale lui S. N. Bernstein, de a păstra caracterul convexitătii functiilor [2].
Presupunem că I = [ 0 , 1 ] I = [ 0 , 1 ] I=[0,1]I=[0,1]I=[0,1] și că funcţiile spațiului S S SSS admit derivate de ordinul j ( ≥ 0 ) j ( ≥ 0 ) j( >= 0)j(\geq 0)j(≥0) continute pe [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]. Considerăm functionala liniară R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], avînd gradul de exactitate n n nnn și care este mărginită în norma
(7) ‖ f ‖ = ∑ i = 0 j sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( i ) ( x ) | (7) ‖ f ‖ = ∑ i = 0 j   sup x ∈ [ 0 , 1 ]   f ( i ) ( x ) {:(7)||f||=sum_(i=0)^(j)s u p_(x in[0,1])|f^((i))(x)|:}\begin{equation*} \|f\|=\sum_{i=0}^{j} \sup _{x \in[0,1]}\left|f^{(i)}(x)\right| \tag{7} \end{equation*}(7)‖f‖=∑i=0jsupx∈[0,1]|f(i)(x)|
Notăm
(8) π k , l = ( − 1 ) n + 1 n ! ∫ x 1 ( t − x ) n t k ( 1 − t ) l d t (8) π k , l = ( − 1 ) n + 1 n ! ∫ x 1   ( t − x ) n t k ( 1 − t ) l d t {:(8)pi_(k,l)=((-1)^(n+1))/(n!)int_(x)^(1)(t-x)^(n)t^(k)(1-t)^(l)dt:}\begin{equation*} \pi_{k, l}=\frac{(-1)^{n+1}}{n!} \int_{x}^{1}(t-x)^{n} t^{k}(1-t)^{l} d t \tag{8} \end{equation*}(8)πk,l=(−1)n+1n!∫x1(t−x)ntk(1−t)ldt
In ipotezele formulate anterior are loc următoarea proprietate:
Pentru ca inegalitatea (3) să fie verificată pentru oriçe funcție f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, necancavă de ordinul n n nnn, este (necesar și) suficient ca să aibă loc inegalitatea R [ x n + 1 ] ⋅ R [ π k , 1 ] ≧ 0 R x n + 1 ⋅ R π k , 1 ≧ 0 R[x^(n+1)]*R[pi_(k),1] >= 0R\left[x^{n+1}\right] \cdot R\left[\pi_{k}, 1\right] \geqq 0R[xn+1]⋅R[πk,1]≧0, oricare ar fi intregionenegativi k k kkk şi l l lll.
Observăm că π k , i ( n + 1 ) = x k ( 1 − x ) l π k , i ( n + 1 ) = x k ( 1 − x ) l pi_(k,i)^((n+1))=x^(k)(1-x)^(l)\pi_{k, i}^{(n+1)}=x^{k}(1-x)^{l}πk,i(n+1)=xk(1−x)l. Dacă
B m = B m ( x ; f ) = ∑ i = 0 m ( m i ) f ( i m ) x i ( 1 − x ) m − i B m = B m ( x ; f ) = ∑ i = 0 m   ( m i ) f i m x i ( 1 − x ) m − i B_(m)=B_(m)(x;f)=sum_(i=0)^(m)((m)/(i))f((i)/(m))x^(i)(1-x)^(m-i)B_{m}=B_{m}(x ; f)=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i} f\left(\frac{i}{m}\right) x^{i}(1-x)^{m-i}Bm=Bm(x;f)=∑i=0m(mi)f(im)xi(1−x)m−i
este polinomul lui S. N. Bernstein de gradul m m mmm, atunci pentril derivata sa de ordinul n + 1 ( m ≧ n + 1 ) n + 1 ( m ≧ n + 1 ) n+1(m >= n+1)n+1(m \geqq n+1)n+1(m≧n+1), avem
B m ( n + 1 ) = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 m − n − 1 | i m − n − 1 i ) [ i m , i + 1 m , ⋯ , i + n + 1 m ; f ] π i , m − n − 1 − i ( n + 1 ) B m ( n + 1 ) = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 m − n − 1   i m − n − 1 i i m , i + 1 m , ⋯ , i + n + 1 m ; f π i , m − n − 1 − i ( n + 1 ) {:B_(m)^((n+1))=((m-1)!(n+1)!)/(m^(n)(m-n-1)!)sum_(i=0)^(m-n-1)|_(i)^(m-n-1)_(i))[(i)/(m),(i+1)/(m),cdots,(i+n+1)/(m);f]pi_(i,m-n-1-i)^((n+1))\left.B_{m}^{(n+1)}=\left.\frac{(m-1)!(n+1)!}{m^{n}(m-n-1)!} \sum_{i=0}^{m-n-1}\right|_{i} ^{m-n-1}{ }_{i}\right)\left[\frac{i}{m}, \frac{i+1}{m}, \cdots, \frac{i+n+1}{m} ; f\right] \pi_{i, m-n-1-i}^{(n+1)}Bm(n+1)=(m−1)!(n+1)!mn(m−n−1)!∑i=0m−n−1|im−n−1i)[im,i+1m,⋯,i+n+1m;f]πi,m−n−1−i(n+1)
de unde
B m = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 n − n − 1 ( m − n − 1 i ) [ i m , i + 1 m , ⋯ , i + n + 1 m ; f ] π i , m − n − 1 − i + β m B m = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 n − n − 1   ( m − n − 1 i ) i m , i + 1 m , ⋯ , i + n + 1 m ; f π i , m − n − 1 − i + β m B_(m)=((m-1)!(n+1)!)/(m^(n)(m-n-1)!)sum_(i=0)^(n-n-1)((m-n-1)/(i))[(i)/(m),(i+1)/(m),cdots,(i+n+1)/(m);f]pi_(i,m-n-1-i)+beta_(m)B_{m}=\frac{(m-1)!(n+1)!}{m^{n}(m-n-1)!} \sum_{i=0}^{n-n-1}\binom{m-n-1}{i}\left[\frac{i}{m}, \frac{i+1}{m}, \cdots, \frac{i+n+1}{m} ; f\right] \pi_{i, m-n-1-i}+\beta_{m}Bm=(m−1)!(n+1)!mn(m−n−1)!∑i=0n−n−1(m−n−1i)[im,i+1m,⋯,i+n+1m;f]πi,m−n−1−i+βm
unde β m β m beta_(m)\beta_{m}βm este un polinom de gradul n n nnn.
După cum au arătat S. N. Bernstein [1] şi S. Wigert [5], dacă derivata f ( i ) f ( i ) f^((i))f^{(i)}f(i) de ordin i ( ≧ 0 ) i ( ≧ 0 ) i( >= 0)i(\geqq 0)i(≧0) a funcţiei f f fff există şi este continuă pe [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1], şirul { B m ( i ) } B m ( i ) {B_(m)^((i))}\left\{B_{m}^{(i)}\right\}{Bm(i)} tinde pentru m → ∞ m → ∞ m rarr oom \rightarrow \inftym→∞, uniform pe [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] către f ( i ) f ( i ) f^((i))f^{(i)}f(i). Rezultă de aici că R [ B m ] → R [ f ] R B m → R [ f ] R[B_(m)]rarr R[f]R\left[B_{m}\right] \rightarrow R[f]R[Bm]→R[f] pentru m → ∞ m → ∞ m rarr oom \rightarrow \inftym→∞ şi deci
(9) lim m → ∞ R [ x n + 1 ] ⋅ R [ B m ] = R [ x n + 1 ] ⋅ R [ f ] . (9) lim m → ∞   R x n + 1 ⋅ R B m = R x n + 1 ⋅ R [ f ] . {:(9)lim_(m rarr oo)R[x^(n+1)]*R[B_(m)]=R[x^(n+1)]*R[f].:}\begin{equation*} \lim _{m \rightarrow \infty} R\left[x^{n+1}\right] \cdot R\left[B_{m}\right]=R\left[x^{n+1}\right] \cdot R[f] . \tag{9} \end{equation*}(9)limm→∞R[xn+1]⋅R[Bm]=R[xn+1]⋅R[f].
Dacă observăm că
R [ B m ] = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 m − 1 ( m − n − 1 i ) | i m , i + 1 m , ⋯ , i + n + 1 m ; f ] R [ π i , m − n − 1 − i ] R B m = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 m − 1   ( m − n − 1 i ) i m , i + 1 m , ⋯ , i + n + 1 m ; f R π i , m − n − 1 − i {:R[B_(m)]=((m-1)!(n+1)!)/(m^(n)(m-n-1)!)sum_(i=0)^(m-1)((m-n-1)/(i))|(i)/(m),(i+1)/(m),cdots,(i+n+1)/(m);f]R[pi_(i,m-n-1-i)]\left.\left.R\left[B_{m}\right]=\frac{(m-1)!(n+1)!}{m^{n}(m-n-1)!} \sum_{i=0}^{m-1}\binom{m-n-1}{i} \right\rvert\, \frac{i}{m}, \frac{i+1}{m}, \cdots, \frac{i+n+1}{m} ; f\right] R\left[\pi_{i, m-n-1-i}\right]R[Bm]=(m−1)!(n+1)!mn(m−n−1)!∑i=0m−1(m−n−1i)|im,i+1m,⋯,i+n+1m;f]R[πi,m−n−1−i]
și că diferențele divizate pe n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 noduri ale unei funcţii neconcave de ordinul n n nnn sînt nenegative, rezultă că R [ x n + 1 ] ⋅ R [ B n ] ≧ 0 R x n + 1 ⋅ R B n ≧ 0 R[x^(n+1)]*R[B_(n)] >= 0R\left[x^{n+1}\right] \cdot R\left[B_{n}\right] \geqq 0R[xn+1]⋅R[Bn]≧0 pentru orice funcție neconcavă de ordinul n n nnn. Tinînd seamă de ( 9 ), rezultă proprietatea în cauză.
4. Pentru a da o aplicatie, fie R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] restul în formula de cuadratură numerică
(10) ∫ 0 1 f ( x ) d x = 2 3 f ( 0 ) + 1 5 f ′ ( 0 ) + 1 30 f ′ ′ ( 0 ) + 1 360 f ′ ′ ′ ( 0 ) + + 1 3 f ( 1 ) − 1 30 f ′ ( 1 ) + R [ f ] (10) ∫ 0 1   f ( x ) d x = 2 3 f ( 0 ) + 1 5 f ′ ( 0 ) + 1 30 f ′ ′ ( 0 ) + 1 360 f ′ ′ ′ ( 0 ) + + 1 3 f ( 1 ) − 1 30 f ′ ( 1 ) + R [ f ] {:[(10)int_(0)^(1)f(x)dx=(2)/(3)f(0)+(1)/(5)f^(')(0)+(1)/(30)f^('')(0)+(1)/(360)f^(''')(0)+],[+(1)/(3)f(1)-(1)/(30)f^(')(1)+R[f]]:}\begin{align*} \int_{0}^{1} f(x) d x= & \frac{2}{3} f(0)+\frac{1}{5} f^{\prime}(0)+\frac{1}{30} f^{\prime \prime}(0)+\frac{1}{360} f^{\prime \prime \prime}(0)+ \tag{10}\\ & +\frac{1}{3} f(1)-\frac{1}{30} f^{\prime}(1)+R[f] \end{align*}(10)∫01f(x)dx=23f(0)+15f′(0)+130f′′(0)+1360f′′′(0)++13f(1)−130f′(1)+R[f]
unde f f fff admite o derivată de ordinul 3 , continuă pe [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1].
In acest caz functionala R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] are gradul de exactitate n = 5 n = 5 n=5n=5n=5 şi este mărginită în raport cu norma ( 7 ), pentru j = 3 j = 3 j=3j=3j=3, Avem
τ k , l = 1 5 ! ∫ x 1 l ( t − x ) 5 t k ( 1 − t ) l d t τ k , l = 1 5 ! ∫ x 1 l   ( t − x ) 5 t k ( 1 − t ) l d t tau_(k,l)=(1)/(5!)int_(x)^((1)/(l))(t-x)^(5)t^(k)(1-t)^(l)dt\tau_{k, l}=\frac{1}{5!} \int_{x}^{\frac{1}{l}}(t-x)^{5} t^{k}(1-t)^{l} d tτk,l=15!∫x1l(t−x)5tk(1−t)ldt
Deducem
R [ x 6 ] = 1 105 > 0 , ∫ 0 1 π k , l d x = 1 6 ∫ 0 1 t 6 + k ( 1 − t ) l d t R x 6 = 1 105 > 0 , ∫ 0 1   π k , l d x = 1 6 ∫ 0 1   t 6 + k ( 1 − t ) l d t R[x^(6)]=(1)/(105) > 0,quadint_(0)^(1)pi_(k,l)dx=(1)/(6)int_(0)^(1)t^(6+k)(1-t)^(l)dtR\left[x^{6}\right]=\frac{1}{105}>0, \quad \int_{0}^{1} \pi_{k, l} d x=\frac{1}{6} \int_{0}^{1} t^{6+k}(1-t)^{l} d tR[x6]=1105>0,∫01πk,ldx=16∫01t6+k(1−t)ldt
şi un calcul simplu ne dă
R [ π k , l ] = 1 6 ∫ 0 1 t k + 2 ( 1 − t ) l + 4 d t > 0 R π k , l = 1 6 ∫ 0 1   t k + 2 ( 1 − t ) l + 4 d t > 0 R[pi_(k,l)]=(1)/(6)int_(0)^(1)t^(k+2)(1-t)^(l+4)dt > 0R\left[\pi_{k, l}\right]=\frac{1}{6} \int_{0}^{1} t^{k+2}(1-t)^{l+4} d t>0R[πk,l]=16∫01tk+2(1−t)l+4dt>0
Se poate deci aplica în acest caz delimitarea (4) şi avem
R [ f ] ≦ 1 105 sup x i ∈ [ 0 , 1 ] | [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ; f ] | R [ f ] ≦ 1 105 sup x i ∈ [ 0 , 1 ]   x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ; f R[f] <= (1)/(105)s u p_(x_(i)in[0,1])|[x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5),x_(6),x_(7);f]|R[f] \leqq \frac{1}{105} \sup _{x_{i} \in[0,1]}\left|\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7} ; f\right]\right|R[f]≦1105supxi∈[0,1]|[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7;f]|
Dacă derivata de ordinul 6 , f ( 6 ) 6 , f ( 6 ) 6,f^((6))6, f^{(6)}6,f(6), există pe [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1], avem
| R [ f ] | ≤ 1 150 ⋅ 1 6 ! sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( 6 ) ( x ) | | R [ f ] | ≤ 1 150 ⋅ 1 6 ! sup x ∈ [ 0 , 1 ]   f ( 6 ) ( x ) |R[f]| <= (1)/(150)*(1)/(6!)s u p_(x in[0,1])|f^((6))(x)||R[f]| \leq \frac{1}{150} \cdot \frac{1}{6!} \sup _{x \in[0,1]}\left|f^{(6)}(x)\right||R[f]|≤1150⋅16!supx∈[0,1]|f(6)(x)|

ОБ ОЦЕНКЕ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА НЕКОТОРЫХ ЛИНЕҮННЫХ ФОРМУЛ ПРИБЛИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

KPATKOE СОДЕРЖАНИЕ

Предполагается что остаток R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] некоторой формулы линейного приближения является линейным функционалом, определенным на векторном пространстве S S SSS, образованном фукциями f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x), определенными и непрерывными на интервале I I III. Функции f f fff и функционал k [ f ] k [ f ] k[f]k[f]k[f] суть действительные, а пространство S S SSS, содержит все полиномы. Исходя от некоторых предыдущих результатов [3] в настоящем труде доказывается следующее свойство:
Чтобы имело место оценка (4), где М дается формулой (5), достаточно чтобы K [ f ] K [ f ] K[f]K[f]K[f] имел порядок точности n n nnn и чтобы неравенство (3) удовлетворялось для люfoй функции f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S невогнутой порядка n n nnn.
Здесь под порядком точности функционала K [ f ] K [ f ] K[f]K[f]K[f], разумевается число n n nnn с тем свойством, что R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] равняется нулю для любого полинома n n nnn-ой степени, но R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0.
В продолжении дается признак, дающий возможность узнать (при предположении R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 ) удовлетворяется ли неравенство (3) для любой функции f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S невогнутой степени n n nnn. Этот признак основывается на применения свойства полиномов приближения С. Н. Бернштейна сохранять характер выпуклости [2].
С этой целью предполагается что I = [ 0 , 1 ] I = [ 0 , 1 ] I=[0,1]I=[0,1]I=[0,1] и что элементы пространства S S SSS имеют производные порядка j ( ≥ 0 ) j ( ≥ 0 ) j( >= 0)j(\geq 0)j(≥0) непрерывные на [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]. Предполагается еще что линейный функционал R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] ограничен относительно нормы (7). При этих предположениях доказывается свойство:
Для того, чтобы неравенство (3) удовлетворялось какая ни была бы функция f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S невогнутая порядка n n nnn, (необходимо и) достаточно, чтобы имело место неравенство R [ x n + 1 ] ⋅ R [ π k , l ] ≥ 0 R x n + 1 ⋅ R π k , l ≥ 0 R[x^(n+1)]*R[pi_(k,l)] >= 0R\left[x^{n+1}\right] \cdot R\left[\pi_{k, l}\right] \geq 0R[xn+1]⋅R[πk,l]≥0, какие ни были неотрицательные целье числа к и l l lll.
Вышеуказанные результаты применяются к ограничению остатка квадратурных формул (10).

SUR LA DÉLIMITATION DU RESTE DANS CERTAINES FORMULES D'APPROXIMATION LINÉAIRES DE L'ANALYSF,

RÉSUMÉ

On suppose que le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] d'une formule d'approximation linéaire est une fonctionnelle linéaire définie sur un espace vectoriel S S SSS, formé par les fonctions f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x), définies et continues sur un intervalle l l lll, Les fonctions f f fff et la fonctionnelle R ( f ] R ( f ] R(f]R(f]R(f] sont réelles, et l'espace S S SSS contient tous les polynomes. En partant de quelques résultats antérieurs [3], on démontre dans le présent travail la propriété suivante:
Pour que la délimitation (4) ait lieu, où M M MMM est donné par (5), il suffit que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] ait le degré d'exactitude n n nnn et que l'inégalité (3) soit vérifiée pour toule fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, non-concave d'ordre n n nnn.
Nous entendons ici par degré d'exactitude d'une fonctionnelle R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] un nombre n n nnn ayant la propriété que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est nul pour tout polynome de degré n n nnn, mais R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0.
On donne ensuite un critère qui permet de connaître si (dans 1'hypothèse R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 ) l'inégalité (3) est vérifiée pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, non-concave d'ordre n n nnn. Ce critére se base sur l'utilisation de la propriété qu'ont les polynomes d'approximation de S. N. Bernstein de conserver les caractères de convexité des fonctions [2].
On suppose à cette fin que I = [ 0 , 1 ] I = [ 0 , 1 ] I=[0,1]I=[0,1]I=[0,1] et que les éléments de l'espace S S SSS aient des dérivées d'ordre j ( ≥ 0 ) j ( ≥ 0 ) j( >= 0)j(\geq 0)j(≥0) continues dans [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]. On suppose aussi que la fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] soit bornée par rapport à la norme (7). Dans cette hypothèse on démontre la propriété suivante :
Pour que l'inégalité (3) soit vérifiée quelles que soit la fonotion f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S non-cencave d'ordre n, il est (nécessaire et) suffisant qu'ait lieu l'inégalité R [ x n + 1 ] . R [ π k , l ] ≧ 0 R x n + 1 . R π k , l ≧ 0 R[x^(n+1)].R[pi_(k),l] >= 0R\left[x^{n+1}\right] . R\left[\pi_{k}, l\right] \geqq 0R[xn+1].R[πk,l]≧0, quels que scient les entiers non-négatifs k k kkk et l l lll.
Les résultats ci-dessus s'appliquent à la délimitation du reste de la formule de quadrature (10).

BIBLIOGRAFIE

  1. S. N. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. Сооб. Харьк. Матем. Об-ва, серия 2, 13, 1-2(1912).
  2. T. Popoviciu, Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supérieur. Mathematica, 10, 49-54 (1934).
    • Asupra restului in unele formule liniare de aproximare ale analizei. Studii si Cercetări de Matematică (Cluj), X, 2, 337-389 (1959).
    • Sur le reste dans certaines formules linéaires d'approximation de l'analyse. Mathematica, 1(24), 95-142 (1960).
  5. S. Wigert, Sur l'approximation par polynomes des fonctions continues. Arkiv för Mat Astr., och Fysik, 22 B, No. 9, 1-4 (1932).
    Primit la 29 noembrie 1060.
  1. *) Această lucrare se publică și in limba franceză in revista „Mathematica" vol. 2(25), fascicola 1.
1960

Related Posts