1. 1.

   Vom considera functii $f(x)$, reale, finite, uniforme şi definite pe o mulţime liniară oarecare $E$. Vom nota cu $M(f;E)$ marginea superioară și cu $m(f;E)$ marginea inferioară a acestei funcții. In fine vom face uz de notația

   Report issue for preceding element

Condiția necesară și suficientă ca $f(x)$ să fie monoton pe $E$ este ca să avem $\left[x_{1},x_{2};f\right]\left[x_{2},x_{3};f\right]\geq 0$, pentru orice grup de 3 puncte $x_{1},x_{2},x_{3}$ ale lui $E$. Rezultă că dacă funcția nu este monotonă se pot găsi punctele $x_{1}<x_{2}<x_{3}$, ale lui $E$, astfel ca să avem $\left[x_{1},x_{2};f\right]\left[x_{2},x_{3};f\right]<01$ ).

Fie a un număr real şi să punem ² ).

Să notăm cu $E_{a}^{*},E_{a}^{*}$ mulțimile $E_{a},E_{a}^{\prime}$ adăogând, dacă $a\in E$, punctul a la una oarecare din aceste mulțimi. Vom avea atunci

$E_{a}^{*}=E_{a}\cup\{a\},E_{a}^{*}=E_{a}^{\prime}$ sau $E_{a}^{*}=E_{a},E_{a}^{*}=E_{a}^{\prime}\cup\{a\}$ dacă $a\in E$.

Avem totdeauna $E=E_{a}^{*}\cup E_{a}^{\prime*},E_{a}^{*}\cap E_{a}^{\prime*}=0$ și zicem că $E$ este descompus în reunirea a două submulțimi consecutive. Punctul a este punctul de separatie a acestei descompuneri. Există o singură descompunere de punct de separație $a$, dacă acest punct nu aparține lui $E$ și două astfel de descompuneri dacă $a\in E$.

Vom zice că $f(x)$ este o funcție ( $m$ ) (pe $E$ ) dacă există o descompunere $E=E_{a}^{*}\smile E_{a}^{*}$ a lui $E$ in două submulțimi consecutive astfel ca funcția să fie monotonă pe fiecare din mulțimile $E_{a}^{*},E_{a}^{\prime*}$, monotonia fiind de sens opus pe aceste două submulțimi ale lui $E$. Mai precis vom zice că $f(x)$ este atunci o funcție ( $m^{+}$) respectiv o funcție ( $m^{-}$) după cum ea este necrescătoare respectiv nedescrescătoare pe $E_{a}^{*}$ (deci nedescrescătoare respectiv necrescătoare pe $E_{a}^{\prime*}$ ).

E clar că orice funcţie monotonă este în acelaşi timp o funcţie $\left(m^{+}\right)$și o funcție ( $m^{-}$). Reciproc, orice funcţie care este în acelaşi timp o funcţie ( $m^{+}$) şi o funcție ( $m^{-}$) este o funcţie monotonă. Dacă $f(x)$ este o funcţie ( $m^{+}$) respectiv o funcție ( $m^{-}$), funcţia - $f(x)$ este o funcție ( $m^{-}$) respectiv o funcție ( $m^{+}$). In fine, orice funcţie ( $m^{+}$) pe $E$ este o funcţie ( $m^{+}$) pe orice submulțime a lui $E$.
2. Pentru a simplifica expunerea vom face câteva convenții. Liniaritatea și creşterea (descreşterea) sunt cazuri particulare ale nedescreşterii (necreşterii). Convenim de asemenea ca orice funcţie definită pe cel mult un punct să fie considerată ca monotonă și anume indiferent crescătoare sau descrescătoare.

Cu aceste convenții una din submulțimile de descompunere $E_{a}^{*},E_{a}^{\prime*}$, corespunzătoare unei funcţii ( $m$ ), poate să se reducă la mulțimea vidă. Acest lucru are loc de altfel dacă și numai dacă funcția este monotonă. Punctul de separație a poate să fie unul din punctele improprii - $\infty$ sau $+\infty$, ceea ce iarăşi are loc dacă și numai dacă funcția este monotonă.

Orice funcție definită pe cel mult 2 puncte este monotonă şi orice funcţie definită pe cel mult 3 puncte este o funcţie ( $m$ ).

Calculele cu numerele proprii și improprii se fac după regulile obişnuite.
3. Pentru ca $f(x)$ să fie o funcție ( $m^{+}$) pe punctele $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ este necesar și suficient ca să avem

In cazul unei mulțimi $E$ având cel puțin 3 puncte, avem :
Teorema 1. Pentru ca $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ să fie o functie ( $\mathrm{m}^{+}$) pe E este necesar şi suficient ca să fie o functie ( $\mathrm{m}^{+}$) pe fiecare din grupele de câte trei puncte ale lui E .

Această proprietate se poate enunța și sub forma următoare :
Teorema 1’. Pentru ca $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ să fie o funcție ( $\mathrm{m}^{+}$) pe E este necesar şi suficient ca inegalitalea (1) să fie verificată pentru orice grup de 3 puncte $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}$ ale lui E .

In cazul funcţiilor ( $m^{-}$) avem proprietăți analoage, inegalitatea (1) fiind inlocuită prin

Rezultă că dacă o funcție $f(x)$ nu este o funcție (m) putem găsi punctele $x_{1}<x_{2}<x_{3},x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<x_{3}^{\prime}$ ale lui $E$ astfel ca

Un raționament simplu ne arată că putem atunci găsi 4 puncte $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ ale lui $E$ astfel ca şirul

să aibe 2 variaţii de semn ¹ ).
Insă pe punctele $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ proprietatea de a fi $o$ funcție ( $m$ ) se exprimă tocmai prin faptul ca şirul (2) să aibă cel mult 1 variație de semn. Pentru funcţiile definite pe cel puţin 4 puncte deducem deci :

Teorema 2. Pentru ca $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ să fie o functie (m) pe E este necesar și suficient ca să fie o functie (m) pe orice grup de 4 puncte ale lui E.

Această proprietate se poate enunţa şi sub forma :
Teorema 2’. Pentru ca f (x) să fie o functie (m) pe E este necesar şi suficient ca şirul (2) să aibă cel mull 1 variaţie de semn, oricare ar fi punclele $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}<\mathrm{x}_{4}$ ale lui E.
4. Demonstraţia teoremei 1 am dat-o in altă parte ² ). Inegalităţile (1) sunt evident necesare. Vom da o nouă demonstrație

a suficienței acestor inegalități și vom preciza apoi puțin structura funcţiilor ( $m$ ).

Avem intâi :
Lema 1. Dacă inegalitatea (1) este verificată pentru orice grup de 3 puncle $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}$ ale lui E şi dacă a este un număr oarecare, functia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ esle monotonă pe una cel pulin din mulţimile $\mathrm{E}_{a},\mathrm{E}_{a}^{\prime}$.

Pentru demonstrație să presupunem contrariul. Putem atunci găsi punctele

astfel ca să avem

si se verifică uşor că pe unul cel puțin din grupele de 3 , puncte $x_{1},x_{2},x_{3};x_{4},x_{5},x_{6};x_{2},x_{3},x_{4};x_{2},x_{4},x_{5}$ inegalitatea (1) nu este verificată.

Se poate incă preciza lema 1, insă enunţul de mai sus este suficient pentru ceea ce urmează. De exemplu se vede uşor că in enunt se poate inlocui $E_{a},E_{a}^{\prime}$ prin $E_{a}^{*},E_{a}^{\prime*}$ respectiv.

Deducem de aici :
Lema 2. Dacă inegalilatea (1) este veriticală pentru orice grup de 3 puncte $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}$ ale lui E , se poale găsi un punct c astfel ca functia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ să fie necrescăloare pe $\mathrm{E}_{c}$, si nedescrescăloare pe $\mathrm{E}_{c}^{\prime}$.

Este destul să demonstrăm proprietatea in cazul când $f(x)$ nu este monoton pe $E^{1}$ ).

Există puncte $a$ astfel ca $f(x)$ să fie monoton pe $\boldsymbol{E}_{a}$. Intr’adevăr, dacă pentru punctele $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ ale lui $E$ avem $\left[x_{1},x_{2};f\right]\left[x_{2},x_{3};f\right]<0$ atunci, in virtutea lemei $\mathbf{1}$, orice $a<x_{1}$ verifică proprietatea. Dacă apoi $a_{1}<a$ şi $f(x)$ este monoton pe $E_{a}$, el este de asemenea monoton pe $E_{a_{1}}$. Fie $b$ marginea superioară a punctelor $a$. Punctul $b$ este unicul punct care se bucură de proprietatea că $f(x)$ este monoton pe $E_{a}$ pentru orice $a\leqq b$ si nu este monoton pe $E_{a}$ dacă $a>b$. Avem $b>-\infty$ si de asemenea $b<+\infty$ deoarece este evident că $b\leqq x_{3}$. La fel se vede că există un punct unic şi propriu $b^{\prime}$ care se bucură de proprie-

tatea că $f(x)$ este monoton pe $E_{a}^{\prime}$ pentru orice $a\geq b^{\prime}$ și nu este monoton pe $E_{a}^{\prime}$ dacă $a<b^{\prime}$. Avem inegalitatea $b^{\prime}\leqq b$ căci, în cazul contrar, funcţia nu ar fi monotonă pe niciuna din mulţimile $E_{\frac{b+b^{\prime}}{2}},E_{\frac{b+b^{\prime}}{2}}^{\prime}$, ceea ce e în contradicție cu lema 1.

Lema 2 va fi satisfăcută dacă luăm $c\in\left[b^{\prime},b\right]$. Funcția este monotonă pe fiecare din mulțimile $E_{c},E_{c}^{\prime}$ și rămâne să demonstrăm că ea este efectiv necrescătoare pe $E_{c}$ şi nedescrescătoare pe $E_{c}^{\prime}$. Pentru fixarea ideilor să arătăm că funcţia este necrescătoare pe $E_{c}$. In cazul contrar am putea gasi punctele $x_{1},x_{2}\in E_{c}$, $x_{1}<x_{2}$ astfel ca să avem $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$. Insă, funcţia nefiind monotonă pe $E$, se pot găsi punctele $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}\in E$, $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}$ astfel ca să avem $f\left(x_{1}^{\prime}\right)>f\left(x_{2}^{\prime}\right)$. Ar trebui să avem atuncl $x_{2}<x_{2}$. Dacă $f\left(x_{2}^{\prime}\right)<f\left(x_{2}\right)$ inegalitatea (1) nu este verificată pe punctele $x_{1},x_{2},x_{2}^{\prime}$. Dacă $f\left(x_{2}^{\prime}\right)\geq f\left(x_{2}\right)$ ar trebui să avem și $x_{2}<x_{1}^{\prime}$ şi inegalitatea (1) nu ar fi verificată pe punctele $x_{1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}$. Se demonstrează la fel că $f(x)$ este nedescrescător pe $E_{c}^{\prime}$.
5. Teorema 1 rezultă acum ușor. Fie $c$ un punct care satisface lema 2. Dacă $c$ nu aparține lui $E$ descompunerea căutată este $E=E_{c}^{*}\cup E_{c}^{\prime*}$. Dacă $c\in E$, pe una cel puţin din mulțimile $E_{c}\cup\{c\}$, $E_{c}^{\prime}\cup\{c\}$ funcția este monotonă. Intr’adevăr, în cazul contrar, am putea găsi punctele $x_{1}\in E_{c},x_{2}\in E_{c}^{\prime}$ astfel ca $f\left(x_{1}\right)<f(c),f\left(x_{2}\right)<<f(c)$ și inegalitatea (1) nu ar fi verificată pe punctele $x_{1},c,x_{2}$. Teorema 1 rezultă încă, adăugând punctul $c$ la una din mulțimile $E_{c},E_{c}^{\prime}$ și descompunerea lui $E$ este încă de forma $E=E_{c}^{\mathrm{k}}\cup E^{\prime*}{}_{c}$.

Rezultate analoage subsistă pentru funcțiile ( $m^{-}$).
Dacă $f(x)$ este o funcție ( $m$ ) punctele $c$ de separație ale desconspunerilor $E=E_{c}^{*}\cup E_{c}^{\prime*}$ în două submulțimi consecutive de monotonie opusă formează un interval $\left[b^{\prime},b\right]$, finit sau infinit, putând să se reducă la un singur punct. Acest interval este totdeauna închis cu condiția de a considera și numerele improprii $-\infty,+\infty$. Dacă $f(x)$ nu este monoton, $b^{\prime},b$ sunt tocmai numerele finite determinate mai sus. In acest caz $b^{\prime},b$ trebue să aparţină oricărui interval inchis care conține trei puncte $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ ale lui $E$ astfel ca să avem $\left[x_{1},x_{2};f\right]\left[x_{2},x_{3};f\right]<0$. Dacă $f(x)$ este monoton, intervalul $\left[b^{\prime},b\right]$ este infinit sau se reduce la unul din punctele improprii $+\infty$, $-\infty$. Intr’adevăr, dacă privim
funcţia ca o funcţie ( $m^{+}$) avem $b^{\prime}=-\infty$ dacă ea este nedescrescătoare și $b=+\infty$ dacă ea este necrescătoare.

Dacă mulțimea $E\cap\left(b^{\prime},b\right)$ nu este vidă, funcția se reduce la o constantă pe această mulţime. Intr’adevăr, dacă $f(x)$ este o funcţie $\left(m^{+}\right)$și dacă $x_{0}\in E\cap\left(b^{\prime},b\right)$, el este necrescător pe $E_{x_{0}}\cup\left\{x_{0}\right\}$ si nedescrescător pe $E_{x_{0}}^{\prime}\cup\left\{x_{0}\right\}$. Se deduce că $f\left(x_{0}\right)=m(f;E)$. La fel se vede că dacă $f(x)$ este o funcţie $\left(m^{-}\right)$avem $f\left(x_{0}\right)=M(f;E)$.

Din cele ce preced rezultă că, pentru o funcţic ( $m$ ), descompunerea lui $E$ în două submulțimi consecutive de monotonie opusă se poate face, în general, în mai multe şi chiar într’o infinitate de feluri. Este uşor de văzut care sunt cazurile în care această descompunere este unică. Presupunând că $f(x)$ este - funcție $\left(m^{+}\right)$, pentru unicitate este necesar ca mulţimea $E\cap\left(b^{\prime},b\right)$ să fie vidă și în plus e necesar și suficient ca să avem : $b^{\prime},b\in E$ și $f(b)>m\left(f;E_{b^{\prime}}\right)$ sau $f\left(b^{\prime}\right)>m\left(f;E_{b}^{\prime}\right)$, dacă $b^{\prime}=b$ ; cel mult unul din punctele $b^{\prime},b$ să aparțină lui $E$ și $f\left(b^{\prime}\right)>>m\left(f;E_{b}^{\prime}\right)$ respectiv $f(b)>m\left(f;E_{b^{\prime}}\right)$ după cum $b^{\prime}\in E$ respectiv $b\in E$, dacă $b^{\prime}<b$.
6. Inainte de a merge mai departe vom face asupra funcţiilor (m) o observație care ne va fi utilă mai jos.

Fie $f(x)$ o funcție $\left(m^{+}\right),\left[b^{\prime},b\right]$ intervalul punctelor de separație corespunzătoare iar $I$ un interval oarecare (închis sau nu) care nu are puncte comune cu $E$ (deci $E\cap I=O$. In fine fie $E_{1}$ o submulțime oarecare a lui $I$. In aceste condiții avem :

Lema 3. Dacă inlervalele $\left[\mathrm{b}^{\prime},\mathrm{b}\right]$ şi I au cel puţin un punct comun şi dacă $\gamma$ este o constantă aslfel ca $\gamma\leqq\mathrm{m}(\mathrm{f};\mathrm{E})$, functia

este o funcţie ( $\mathrm{m}^{+}$) pe $\mathrm{E}\cup\mathrm{E}_{1}$.
Este suficient să demonstrăm proprietatea pentru $E_{1}=I$. Fie atunci $c\in\left[b^{\prime},b\right]\cap I$ şi să punem $F=E\cup I$. Funcţia $f_{1}(x)$ este necrescătoare pe $F_{c}$, căci, se vede uşor că ea este necrescătoare pe $E_{c}\cup I$ iar $F_{c}$ este o submulțime a acestei mulţimi. Se vede la fel că $f_{1}(x)$ este nedescrescător pe $F_{c}^{\prime}$. Lema 3 rezultă.

Se poate încă observa că intervalul punctelor de separaţie a descompunerilor lui $F$ corespunzătoare funcției $f_{1}(x)$ conține intervalul $I$, deci $\left[b^{\prime},b\right]$ contine de asemenea intervalul $I$.

O proprietate analoagă are loc pentru funcțiile ( $m^{-}$), inegalitatea din ipoteza lemei 3 fiind atunci $\gamma\geqq M(f;E)$.
7. Ne propunem să generalizăm teorema 2 suprimând restricția ca submulțimile considerate ale lui $E$ să fie consecutive.

Vom zice că $f(x)$ este o funcţie $(M)$ (pe $E$ ) dacă $E$ se poate descompune în reunirea a două submulțimi (vide sau nu), pe fiecare funcţia fiind monotonă şi monotonia fiind de sens opus pe cele două submulţimi. E clar că orice funcție ( $m$ ) este o funcție $(M)$. In particular deci orice funcție definită pe cel mult 3 puncte este o functie ( $M$ ). In fine e evident că orice funcţie $(M)$ pe $E$ este o functie ( $M$ ) pe orice submultime a lui $E$.

Să examinăm întâi funcţiile definite pe 4 puncte distincte $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$. Să considerăm şirul
(3)

Dacă funcţia $f(x)$ nu este univalentă, ea este evident o funcţie ( $M$ ). In cazul contrar (deci dacă funcţia e univalentă) două cazuri trebue distinse :
$1^{\circ}$. Sirul (3) nu este strict monoton.
$2^{\circ}$. Şirul (3) este strict monoton (crescător sau descrescător).
In cazul $1^{\circ}$ avem :

și examinând toate cazurile posibile se vede că $f(x)$ este o funcţie $(M)$, descompunerea mulțimej de definiție fiind, de exemplu :

In cazul $2^{\circ}$ este suficient a examina toate descompunerile mulțimei de definiție în reunirea a două submulțimi pentru a vedea că funcția nu este o funcţie ( $M$ ).

Avem deci :
Teorema 3. Pentru ca funcţia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$, definilă pe punctele $\mathrm{x}_{1}<<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}<\mathrm{x}_{4}$, să fie o funcţie (M), este necesar şi suficient ca şirul (3) să nu fie strict monoton.
8. Sã considerăm acum o funcţie $f(x)$ definită pe 5 puncte distincte $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}<x_{5}$. Pentru ca $f(x)$ să fie o funcţie $(M)$ este necesar ca ea să fie o funcţie $(M)$ pe orice grup de 4
puncte alese printre punctele $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$. Insă, această condījie nu este suficientă.

Să căutăm să determinăm funcţiile care se bucură de proprietatea că ele nu sunt funcţii $(M)$ dar că ele sunt funcţii $(M)$ pe orice grup de 4 puncte alese dintre cele 5 puncte considerate. Vom distinge pentru aceasta două cazuri :
$1^{\circ}.f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{5}\right)$.
$2^{\circ}.f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{5}\right)$.
Vom arăta că in cazul $1^{\circ}$ nu există funcții de forma cerută. Pentru demonstratie putem presupune $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{5}\right)$. Atunci functia nu poate li necrescătoare pe punctele $x_{2},x_{3},x_{4}$ si trebue deci să avem $f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right)$ sau $f\left(x_{3}\right)<f\left(x_{4}\right)$.

Să presupunem $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{5}\right),f\left(x_{2}\right)<f^{\circ}\left(x_{3}\right)$. Funcţia poate avea una din următoarele 10 forme ¹ ) :
$1^{\circ}.f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{5}\right)<f\left(x_{4}\right)$,
2. $f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{4}\right)<f\left(x_{3}\right)$,
$3^{\circ}.f\left(x_{4}\right)<f\left(x_{5}\right)<f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right)$,
$4^{\circ}.f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{5}\right)<f\left(x_{3}\right)$,
$5^{\circ}.f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right)\leqq f\left(x_{4}\right)\leqq f\left(x_{5}\right)$,
$6^{\circ}.f\left(x_{1}\right)\leqq f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right)\leqq f\left(x_{5}\right)$,
$7^{\circ}\cdot f\left(x_{1}\right)\leqq f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right)\leqq f\left(x_{4}\right)$,
$8^{\circ}.f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right)\leqq f\left(x_{5}\right),f\left(x_{4}\right)\leqq f\left(x_{1}\right)$,
$9^{\circ}.f\left(x_{1}\right)\leqq f\left(x_{2}\right)\leqq f\left(x_{5}\right),f\left(x_{4}\right)\leqq f\left(x_{3}\right)$,
$10^{\circ}.f\left(x_{1}\right)\leqq f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{3}\right),f\left(x_{5}\right)\leqq f\left(x_{4}\right)$.
In cazurile $1^{\circ},2^{\circ},3^{\circ}$ respectiv $4^{\circ}$ funcţia nú estè o functie ( $M$ ) pe grupele de 4 puncte $x_{1},x_{2},x_{4},x_{5};x_{1},x_{2},x_{3},x_{4};x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$ respectiv $x_{1},x_{2},x_{3},x_{5}$. In cazurile $5^{\circ},6^{\circ}$ respectiv $7^{\circ}$ funcția este o funcţie ( $M$ ), fiind monotonă pe grupele de 4 puncte $x_{2},x_{3},x_{4}$, $x_{5};x_{1},x_{2},x_{3},x_{5}$ respectiv $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$. In cazurile $8^{\circ},9^{\circ}$ respectiv $10^{\circ}$ funcția este o funcţie ( $M$ ), descompunerea in două submulţimi de monotonie opusă fiind, de exemplu, $\left\{x_{1},x_{4},\right\}\cup\left\{x_{2},x_{3},x_{5}\right\}$, $\left\{x_{3},x_{4}\right\}\cup\left\{x_{1},x_{2},x_{5}\right\}$ respectiv $\left\{x_{4},x_{5}\right\}\cup\left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\}$.

Prin simetrie se vede că aceeaşi proprietate are loc dacă $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{5}\right),f\left(x_{3}\right)<f\left(x_{4}\right)$. In fine proprietatea rezultă la fel şi pentru $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{5}\right)$.

Fie acum cazul $2^{\circ}$ dela inceputul acestui număr. Vom arăta că în acest caz există funcţii care nu sunt funcfii (M) pe cele 5 puncle, dar sunt functii (M) pe orice grup de 4 puncte alese dintre acestea.

O astfel de funcție nu poate să fie monotonă pe punctele $x_{2}$, $x_{3},x_{4}$ și nu poate lua valoarea $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{5}\right)$ în niciunul din aceste puncte. Dacă $f\left(x_{2}\right),f\left(x_{3}\right),f\left(x_{4}\right)$ sunt toţi mai mari sau toti mai mici decât $f\left(x_{1}\right)$ funcția este o funcţie ( $M$ ), descompunerea fiind, de exemplu :

Rămâne să examinăm funcțiile pentru care unul din șirurile :

este crescător.
Se verifică uşor că o astfel de funcție este o funcție ( $M$ ) pe orice grup de 4 puncte alese dintre punctele $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$, dar că ea nu este o funcţie ( $M$ ) pe toate aceste puncte.

In definitiv avem :
Teorema 4. Pentru ca funclia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$, definită pe punctele $\mathrm{x}_{1}<<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}<\mathrm{x}_{4}<\mathrm{x}_{5}$, să fie o funcţe ( M ), este necesar şi suficient ca să fie o funclie ( M ) pe orice grup de 4 puncte alese dinlre punctele $\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\mathrm{x}_{3},\mathrm{x}_{4},\mathrm{x}_{5}$, şi ca să nu fie de forma $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{5}\right)$, unul din şirurile (4) fiind crescător.

In felul acesta structura functiilor $(M)$ definite pe cel mult 5 puncte este precizată.
9. In cele ce urmează ne vom folosi de următoarea :

Lema 4. Fie $\mathrm{E}=\mathrm{G}\cup\mathrm{H},\mathrm{G}\cap\mathrm{H}=0$ şi $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ o functie definită pe E care verifică urmăloarele proprietăti :
$1^{\circ}.\mathrm{f}(\mathrm{x})$ este o functie $\left(\mathrm{m}^{+}\right)$pe G şi este o functie $\left(\mathrm{m}^{-}\right)$pe H.
$2^{\circ}$. $m(f;G)\geq M(f;H)$.
$3^{\circ}$. Intervalele $\left[\mathrm{b}^{\prime},\mathrm{b}\right]$ şi $\left[\mathrm{b}_{1},\mathrm{\penalty 10000\ b}_{1}\right]$ ale punctelor de separafie ale descompunerilor corespunzătoare functiei $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ pe G şi H , au cel putin un puncl comun.

Atunci $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ esle o functie (M) pe E .
Fie $c\in\left[b^{\prime},b\right]\cap\left[b_{1}^{\prime},b_{1}\right]$ și $G=G_{c}^{*}\cup G_{c}^{\prime*},H=H_{c}^{*}\cup H_{c}^{\prime*}$ descompunerile corespunzătoare ale lui $G,H$ pentru punctul de separaţie c. Să considerăm mulţimile $E_{1}=G_{c}^{*}\cup H_{c}^{*},E_{2}=$
$=G_{c}^{\prime*}\cup H_{c}^{*}$. Atunci $E=E_{1}\cup E_{2}$. Dar funcţia este necrescătoare pe $G_{c}^{*}$ şi pe $H_{c}^{\prime*}$. Dacă $x_{1}\in G_{c}^{*},x_{2}\in H_{c}^{**}$ avem $x_{1}<x_{2}$ și $f\left(x_{1}\right)\geq\geq m(f;G)\geqq M(f;II)\geqq f\left(x_{2}\right)$, adică $f\left(x_{1}\right)\geqq f\left(x_{2}\right)$. Această inegalitate arată că funcţia $f(x)$ este necrescătoare pe mulțimea $E_{1}$. La fel se vede că ea este nedescrescătoare pe $E_{2}$. Lema 4 este demonstrată.
10. Rămâne să examinăm funcțiile definite pe o mulțime $E$ având cel puţin 5 puncte distincte. Pentru aceste funcţii avem :

Teorema 5. Pentru ca funçia $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ să fie o functie (M) pe E , este necesar şi suficient ca ea să fie o funcfie (M) pe orice grup de 5 puncle ale lui E.

Condiția este evident necesară. Rămâne să arătăm că ea este și suficientă.

Dacă $f(x)$ este o funcție $(M)$ pe orice grup de 5 puncte ale lui $E$ el este, a fortiori, o functie $(M)$ pe orice grup de 4 puncte ale lui $E$. -
11. Pentru a ajunge la demonstrația cerută vom stabili intâi câteva proprietăți ajutătoare.

Fie $\alpha$ un număr real şi să notăm cu $E^{(\alpha)}$ mulţimea punctelor $x\in E$ pentru care $f(x)<\alpha$ și cu $E^{\prime(\alpha)}$ multimea punctelor $x\in E$ pentru care $f(x)>\alpha$. Avem evident $E^{(\alpha)}\cap E^{\prime(\alpha)}=0$ și deducem :

Lema 5. Dacă $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ este o functie (M) pe orice grup de 4 puncte ale lui E şi dacă a este un număr real oarecare, cel puļin una din proprietăfile urmăloare este satisfăcută :
$\mathrm{f}^{\mathrm{f}}(\mathrm{x})$ este o funclie $\left(\mathrm{m}^{-}\right)$pe $\mathrm{E}^{(\alpha)}$.
$\mathrm{f}(\mathrm{x})$ este o functie $\left(\mathrm{m}^{+}\right)$pe $\mathrm{E}^{\prime(\infty)}$.
Intr’adevăr, în cazul contrar, am putea găsi punctele $x_{1},x_{2}$, $x_{3}\in E^{(\alpha)},x^{\prime}{}_{1},x^{\prime}{}_{2},x^{\prime}{}_{3}\in E^{\prime(\alpha)},x_{1}<x_{2}<x_{3},x^{\prime}{}_{1}<x^{\prime}{}_{2}<x^{\prime}{}_{3}$, astfel ca să avem :

Este ușor de văzut atunci că dacă $x_{2}<x_{2}^{\prime},f(x)$ nu este o functie $(M)$ pe punctele $x_{1},x_{2},x_{2}^{\prime},x_{3}^{\prime}$ iar dacă $x_{2}>x_{2}^{\prime},f(x)$ nú este o funcţie ( $M$ ) pe punctele $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},x_{2},x_{3}$.

Să presupunem acum că $f(x)$ este o funcție $(M)$ dar că nu se reduce la o funcție ( $m$ ). Se vede, ca şi la demonstraţia lemei $\mathbf{2}$, că există un număr $\beta$, unic și bine determinat, care se bucură de
proprietatea că $f(x)$ este o functie $\left(m^{-}\right)$pe $E^{(\alpha)}$ pentru orice $\alpha\leqq\beta$ dar nu este o funcţie ( $m^{-}$) pe $E^{(\alpha)}$ dacă $\alpha>\beta$. La fel, există un număr unic și bine determinat $\beta^{\prime}$ care se bucură de proprietatea că $f(x)$ este o functie ( $m^{+}$) pe $E^{\prime(\alpha)}$ pentru orice $\alpha\geqq\beta^{\prime}$ dar nu este o funcţie ( $m^{+}$) pe $E^{\prime(\alpha)}$ dacă $\alpha<\beta^{\prime}$. Numerele $\beta^{\prime},\beta$ sunt cuprinse în intervalul închis :
$\left[\min\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),f\left(x_{3}\right),f\left(x_{4}\right)\right),\max\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),f\left(x_{3}\right),f\left(x_{4}\right)\right)\right]$
pentru orice grup de 4 puncte $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ ale lui $E$ pentru care șirul (2) prezintă 2 variaţii de semn. Avem de asemenea $\beta^{\prime}\leqq\beta$.

Deducem de aici :
Lema 6. Dacă $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ esle o functie (M) pe orice grup de 4 puncte ale lui E , se poale găsi un număr $\gamma$ aslfel ca $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ să fie o funcfie $\left(\mathrm{m}^{-}\right)$pe $\mathrm{E}^{(\gamma)}$ şi o functie $\left(\mathrm{m}^{+}\right)$pe $\mathrm{E}^{\prime}(\gamma)$.

Este destul să luăm $\gamma\in\left[\beta^{\prime},\beta\right]$. Pentru ca proprietatea să fie generală trebue să admitem că $\beta^{\prime},\beta,\gamma$ pot lua şi valori improprii. Numerele $\gamma$ care satisfac lema 6 formează un interval închis $\left[\beta^{\prime},\beta\right]$, finit sau nu. Acest interval este finit dacă şi numai dacă functia nu se reduce la o funcţie ( $m$ ). Atunci $\beta^{\prime}$, $\beta$ sunt tocmai numerele determinate mai sus. Dacă $f(x)$ este o funcţie $\left(m^{+}\right)$ avem $\beta=+\infty$ iar dacă $f(x)$ este o funcție ( $m^{-}$) avem $\beta^{\prime}=-\infty$.

Se poate încă observa că pe mulţimea punctelor $x$ astfel ca $\beta^{\prime}<\cdot f(x)<\beta$, funcţia este monotonă.

Lemele 5, 6 sunt satisfăcute, a fortiori, de orice funcţie care este o functie $(M)$ pe orice grup de 5 puncte ale lui $E$.
12. Putem acum deduce :

Lema 7. Dacă $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ este o functie (M) pe orice grup de 4 puncte ale lui E și dacă numărul $\gamma$ verifică condiţiile lemei $6,\mathrm{f}(\mathrm{x})$ este o functie (M) pe multimea $\mathrm{E}^{(\Upsilon)}$ ( $\mathrm{E}^{\prime}(\gamma)$.

Intr’adevăr, dacă $G=E^{\prime}(\gamma),H=E^{(\gamma)}$ toate ipotezele lemei 4 sunt satisfăcute. $1^{\circ},2^{\circ}$ sunt verificate conform definiției mulţimilor $E^{(\gamma)},E^{\prime(\gamma)}$ și conform lemei 6. Ipoteza $3^{\circ}$ este de asemenea satisfăcută. In cazul contrar, să presupunem, de exemplu, $b_{1}<b^{\prime}$. Fie atunci $b_{1}<c<b^{\prime}$. Funcția nu este nedescrescătoare pe $H_{c}$ și pe $G_{c}^{\prime}$. Putem deci găsi punctele :

astfel ca $f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{4}\right)<f\left(x_{3}\right)$ și $f(x)$ nu ar li o funcţie $(M)$ pe punctele $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$.

Lema 7 este satisfăcută în particular de orice funcție care este o functie ( $M$ ) pe orice grup de 5 puncte ale lui $E$.

Fie $\gamma$ un număr care satisface conditiile lemei 6. Putem presupune că $\gamma$ este un număr finit. In cazul contrar funcţia $f(x)$, este o funcție ( $m$ ). Am văzut că intervalele [ $b^{\prime},b$ ], $\left[b_{1}^{\prime},b_{1}\right]$ ale punctelor de separaţie corespunzătoare funcţiei pe mulțimile $G=E^{\prime}(\gamma),H=E^{(\gamma)}$, au cel puţin un punct comun. Avem deci $b^{\prime}\leqq b_{1},\quad b_{1}^{\prime}\leqq b$.

Vom avea nevoie și de următoarea :
Lema 8. In ipolezele de, mai sus, dacă $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=\gamma$, avem $\mathrm{x}_{0}\in\left[\mathrm{\penalty 10000\ b}^{\prime},\mathrm{b}\right]\cup\left[\mathrm{b}_{1}^{\prime},\mathrm{b}_{1}\right]$.

Intr’adevăr, să presupunem contrariul. Fic de exemplu $x_{0}<b^{\prime}$, $x_{0}<b_{1}^{\prime}$. Atunci $f(x)$ nu este necrescător pe $G_{x_{0}}^{\prime}$ si nu este nedescrescător pe $H_{x_{0}}^{\prime}$. Putem deci găsi punctele :

astfel ca $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)<\gamma=f\left(x_{0}\right),f\left(x_{1}^{\prime}\right)>f\left(x_{2}^{\prime}\right)>\gamma=f\left(x_{0}\right)$ şi se vede că dacă $x_{1}<x_{1}^{\prime},f(x)$ nu este o funcție $(M)$ pe punctele $x_{0},x_{1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}$, iar dacă $x_{1}>x_{1}^{\prime},f(x)$ nu este o funcţie $(M)$ pe punctele $x_{0},x_{1}^{\prime},x_{1},x_{2}$.

In fine avem şi
Lema 9. In ipolezele de mai sus, dacă $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=\gamma$ şi dacă $\mathrm{x}_{0}<b^{\prime}$, $\mathrm{x}_{0}>\mathrm{b},\quad\mathrm{x}_{0}<\mathrm{b}_{1}^{\prime}$ respectiv $\mathrm{x}_{0}>\mathrm{b}_{1}$ avem $\mathrm{H}\cap\left(\mathrm{x}_{0}{}^{\prime},\mathrm{b}^{\prime}\right)=0$, $\mathrm{H}\cap\left(\mathrm{b},\mathrm{x}_{0}\right)=0,\mathrm{G}\cap\left(\mathrm{x}_{0},\mathrm{\penalty 10000\ b}_{1}^{\prime}\right)=0$ respectiv $\mathrm{G}\cap\left(\mathrm{b}_{1},\mathrm{x}_{0}\right)=0$.

E destul să demonstrăm proprietatea în cazul $x_{0}<b^{\prime}$. Dacă am avea $H\cap\left(x_{0},b^{\prime}\right)\neq 0$, ar exista un punct $c$ al lui $H$ astfel cá $x_{0}<c<b^{\prime}$. Am avea atunci $f\left(x_{0}\right)>f(c)$. Insă din definiţia lui $b^{\prime}$ rezultă că putem găsi punctele $x_{1},x_{2}$ ale lui $G$ astfel ca $c<x_{1}<x_{2}$ si ca $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$. Ar rezulta deci că funcția nu este o funcție ( $M$ ) pe punctele $x_{0},c,x_{1},x_{2}$. La fel se face demonstrația în celelalte trei cazuri.
13. Să revenim acum la demonstrarea teoremei 5, mai precis la demonstrarea suficienței condiţiei exprimată de această teoremă.

Să presupunem că $f(x)$ nu se reduce la o funcție ( $m$ ) (căci î cazul contrar nu este nimic de demonstrat) şi fie $\gamma$ un număr
(finit) care satisface condiţiile lemei 6. Să păstrăm notațiile dela Nr. 12 și să notăm cu $K$ mulțimea punctelor lui $E$ în care $f(x)$ ia valoarea $\gamma$. Atunci mulțimile $G,II,K$ sunt două câte două disjuncte si reunirea lor este egală cu $E$.

Pentru demonstrație distingem 3 cazuri :
Cazul I. K este vid. Teorema rezultă atunci din lema 7.
Cazul II. $K$ are un singur punct $x_{0}$. Aici vom distinge 2 subcazuri :

Subcazul $II_{1}.x_{0}\in\left[b^{\prime},b\right]\sim\left[b_{1}^{\prime},b_{1}\right]$. Atunci funcția $\left(m^{+}\right)f(x)$ de pe $G$ se poate prelungi pe punctul $x_{0}$ în condițiile lemei 3. Adăugând deci pe $x_{0}$ la $G$ teorema rezultă din lema 4, toate ipotezele acestei leme fiind satisfăcute