Asupra formei restului în unele formule de aproximare ale analizei

Tiberiu Popoviciu
Uncategorized

Abstract

 

Autori

T. Popoviciu

Cuvinte cheie

PDF

1950 b -187 -Popoviciu- Lucr. Ses. Gen. St. Acad. RPR – Asupra formei restului in unele formule de aproximatie ale analizei

Citați articolul în forma

T. Popoviciu, Asupra formei restului în unele formule de aproximare ale analizei, Lucrările ses. generale ştiinţifice a Acad. R.P.R., 2-12 iunie 1950, pp. 183-186 (in Romanian).

Despre acest articol

Journal
Publisher Name
DOI

Not available yet.

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Google Scholar Profile

Referințe

Lucrare in format HTML

1950 b -187 -Popoviciu- Lucr. Ses. Gen. St. Acad. RPR - Asupra formei restului in unele formule de a

ASUPRA FORMEI RESTULUI IN UNEI,E FORMULE DE APROXIMAŢIE ALE ANALIZEI

DEPROF. TIBERIU POPOVICIUMEMBRU CORESPONDINT AI, ACAJOEMEI R.R.R.

Comunicare prezentată în şedinga din 3 lunic 1950.

I. Restul în formulele de derivare și de iutegrare aproximativă se prezintă de obiceiu sub forma unei funcționale liniare R [ t ] R [ t ] R[t]R[t]R[t]. Câmpul acestei functionale, în cazurile cele mai simple și mai importante în practică, este cârnpul functiilos continue, eventual al functiilor derivabile, sau adnițând derivate continue până la un anumit ordin dat inclusiv, întřun interval finit și închis [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
Dacă aproximarea ate caracterul unei aproximări polinominale, gradul de exactitate n n nnn al formulei respective este bine determinat de proprietatea că
(I) R [ I ] = R [ x ] = … = R [ x n ] = 0 , R [ x n + 1 ] ≠ 0 (I) R [ I ] = R [ x ] = … = R x n = 0 , R x n + 1 ≠ 0 {:(I)R[I]=R[x]=dots=R[x^(n)]=0","quad R[x^(n+1)]!=0:}\begin{equation*} R[I]=R[x]=\ldots=R\left[x^{n}\right]=0, \quad R\left[x^{n+1}\right] \neq 0 \tag{I} \end{equation*}(I)R[I]=R[x]=…=R[xn]=0,R[xn+1]≠0
Putem, pentru simplificare, să ne mărginim la cazul R [ R [ R[R[R[ I ] = 0 ] = 0 ]=0]=0]=0. Avem deci n ⩾ 0 n ⩾ 0 n >= 0n \geqslant 0n⩾0. Formula de aproximare respectivă este deci exactă (fără rest) pentru orice polinom de gradul n n nnn.
2. Pentru aplicatiile practice ale formulelor de aproximare este important de a se exprima restul sub o formă convenabilă. Acest lucru se realizează de obiceiu, în cazul lui R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] considerat mai sus, cu ajutorul derivatei f n + 1 ( x ) f n + 1 ( x ) f^(n+1)(x)f^{n+1}(x)fn+1(x) de ordinul n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 al funcției f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x), presupunând bineînțeles că această derivată există, eventual că este continuă.
Problema restului a fost studiată de un mare număr de autori. Amintim aici în primul rând pe A A AAA. A A AAA. Marcov (I) și semnalám cercetările lui G. D. Birkhoff [2], G. Kowalewschi [3] și J. Radon [4]. Problema a fost apoi reluată, în lumina noilor cercetări asupta funcționalelor liniare, de către Ez. Y a. Remez într'un important memoriu [5].
Cercetările noastre asupra functiilor convexe de ordin superior condue în mod natural 1a o nouă formă a restului, formă care e susceptibilă să unifice rezultatele de pânǎ acum, totdeodată punând unele din aceste rezultate sub
o formǎ mai generală și explicând, credem, mai adâne structura acestui rest.
3. Proprictățile cumoscute ale diferențelor divizate ne indică ca, în cazul fumcționalei lineare R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], verificând condițiile ( I ), să căutăm această functională sub forma
(2) R [ f ] = K . [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] (2) R [ f ] = K . x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f {:(2)R[f]=K.[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]:}\begin{equation*} R[f]=K .\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right] \tag{2} \end{equation*}(2)R[f]=K.[x1,x2,…,xn+2;f]
unde K K KKK este independent de funcția f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) iar x 1 , x 2 , … , x n + 2 x 1 , x 2 , … , x n + 2 x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}x1,x2,…,xn+2 sunt n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 puncte din intervalu1 [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] (puncte care depind in general de funcția f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) ).
Restul R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] nu totdeauna are această formă. In cazul când acest lucru este posibil cu un K K KKK diferit de zero și cu punctele x 1 , x 2 , … , x n + 2 x 1 , x 2 , … , x n + 2 x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}x1,x2,…,xn+2 dislincte pentru orice f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x), vom spune că restul R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] are forma clasică. Denumirea este justificată prin faptul că în cazul important al formulei lui Taylor sau mai general al formulei de interpolare a lui La g r a n g e, restul are această formă.
Este clar că pentru o funcțională liniară R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], neidentic nulă, forma clasică nu poate avea loc decât pentru un singur n n nnn, egal cu gradul de exactitate, și că atunci K = R [ x n + 1 ] K = R x n + 1 K=R[x^(n+1)]K=R\left[x^{n+1}\right]K=R[xn+1].
Pentru a recunoaste forma clasica, avem următoarea teoremă:
Pentru ca restul R [f] cu gradul de exactitate n să aibă forma clasică este necesar si suficient ca R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0\mathrm{R}[\mathrm{f}] \neq 0R[f]≠0, pentru orice functie f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) convexă de ordinul n .
Condiția este evident necesară. Ea este suficientă după cum rezultă dintr'un rezultat auterior al nostru [6].
Din teorema de mai sus, rezultă diverse criterii mai simple care permit în anumite cazuri să recunoaștem forma clasică a restului. Astfel de criterii rezultă direct din cercetările autorilor citați mai sus și direct din teoria funcțiilor convexe de ordin superior [6]. Se vede, imediat, că problema formei clasice a restului revine la problema inegalităților liniare verificate de functiile convexe de ordin superior. Et de remarcat că problema formei clasice a restului, la cele mai importante formule de derivare și de integrare numerică, revine la problema unor astfel de inegalități pe un număr linit de puncte.
Adăugăm că importante formule de aproximare cum ar fi formulele de derivare aproximativă ale lui A. A. Marcov, formulele de integrare numerică ale lui Cotes și ale lui Gauss, precum și foarte multe formule de această natură descoperite și utilizate de S. E. Mike1adze [7], [8], intră in cazul formei clasice a restului.
4. Dacă restul R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] nu are forma clasică, expresia lui cu ajutorul diferențelor divizate este mai complicată. Pentru a nu complica aici inutil lucrurile, să presupunem că R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] este definit în câmpul functiilor cu a ( n + I ) a ( n + I ) a(n+I)a(n+I)a(n+I), a a aaa diferență divizată mărginită (mai precis: câmpul de definiție a lui R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] conține aceste functii). Fie ( C ) ( C ) (C)(C)(C) clasa functiilor f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) având diferența divizată de ordinul n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 cuprinsă între 0 şi I exclusiv, deci
0 < [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] < I 0 < x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f < I 0 < [x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f] < I0<\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]<I0<[x1,x2,…,xn+2;f]<I
oricare at fi punctele distincte x 1 , x 2 , … , x n + 2 x 1 , x 2 , … , x n + 2 x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}x1,x2,…,xn+2 din [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] și fie
A = sup R [ ∤ ] A = sup R [ ∤ ] A=s u p R[∤]A=\sup R[\nmid]A=supR[∤]
f ( x ) ∈ ( C ) f ( x ) ∈ ( C ) f(x)in(C)f(x) \in(C)f(x)∈(C).
A A AAA este finit și, fără a restrânge generalitatea, putem presupune A ≧ 0 A ≧ 0 A >= 0A \geqq 0A≧0. Aveu atunci
inf R [ f ] = R [ x n + 1 ] − A = − B ≦ 0 . f ( x ) ∈ ( C )  inf  R [ f ] = R x n + 1 − A = − B ≦ 0 . f ( x ) ∈ ( C ) {:[" inf "R[f]=R[x^(n+1)]-A=-B <= 0.],[quad f(x)in(C)]:}\begin{aligned} & \text { inf } R[f]=R\left[x^{n+1}\right]-A=-B \leqq 0 . \\ & \quad f(x) \in(C) \end{aligned} inf R[f]=R[xn+1]−A=−B≦0.f(x)∈(C)
Se demonstrează atunci că avem
(3) R [ f ] = A [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] − B [ x 1 ′ , x 2 ′ , … , x n + 2 ′ ; f ] (3) R [ f ] = A x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f − B x 1 ′ , x 2 ′ , … , x n + 2 ′ ; f {:(3)R[f]=A[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]-B[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n+2)^(');f]:}\begin{equation*} R[f]=A\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]-B\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n+2}^{\prime} ; f\right] \tag{3} \end{equation*}(3)R[f]=A[x1,x2,…,xn+2;f]−B[x1′,x2′,…,xn+2′;f]
unde punctele x i , x i ′ x i , x i ′ x_(i),x_(i)^(')x_{i}, x_{i}^{\prime}xi,xi′ sunt in [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
Avem următoarea teoremă:
Daca marginea superioară A nu este atinsă de niciuna din functiile f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) din clasa ( C ) ( C ) (C)(\mathrm{C})(C), atunci formula ( 3 ) ( 3 ) (3)(3)(3) e adevărată pentru puncte x i x i x_(i)\mathrm{x}_{i}xi distincte și pentru puncte x ′ l x ′ l x^(')_(l)\mathrm{x}^{\prime}{ }_{l}x′l distincte.
Teoria functilor convexe de ordin superior permite de asemenea sà recunoastem, în cazuri importante pentru practică, când are loc acest lucru.
Pentru determinarea efectivă a marginii superioare A A AAA, se pot întrebuința rezultatele lui E. Remez [5].
Cazurile B = 0 B = 0 B=0B=0B=0, si A = 0 A = 0 A=0A=0A=0 corespunzând formei clasice a restului. Teoría de mai sus e valabilă pentru orice n n nnn.
5. Restrictiile impuse mai sus exclud din consideratiile noastre anumito functionale liniare R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], cum ar fi de exemplu R [ f ] = f n + 1 ( 0 ) R [ f ] = f n + 1 ( 0 ) R[f]=f^(n+1)(0)R[f]=f^{n+1}(0)R[f]=fn+1(0). Pentru astfel de cazuri, formula (3) rămâne încă valabilă, insă fără restrictia ca punctele x l x l x_(l)x_{l}xl, respectiv punctele x ′ i x ′ i x^(')_(i)x^{\prime}{ }_{i}x′i, să fie neapărat distincte.
Se mai poate observa că, fără restricție impusă marginii superioare A A AAA şi dacă ε ε epsi\varepsilonε este un număr pozitiv, formula
R [ f ] = ( A + ε ) [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] − ( B + ε ) [ x ′ 1 , x ′ 2 , … , x ′ n + 2 ; f ] R [ f ] = ( A + ε ) x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f − ( B + ε ) x ′ 1 , x ′ 2 , … , x ′ n + 2 ; f R[f]=(A+epsi)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]-(B+epsi)[x^(')_(1),x^(')_(2),dots,x^(')_(n+2);f]R[f]=(A+\varepsilon)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]-(B+\varepsilon)\left[x^{\prime}{ }_{1}, x^{\prime}{ }_{2}, \ldots, x^{\prime}{ }_{n+2} ; f\right]R[f]=(A+ε)[x1,x2,…,xn+2;f]−(B+ε)[x′1,x′2,…,x′n+2;f]
este valabilă cu puncte x i x i x_(i)x_{i}xi, respectiv cu puncte x i ′ x i ′ x_(i)^(')x_{i}^{\prime}xi′ distincte. Se deduce, în particular, că dacă f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) are o diferență divizată de ordinul n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 mărginită îu valoare absolută de numărul M M MMM, avem
| R [ f ] | ≦ ( A + B ) M . | R [ f ] | ≦ ( A + B ) M . |R[f]| <= (A+B)M.|R[f]| \leqq(A+B) M .|R[f]|≦(A+B)M.
Demonstratiile și aplicațiile rezultatelor precedente vor fi expuse într'un memoriu detailat care este în curs de elaborare.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Остаток в формулах деривации и численного интегрирования представляется в наиоолее простых случаях под формой линейной функциональной R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f]. Теория конвексных фунсций высшего порядка позволяет выразить этот остаток под формой (3), при A , B A , B A,BA, BA,B, независимых от функции f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x). Случаи A = 0 A = 0 A=0A=0A=0 или B = 0 B = 0 B=0B=0B=0 особено интересны, и мы имеем тогда классическую форму остатка. Для того чтобы әто имело место, неооходимо и достаточно, чтобы в гипотезе (1) имелось бы R [ f ] = 0 R [ f ] = 0 R[f]=0R[f]=0R[f]=0 для всякой конвексной функции порядка n f ( x ) n f ( x ) nf(x)n f(x)nf(x). В (2) точки x i x i x_(i)x_{i}xi предполагаются отличными.

RÉSUMÊ

Le reste dans les formules de dérivation et d'intégration numérique se présente, dans les cas les plus simples, sous ia forme d'une fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f]. La théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur nous permet d'exprimer ce reste sous la forme (3), A , B A , B A,BA, BA,B étant indépendants de la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x). Le cas A = 0 A = 0 A=0A=0A=0, ou B = 0 B = 0 B=0B=0B=0, est particulièrement intéressant; nous avons alors la forme classique du reste. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que, dans l'hypothèse ( I I III ), on ait R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0R[f] \neq 0R[f]≠0 pour toute fonction convexe d'ordre n f ( x ) n f ( x ) nf(x)n f(x)nf(x). (Dans (a) on suppose les points x i x i x_(i)x_{i}xi distincts).

B3BLAGGRAFE

  1. A. A. Markofl, Diferenzenrechnung, 1896.
  2. G. D. Birkhoff, General mean palue and remainder theorems, 'Pransact. Amer. Math. Soc., 7, 107-136, 1906.
  3. G. Kowalewski, Interpolation und genäherte Quadratur, 1932.
  4. J. Rad o n, Restausdrücke bei Interpolations-und Quadraturformeln durch hestimmto Integrale, Monatshelte für Math. u. Phys., 42, 389-396, 1935.
  5. E. Ya. Remez, Despre anumite clase de functionale liniare in spatiile C si ter-menii-rest ai formulelor de aproximatie ale analizei. Lucrările Inst. Mat. al Acad. de Ştiințe al RSS. Ucraina, Nr. 3, 21-61, 1939, Nr. 4, 47-81, 1940.
  6. T. Popoviciu, Notes sur les fonctions convexes d'ordre supéricur (IX). Bull. Math. Soc. Roumaine de Sc., 43, 85-141, 1942.
  7. §. E. Micheladze, Issledovanie formul mehaniceschih cvadvatur. Trudî zvilisscovo mat. inst., 2, 43--104, 1937
  8. S. E. Micheladze, Cislennoe inlegritovanie, U. M. N., Tom. 11, 6 (28) 3-88, 1948.
1950

Related Posts