Despre cea mai bună aproximare a funcțiilor continue prin polinoame.
Cinci lecții ținute la Facultatea de Științe din Cluj în anul universitar 1933-1934

Dr. Tiberiu Popoviciu

(Institutul de Arte Grafice Ardealul, Cluj, 1937
(traducere în engleză 2016))

Capitolul 1Prima lecție. Existența și unicitatea polinoamelor de cea mai bună aproximare.

1.1Funcții mărginite. Oscilația unei funcții.

Vom considera funcții cu valori reale $f\left(x\right)$ de variabilă reală $x,$ definit pe intervalul mărginit și închis $\left[a,b\right],a<b$ .

O astfel de funcție $f\left(x\right)$ este mărginită superior dacă există un număr real $A$ astfel încât toate valorile luate de funcție să fie mai mici decât $A$ . Dimpotrivă, funcția nu este mărginită superior . Notăm cu $M\left(f\right)$ limita superioară sau maximul $f\left(x\right)$ Să rămânem la definiția acestui număr $M\left(f\right)$ dacă $f\left(x\right)$ nu este limitată superior $M\left(f\right)$ egal $+\infty$ și dacă $f\left(x\right)$ este limitat superior $M\left(f\right)$ este definită prin proprietatea că pentru orice număr pozitiv $\varepsilon$ , există cel puțin un punct $x$ astfel încât

f\left(x\right)>M\left(f\right)-\varepsilon

și, de asemenea, pentru orice $x$ avem

f\left(x\right)\leq M\left(f\right).

Acum este destul de clar care este semnificația funcției cu margini inferioare , precum și a unei funcții care nu este cu margini inferioare . Definiția limitei inferioare sau a valorii minime $m\left(f\right)$ a funcției $f\left(x\right)$ este perfect analog cu cel al $M\left(f\right)$ O funcție care este simultan mărginită superior și inferior se numește pur și simplu funcție mărginită . Diferența $M\left(f\right)-m\left(f\right)$ se numește oscilația $f\left(x\right)$ în interval $\left[a,b\right]$ .

1.2Funcții continue.

Semnificația continuității unei funcții într-un interval $\left[a,b\right]$ este bine cunoscut. O funcție continuă într-un astfel de interval este uniform continuă în acel interval. Aceasta înseamnă că pentru orice număr pozitiv $\varepsilon$ se poate determina un alt număr pozitiv $\delta$ astfel încât

\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)\right|<\varepsilon

pentru orice $x^{\prime},\ x^{\prime\prime}$ verificarea stării

\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|<\delta.

O funcție continuă își atinge maximul $M\left(f\right)$ și minimul său $m\left(f\right)$ Prin urmare, există cel puțin un punct $x^{\prime}$ astfel încât $f\left(x^{\prime}\right)=M\left(f\right)$ și un punct $x^{\prime\prime}$ astfel încât $f\left(x^{\prime\prime}\right)=m\left(f\right)$ Mai mult, putem afirma că $M\left(f\right)$ este în același timp limita superioară a $f\left(x\right)$ Cu alte cuvinte, $M\left(f\right)$ se bucură de proprietatea că pentru orice număr pozitiv $\varepsilon$ , există o mulțime care conține un număr infinit de puncte $x$ astfel încât

f\left(x\right)>M\left(f\right)-\varepsilon

și cel mult un număr finit de puncte $x$ astfel încât

f\left(x\right)>M\left(f\right)+\varepsilon.

În același mod, minimul $m\left(f\right)$ coincide cu limita inferioară a $f\left(x\right)$ , această limită inferioară fiind definită analog cu limita superioară. Toate aceste definiții se extind la funcțiile mai multor variabile definite în domenii închise și mărginite. Pe parcursul acestor prelegeri vom avea nevoie de alte proprietăți care vor fi reamintite la momentele potrivite.

1.3Distanța dintre două funcții.

$f_{1}\left(x\right)$ şi $f_{2}\left(x\right)$ fiind două funcții $M\left(\left|f_{1}-f_{2}\right|\right)$ se va numi distanța lor . Dacă una dintre aceste funcții este mărginită și cealaltă este nemărginită, distanța lor este egală cu infinitul. Dacă ambele funcții sunt nemărginite, distanța lor poate fi finită. Dacă una dintre funcții este mărginită și distanța lor este finită, atunci cealaltă funcție trebuie să fie mărginită. Distanța se bucură de următoarele proprietăți care pot fi ușor demonstrate:

1 ${}^{0}.$: $M\left(\left|f_{1}-f_{2}\right|\right)$ este un număr pozitiv sau nul;
2 ${}^{0}.$: $M\left(\left|f_{1}-f_{2}\right|\right)=0$ implică $f_{1}\left(x\right)=f_{2}\left(x\right)$ ;
3 ${}^{0}.$: $M\left(\left|Cf\right|\right)=CM\left(\left|f\right|\right)$ , $C$ fiind o constantă pozitivă;
4 ${}^{0}.$: $M\left(\left|f_{1}-f_{2}\right|\right)\leq M\left(\left|f_{1}-f_{3}\right|\right)+M\left(\left|f_{2}-f_{3}\right|\right)$ .

Problema celei mai bune aproximări, care urmează, depinde de această definiție a distanței.

1.4Problema celei mai bune aproximări folosind polinoame.

Să vedem cum este formulată această problemă. Să luăm în considerare familia sau mulțimea de polinoame

P\left(x\right)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}

de grad $n$ Un polinom din această mulțime este complet determinat de coeficienții $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ care sunt numere reale pozitive, negative sau nule. Aceasta înseamnă că orice polinom de gradul $n$ este în același timp un polinom de grad $m$ cu $m>n$ Cu alte cuvinte, mulțimea polinoamelor de grad $n$ conține mulțimea tuturor polinoamelor de orice grad mai mic decât $n$ .

Pentru o funcție arbitrară $f\left(x\right)$ spunem, prin definiție, că distanța $M\left(\left|f-P\right|\right)$ între această funcție și un polinom $P\left(x\right)$ este eroarea sau aproximarea lui $f\left(x\right)$ furnizat de polinom $P\left(x\right)$ .

Pentru toate polinoamele $P\left(x\right)$ de grad $n$ , $M\left(\left|f-P\right|\right)$ are o limită inferioară notată cu $mu_{n}\left(f\right)$ sau mai simplu $\mu_{n}$ . $\mu_{n}$ este prin definiție cea mai bună aproximare a $f\left(x\right)$ prin polinoame de grad $n$ .

Problema celei mai bune aproximări folosind polinoame va fi formulată în felul următor:

Având în vedere o funcție $f\left(x\right)$ , trebuie să se determine mulțimea polinoamelor $P\left(x\right)$ de grad $n$ astfel încât $M\left(\left|f-P\right|\right)$ își atinge limita inferioară $\mu_{n}$ și apoi să studiem numărul $\mu_{n}$ .

Un polinom $P\left(x\right)$ de grad $n$ pentru care $\mu_{n}$ se obține va fi numit polinom de cea mai bună aproximare de gradul $n$ a funcției $f\left(x\right)$ Pe scurt, spunem că un astfel de polinom este un $T_{n}$ polinom și va fi notat cu $T_{n}\left(x;f\right)$ , $T_{n}\left(x\right)$ sau pur și simplu $T_{n}$ .

Problema polinoamelor cu cea mai bună aproximare a fost formulată pentru prima dată de matematicianul rus P. L. Tchebychef.

1,5Determinarea $T_{n}$ în cazuri simple.

Problema celei mai bune aproximări nu poate fi formulată pentru funcții nemărginite deoarece în această situație $M\left(\left|f-P\right|\right)$ egal $+\infty$ , un polinom fiind o funcție mărginită (în intervalul $\left[a,b\right]$ ).

Dacă $f\left(x\right)$ este un polinom de grad $n$ , cea mai bună aproximare $\mu_{n}$ este egal cu zero deoarece în acest caz funcția în sine este un polinom $T_{n}$ Afirmația reciprocă este, de asemenea, adevărată, așa cum rezultă din secțiunea LABEL:sec:18 de mai jos.

Dacă cunoaștem polinoamele $T_{n}$ pentru funcție $f\left(x\right)$ Cunoaștem și polinoamele $T_{n}$ pentru $f\left(x\right)+Q\left(x\right)$ şi $Cf\left(x\right)$ unde $Q\left(x\right)$ este un polinom de grad $n$ și este o constantă $C$ Într-adevăr, avem

M\left(\left|f-P\right|\right)=M\left(\left|f+Q-\left(P+Q\right)\right|\right)=\mu_{n}\left(f\right)

și dacă $R\left(x\right)$ este un polinom de grad $n$ , avem în plus

M\left|\left(f+Q\right)-R\right|=M\left(\left|f-\left(R-Q\right)\right|\right)\geq\mu_{n}\left(f\right).

Rezultă că $P\left(x\right)+Q\left(x\right)$ este un polinom $T_{n}$ pentru funcție $f\left(x\right)+Q\left(x\right)$ și orice polinom $T_{n}$ corespunzătoare acestei funcții are forma $P\left(x\right)+Q\left(x\right)$ De fapt, avem

\mu_{n}\left(f+Q\right)=\mu_{n}\left(f\right).

Avem și relațiile

	$\displaystyle\left\|C\right\|M\left(\left\|f-P\right\|\right)$	$\displaystyle=M\left(\left\|Cf-CP\right\|\right)=\left\|C\right\|\mu_{n}\left(f\right),$
	$\displaystyle M\left(\left\|Cf-R\right\|\right)$	$\displaystyle=M\left(\left\|Cf-C\frac{R}{C}\right\|\right)=\left\|C\right\|M\left(\left\|f-\frac{R}{C}\right\|\right)\geq\left\|C\right\|\mu_{n}\left(f\right).$

Rezultă că $CP\left(x\right)$ este un $T_{n}$ polinomul pentru funcție $Cf\left(x\right)$ și orice polinom $T_{n}$ corespunzătoare acestei funcții are forma $CP\left(x\right)$ Prin urmare, obținem

\mu_{n}\left(Cf\right)=\left|C\right|\mu_{n}\left(f\right).

1.6O lemă preliminară.

Să presupunem că pentru niște polinoame $P\left(x\right)$ de grad $n$ avem

\left|P\left(x\right)\right|<A,in\left(a,b\right).

(1.1)

Intenționăm să demonstrăm că coeficienții $a_{r}$ sunt limitate. Pentru acest scop luăm $n+1$ puncte distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ , în intervalul $\left[a,b\right]$ și luați în considerare sistemul

a_{0}x_{r}^{n}+a_{1}x_{r}^{n-1}+\cdots+a_{n}=P\left(x_{r}\right),\ \ \ r=1,2,\ldots,n+1.

Determinantul acestui sistem nu se anulează deoarece este determinantul Van Der Monde al numerelor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ Folosind regula lui Cramer putem rezolva pentru $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ și ținând cont de inegalitatea ( 1.1 ) găsim Lema preliminară :

Dacă un polinom $P\left(x\right)$ de grad $n$ este delimitat de $A$ în interval $\left[a,b\right]$ , atunci coeficienții $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ rămâne limitat de $\lambda A$ , unde $\lambda$ depinde doar de $n$ și intervalul $\left[a,b\right]$ .

Valoarea $\lambda$ poate fi determinat. Cel mai important este faptul că acest număr nu depinde de polinomul $P\left(x\right)$ Desigur, proprietatea rămâne valabilă ori de câte ori polinoamele sunt considerate doar pe o mulțime liniară și mărginită care conține cel puțin $n+1$ puncte distincte.

1.7Continuitatea $M\left(\left|f-P\right|\right)$ .

Maximul $M\left(\left|f-P\right|\right)$ nu este cu siguranță atinsă decât dacă funcția $f\left(x\right)$ este continuă.

Să $\varepsilon$ fie arbitrar și să definim

A=M\left(\left|x\right|^{n}+\left|x\right|^{n-1}+\cdots+1\right).

Să presupunem că

\left|a_{r}=a_{r}^{\prime}\right|<\frac{\varepsilon}{A},\ r=0,1,\ldots,n.

Definire

	$\displaystyle P\left(x\right)$	$\displaystyle=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}$
	$\displaystyle P_{1}\left(x\right)$	$\displaystyle=a_{0}^{\prime}x^{n}+a_{1}^{\prime}x^{n-1}+\cdots+a_{n}^{\prime},$

avem

M\left(\left|P-P_{1}\right|\right)\leq\left[\max\left(\left|a_{r}-a_{r}^{\prime}\right|\right)\right]M\left(\left|x\right|^{n}+\left|x\right|^{n-1}+\cdots+1\right)

unde, ca de obicei, notăm cu $max\left(c_{1},c_{2},\ldots,c_{k}\right)$ sau $\max_{r=1,2,\ldots,k}\left(c_{r}\right)$ sau în cel mai simplu mod $max\left(c_{r}\right)$ cel mai mare număr din mulțime $c_{1},c_{2},\ldots,c_{k}$ O notație analogă va fi utilizată pentru cel mai mic număr din aceeași mulțime. $c_{r}$ Prin urmare, putem scrie

M\left(\left|P-P_{1}\right|\right)<\varepsilon.

Rezultă că

	$\displaystyle M\left(\left\|f-P\right\|\right)$	$\displaystyle\leq M\left(\left\|f-P_{1}\right\|\right)+M\left(\left\|P-P_{1}\right\|\right)<M\left(\left\|f-P_{1}\right\|\right)+\varepsilon.$
	$\displaystyle M\left(\left\|f-P_{1}\right\|\right)$	$\displaystyle\leq M\left\|\left(f-P\right)\right\|+M\left\|\left(P-P_{1}\right)\right\|<M\left(\left\|f-P\right\|\right)+\varepsilon$

și, în consecință,

\left|M\left(f-P\right)\right|-M\left|\left(f-P_{1}\right)\right|<\varepsilon

ceea ce înseamnă:

$f\left(x\right)$ fiind o funcție continuă, $M\left|\left(f-P\right)\right|$ este, de asemenea, continuă în raport cu coeficienții $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ .

Astfel, limita inferioară $\mu_{n}$ coincide cu limita inferioară a numerelor $M\left(\left|f-P\right|\right)$ .

1.8Existența polinoamelor celei mai bune aproximări.

Ne propunem să examinăm existența polinoamelor $T_{n}$ Din secțiunea anterioară observăm că există un șir infinit de polinoame de grad $n$ .

P_{1}\left(x\right),P_{2}\left(x\right),\ldots,P_{m}\left(x\right),\ldots

(1.2)

astfel încât

	$\displaystyle M\left(\left\|f-P_{m}\right\|\right)$	$\displaystyle\rightarrow\mu_{n},$
	$\displaystyle m$	$\displaystyle\rightarrow\infty$

dar aceasta nu implică existența unui polinom astfel încât cantitatea $\mu_{n}$ sau, cu alte cuvinte, existența unui polinom $P\left(x\right)$ astfel încât $M\left(\left|f-P\right|\right)=\mu_{n}$ .

Acesta nu este un fapt surprinzător. Este adevărat că $M\left|\left(f-P\right)\right|$ este continuă în raport cu coeficienții lui $P,$ dar gama de variații a acestor coeficienți este deschisă și nelimitată. Să presupunem prin contradicție că $M\left(\left|f\right|\right)>\mu_{n}$ Atunci este suficient să luăm în considerare doar polinoamele $P$ astfel încât

M\left|\left(f-P\right)\right|<M\left(\left|f\right|\right)..

Din ultimul rezultat al secțiunii anterioare se știe că există o infinitate de astfel de polinoame de gradul $n$ Dar

M\left(\left|P\right|\right)\leq M\left(\left|f-P\right|\right)+M\left(\left|f\right|\right).

și astfel

M\left(\left|P\right|\right)<2M\left(\left|f\right|\right).

(1.3)

Cu alte cuvinte, putem presupune că polinoamele ( 1.2 ) sunt alese astfel încât să satisfacă ( 1.3 . Dacă punem

P_{m}=a_{0}^{\left(m\right)}x^{n}+a_{1}^{\left(m\right)}x^{n-1}+\cdots+a_{n}^{\left(m\right)},\ m=1,2,\ldots

din Secțiunea 1.7 știm că există un număr $B$ care depinde doar de $M\left(\left|f\right|\right)$ . $\left[B=2\lambda M\left(\left|f\right|\right)\right]$ , astfel încât

\left|a_{r}^{\left(m\right)}\right|<B,\ r=0,1,\ldots,n;m=1,2,\ldots.

Din șirul mărginit

a_{0}^{\left(1\right)},a_{0}^{\left(2\right)},\ldots,a_{0}^{\left(m\right)},\ldots.

putem extrage o subsecvență convergentă la o limită, să zicem $a_{\cup}^{\ast}$

a_{0}^{\left(k\right)},a_{0}^{\left(k_{12}\right)},a_{0}^{\left(k_{13}\right)},\ldots,a_{0}^{\left(k_{1m}\right)},\ldots\rightarrow a_{0}^{\ast}.

(1.4)

Să luăm în considerare acum secvența

a_{1}^{\left(k_{1}\right)},a_{1}^{\left(k_{12}\right)},a_{1}^{\left(k_{13}\right)},\ldots,a_{1}^{\left(k_{1m}\right)},\ldots

Din această secvență putem extrage o subsecvență convergentă la o limită, să zicem $a_{1}^{\ast}$

a_{1}^{\left(k_{1}\right)},a_{1}^{\left(k_{2}\right)},a_{1}^{\left(k_{23}\right)},\ldots,a_{1}^{\left(k_{2m}\right)},\ldots\rightarrow a_{1}^{\ast}

În plus, avem

a_{0}^{\left(k_{1}\right)},a_{0}^{\left(k_{2}\right)},al0^{\left(k_{23}\right)},\ldots,a_{0}^{\left(k_{2m}\right)},\ldots\rightarrow a_{0}^{\ast}

deoarece această secvență este extrasă din ( 1.4 ). Dacă repetăm această procedură $n+1$ ori, în cele din urmă vedem că din șirul de polinoame ( 1.2 ) putem extrage subșirul

P_{k_{1}},P_{k_{2}},\ldots,P_{k_{m}},\ldots

astfel încât

a_{r}^{\left(k_{1}\right)},a_{r}^{\left(k_{2}\right)},\ldots,a_{r}^{\left(k_{m}\right)},\ldots\rightarrow a_{r}^{\left(k_{m}\right)},\ldots\rightarrow a_{r}^{\ast},\ r=0,1,\ldots,n

unde $a_{r}^{\ast}$ sunt niște numere finite.

Dacă definim acum

P^{\ast}\left(x\right)=a_{0}^{\ast}x^{n}+a_{1}^{\ast}x^{n-1}+\cdots+a_{n}^{\ast},

vedem că

M\left(\left|f-P^{\ast}\right|\right)=\mu_{n}.

(1.5)

Astfel, polinomul $P^{\ast}\left(x\right)$ care satisface egalitatea ( 1.5 ) este una dintre cele mai bune aproximări ale gradului $n$ pentru funcție $f\left(x\right)$ Putem enunța acum următoarea proprietate: Pentru orice funcție mărginită $f\left(x\right)$ există cel puțin un polinom cu cea mai bună aproximare a gradului $n$ .

Pe lângă rezultatele din Secțiunea 1.5 , putem acum afirma:

Limita inferioară $\mu_{n}$ dispare dacă și numai dacă $f\left(x\right)$ se reduce la un polinom de grad $n$ .

Am văzut că această condiție este suficientă. Necesitatea ei provine din existența unui polinom $P\left(x\right)$ astfel încât $M\left(\left|f-P\right|\right)=0$ , unde $f\left(x\right)\equiv P\left(x\right)$ Ori de câte ori $f\left(x\right)$ nu este un polinom de grad $n$ , $\mu_{n}$ este un număr pozitiv.

1.9Polinoamele lui Cebîșev pentru o funcție continuă.

Vom presupune acum că funcția $f\left(x\right)$ este continuă și fie $T_{n}\left(x\right)$ fie un polinom de cea mai bună aproximare a gradului $n$ Diferența $f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ va atinge cel puțin una dintre valori $\pm\mu_{n}$ Intenționăm să precizăm numărul de puncte în care se ating aceste valori. Să presupunem că

f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right)=\pm\mu_{n},\ r=1,2,\ldots,m

unde $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ sunt $m$ puncte distincte astfel încât $m\leq n+1$ În toate celelalte puncte ale intervalului $\left[a,b\right]$ avem $\left|f-P\right|<\mu_{n}$ Să $Q\left(x\right)$ fie polinomul LAGRANGE determinat de condițiile

Q\left(x_{r}\right)=f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right),\ r=1,2,\ldots,m.

Polinomul LAGRANGE furnizat de formula de interpolare LAGRANGE este polinomul de gradul cel mai mic care ia valorile $A_{1},A_{2},\ldots,A_{k}$ în puncte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ Acest polinom este unic și are cel mult gradul $k-1$ .

Polinomul $Q\left(x\right)$ este cel mult de gradul $n$ Să introducem un interval $I_{r}$ centrat la $x_{r}$ și de lungime $\delta_{r}$ . Dat fiind un număr pozitiv $\varepsilon$ astfel încât $\varepsilon<\mu_{n}$ , putem alege un număr pozitiv $\delta$ și lungimile $\delta_{r}$ astfel încât:

1 ${}^{0}.$: luând $\delta_{r}\leq\delta$ intervalele $I_{1},I_{2},\ldots,I_{m}$ nu au puncte comune;
2 ${}^{0}.$: oscilația funcțiilor $f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ şi $Q\left(x\right)$ este mai mic decât $\varepsilon$ în orice interval de lungime $\leq\delta$ .

Rezultă imediat că, într-un interval $I_{r}$ funcțiile $f-T_{n}$ şi $Q$ nu dispar și păstrează un semn constant (mai exact același semn). Să presupunem că $x_{r}$ este un punct în care $f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right)=Q\left(x_{r}\right)=\mu_{n}$ , apoi pe intervalul $I_{r}$ avem

\mu_{n}-\varepsilon<f-T_{n}\leq\mu_{n},\mu_{n}-\varepsilon<Q\mu_{n}+\varepsilon.

Să alegem un aspect pozitiv $\lambda$ astfel încât

\lambda<\frac{\mu_{n}-\varepsilon}{\mu_{n}+\varepsilon}.

(1.6)

Apoi, în intervalul $I_{r}$ avem

0<\mu_{n}-\varepsilon-\lambda\left(\mu_{n}+\varepsilon\right)<f-T_{n}=\lambda Q<\mu_{n}-\lambda\left(\mu_{n}-\varepsilon\right).

Într-un punct $x_{r}$ unde $f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right)=Q\left(x_{r}\right),=-\mu_{n}$ , avem $-\mu_{n}\leq f-T_{n}<-\mu_{n}+\varepsilon,\ -\mu_{n}-\varepsilon<Q<-\mu_{n}+\varepsilon$ și împreună cu ( 1.6 ) obținem $-\mu_{n}+\lambda\left(\mu_{n}-\varepsilon\right)<f-T_{n}-\lambda Q<-\mu_{n}+\varepsilon+\lambda\left(\mu_{n}+\varepsilon\right)<0$ Înseamnă că în intervalul $I_{r}$

\left|f-T_{n}-\lambda Q\right|<\mu_{n}-\lambda\left(\mu_{n}-\varepsilon\right)<\mu_{n}.

Din ipoteza noastră inițială, rezultă că în toate punctele domeniului închis obținut, eliminând intervalele $I_{r}$ din $\left[a,b\right]$ , avem

\left|f-T_{n}\right|\leq\mu^{\prime}<\mu_{n},

unde $\mu^{\prime}$ este un număr fix. Dacă luăm $\lambda$ suficient de mic încât

\lambda<\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2M\left(\left|Q\right|\right)}

(1.7)

vom avea în plus

	$\displaystyle\left\|\lambda Q\right\|$	$\displaystyle<\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2},$
	$\displaystyle\left\|f-T_{n}-\lambda Q\right\|$	$\displaystyle\leq\left\|f-T_{n}\right\|+\left\|\lambda Q\right\|<\mu^{\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}$

cu excepția intervalelor $I_{r}$ și extremitățile lor. Înseamnă că peste tot în interval $\left[a,b\right]$ , avem

\left|f-T_{n}-\lambda Q\right|<\mu_{n}.

Astfel, dacă $\lambda$ verifică inegalitățile ( 1.6 ) și ( 1.7 ) ale polinomului $T_{n}+\lambda Q$ oferă o aproximare mai bună, ceea ce este contrar ipotezei. Rezultă următoarea proprietate:

Diferența $f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ atinge valorile $\pm\mu_{n}$ în $n+2$ puncte.

1.10Rezultatul anterior a fost revizuit.

Putem completa rezultatul anterior. Diferența $f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ trebuie să atingă ambele valori $+\mu_{n}$ şi $-\mu_{n}$ Dacă presupunem, de exemplu, că $+\mu_{n}$ nu poate fi atins, atunci am avea peste tot

-\mu_{n}\leq f-T_{n}\leq\mu^{\prime}<\mu_{n},

$\mu^{\prime}$ fiind un număr fix. Luând o constantă pozitivă $\lambda$ putem scrie

-\mu_{n}+\lambda\leq f-T_{n}+\lambda\leq\mu^{\prime}+\lambda.

Astfel, dacă luăm $\lambda<\mu_{n}-\mu^{\prime}$ , atunci peste tot unde avem

\left|f-T_{n}+\lambda\right|<\mu_{n}.

Înseamnă că polinomul $T_{n}-\lambda$ oferă o aproximare mai bună, ceea ce reprezintă o contradicție. Mai mult, putem estima cu precizie numărul de puncte în care $\mu_{n}$ și respectiv $-\mu_{n}$ sunt atinse efectiv. Să presupunem, de exemplu, că

f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right)=\mu_{n},\ r=1,2,\ldots,m,

și în toate celelalte puncte este valabilă următoarea dublă inegalitate

-\mu_{n}\leq f-T_{n}<\mu_{n}.

Fie din nou intervalele $I_{r}$ centrat la $x_{r}$ și cu lungimea $\delta_{r}$ astfel încât intervalele $I_{r}$ sunt disjuncte. Fie $x_{r}^{\prime},x_{r}^{\prime\prime}$ fi punctele finale ale intervalului $I_{r}$ și să definim polinomul

Q\left(x\right)=\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{1}^{\prime\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime\prime}\right)\ldots\left(x-x_{m}^{\prime}\right)\left(x-x_{m}^{\prime\prime}\right).

Avem $Q\left(x\right)<0$ în intervalul deschis $I_{r}$ şi $Q\left(x\right)>0$ în afara intervalelor închise $I_{r}$ Putem lua $\delta$ suficient de mic încât pentru $\delta_{r}\leq\delta$ , în intervalele $I_{r}$

\mu^{\prime}\leq f-T_{n}\leq\mu_{n},

$\mu^{\prime}$ fiind un număr pozitiv astfel încât $\mu^{\prime}<\mu_{n}$ Dacă numărul pozitiv $\lambda$ verifică inegalitatea

\lambda<\frac{\mu^{\prime}}{M\left(\left|Q\right|\right)},

(1.8)

avem în intervalele $I_{r}$

0<\mu^{\prime}+\lambda Q\leq f-T_{n}+\lambda Q\leq\mu_{n}+\lambda Q<\mu_{n}.

Ultima inegalitate este justificată deoarece nu am putea avea egalitatea decât într-un punct în care am avea simultan $f-T=\mu_{n}$ şi $Q=0$ Dar, prin construcție, astfel de puncte nu există. Peste tot în domeniul închis $\left[a,b\right]$ minus intervalele $I_{r}$ , avem

-\mu_{n}\leq f-T_{n}\leq\mu^{\prime\prime}<\mu_{n},

$\mu^{\prime\prime}$ fiind reparat. Luând $\lambda$ astfel încât

\lambda<\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime\prime}}{2M\left(\left|Q\right|\right)},

(1.9)

avem în acest domeniu

\mu_{n}<\mu_{n}+\lambda Q\leq f-T_{n}-\lambda Q<\mu^{\prime\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime\prime}}{2}<\mu_{n}.

Putem justifica prima inegalitate așa cum am arătat mai sus.

Pentru $\lambda$ respectând inegalitățile ( 1.8 ) și ( 1.9 ) avem peste tot în interval $\left[a,b\right]$

\left|f-T_{n}+\lambda Q\right|<\mu_{n}

și vedem că polinomul $T_{n}-\lambda Q$ oferă o aproximare mai bună decât $\mu_{n}.$ Polinomul $Q\left(x\right)$ are o diplomă $2m$ și ajungem la o contradicție dacă $2m\leq n$ Dacă $x_{r}$ ar fi puncte în care $-\mu_{n}$ sunt atinse putem face considerații absolut analoage, așa că, până la urmă, putem enunța următoarea proprietate: Diferența $f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ atinge cel puțin $\left|\frac{n+2}{2}\right|$ punctele valorilor $\mu_{n}$ și cel puțin în $\left|\frac{n+2}{2}\right|$ punctele valorilor $-\mu_{n}$ . $\left[\alpha\right]$ semnifică cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $\alpha$ Proprietățile analizate în secțiunile 1.9 și 1.10 au fost îmbunătățite elegant de E. Borel, așa cum vom vedea mai jos.

1.11Mulțimea polinoamelor $T_{n}$ .

Să presupunem că funcția $f\left(x\right)$ admite două polinoame distincte $T_{n}$ Dacă $P,P_{1}$ sunt aceste două polinoame pe care le avem

M\left(\left|f-P\right|\right)=M\left(\left|f-P_{1}\right|\right)=\mu_{n}.

Dacă $\alpha,\beta$ sunt două numere pozitive pe care le putem scrie

$\displaystyle\mu_{n}$	$\displaystyle\leq M\left(\left\|f-\frac{\alpha P+\beta P_{1}}{\alpha+\beta}\right\|\right)=M\left(\left\|\frac{\alpha^{\prime}f-P}{\alpha+\beta}+\frac{\beta\left(f-P_{1}\right)}{\alpha+\beta}\right\|\right)\leq$	(1.10)
	$\displaystyle\leq\frac{\alpha\backslash\left(\left\|f-P\right\|\right)+\beta M\left\|\left(f-P_{1}\right)\right\|}{\alpha+\beta}=\mu_{n}$
	$\displaystyle\therefore M\left(\left\|f-\frac{\alpha P+\nu P_{1}}{\alpha+\beta}\right\|\right)=\mu_{n}.$

Înseamnă că polinomul $\frac{\alpha P+\beta P_{1}}{\alpha+\beta}$ este un altul $T_{n}$ polinom și, în consecință, putem afirma:

Dacă o funcție mărginită admite două polinoame distincte $T_{n}$ admite un număr infinit (nenumărabil) de astfel de polinoame.

Pentru fiecare polinom $P\left(x\right)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ putem atribui un punct $A$ de coordonate $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ din $n+1$ spațiu euclidian dimensional. Ca o consecință a rezultatelor noastre anterioare, putem afirma următoarele:

Punctele $A$ corespunzătoare polinoamelor $T_{n}$ atașate unei funcții mărginite sunt organizate ca un domeniu convex, mărginit și închis.

Dacă polinomul $T_{n}$ este unic, acest domeniu se reduce la un singur punct. Dacă intervalul $\left[a,b\right]$ este simetrică față de origine, adică $a=-b$ și dacă funcția $f\left(x\right)$ este par, adică $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ , atunci există un polinom par $T_{n}$ Într-adevăr, este ușor de observat că $T_{n}\left(-x\right)$ este, de asemenea, un $T_{n}$ polinom. În același mod, polinomul $\frac{T_{n}\left(x\right)+T_{n}\left(-x\right)}{2},$ este pară. În această situație $\mu_{2n+1}\left(f\right)=\mu_{2n}\left(f\right)$ Dacă funcția este impară, adică $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ , există un polinom impar $T_{n}$ . În acest caz $\mu_{2n}\left(f\right)=\mu_{2n-1}\left(f\right)$ .

1.12Unicitatea polinoamelor lui Cebîșev.

Discuția anterioară ne permite să formulăm următoarea concluzie importantă. Dacă $P,P_{1}$ sunt două polinoame distincte $T_{n}$ polinomul $P_{2}=\frac{P+P_{1}}{2}$ este, de asemenea, un $T_{n}$ polinom. Inegalitatea ( 1.10 ) arată că într-un punct $x^{\prime}$ unde avem $f\left(x^{\prime}\right)-P_{2}\left(x^{\prime}\right)=\pm\mu_{n}$ , trebuie să avem și noi

	$\displaystyle f\left(x^{\prime}\right)-P\left(x^{\prime}\right)$	$\displaystyle=f\left(x^{\prime}\right)-P_{1}\left(x^{\prime}\right)=\pm\mu_{n}$
		$\displaystyle\therefore P\left(x^{\prime}\right)=P_{1}\left(x^{\prime}\right).$

Conform proprietăților de mai sus, polinoamele $P,P_{1}$ coincid cel puțin în $n+2$ puncte. Înseamnă că sunt identice. Următoarea proprietate este acum destul de clară:

O funcție continuă $f\left(x\right)$ admite un polinom unic de cea mai bună aproximare de grad $n$ .

De fapt, unicitatea rezultă din proprietatea demonstrată în Secțiunea 1.9 . Mai exact, această unicitate rezultă exclusiv din faptul că $|f-T_{n}|$ atinge maximul în cel puțin $n+1$ puncte. Într-adevăr, două polinoame de grad $n$ care coincid în $n+1$ punctele sunt identice.

Dacă intervalul $\left[a,b\right]$ este simetrică față de origine și $f\left(x\right)$ este o funcție pară atunci $T_{n}\left(x\right)$ este, de asemenea, par și $T_{2n+1}\equiv T_{2n}$ Dacă funcția este impară, polinomul $T_{n}\left(x\right)$ are aceeași proprietate și $T_{2n}\equiv T_{2n-1}$ .

Dacă o funcție nu este continuă, polinomul $T_{n}$ în general nu este unică. Observăm că $T_{0}$ este întotdeauna unic și egal $\frac{M\left(f\right)+m\left(f\right)}{2}$ Să introducem funcția

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}[c]{c}-1,\ -1\leq x<0\\ \ \ \ 1,\ \ \ \ \ \ 0\leq x\leq 1\end{array}\right.

Trebuie să avem $\mu_{n}\geq 1$ Dar polinomul nul oferă aproximarea $1$ astfel încât $\mu_{n}=1$ pentru fiecare $n$ Toate polinoamele $T_{n}$ trebuie să se anuleze în origine. Polinoamele $Cx$ unde $C$ este o constantă $T_{n}$ polinoame pentru $0\leq C\leq 2$ și pentru orice $n>0$ .

Capitolul 2A doua lecție. Rezultatele lui E. Borel.

2.1Diferența $f\left(x\right)-P\left(x\right)$ .

Vom presupune că funcția $f\left(x\right)$ este continuă și vom lua un polinom continuu $P\left(x\right)$ de grad $n$ Să luăm în considerare diferența $\phi\left(x\right)=f\left(x\right)-P\left(x\right)$ care este, de asemenea, o funcție continuă.

Vom spune că un punct al intervalului $\left[a,b\right]$ este un $x^{\prime}$ punct dacă $\phi\left(x^{\prime}\right)=M\left(\left|\phi\right|\right)$ și un $x^{\prime\prime}$ punct dacă $\phi\left(x^{\prime\prime}\right)=-M\left(\left|\phi\right|\right)$ .

Să fie acum $\varepsilon<\frac{M\left(\left|\phi\right|\right)}{2}$ un număr pozitiv și $\delta^{\prime}>0$ un alt număr astfel încât oscilația $\phi\left(x\right)$ într-un interval mai scurt decât $\delta^{\prime}$ este mai mic decât $\varepsilon$ Să împărțim intervalul $\left[a,b\right]$ în $r$ subintervale

I_{1},I_{2},\ldots,I_{r}

(2.1)

de aceeași lungime $\delta$ care este mai mic decât $\delta^{\prime}$ Un interval $I_{r}$ poate sau nu poate conține puncte $x^{\prime},x^{\prime\prime},$ dar poate conține doar puncte de același fel.

Să $I_{s_{1}}$ fi primul interval din secvența ( 2.1 ) care conține un $x^{\prime}$ sau un $x^{\prime\prime}$ Pentru a fixa ideile, să presupunem că conține unul sau mai multe $x^{\prime}$ puncte. Fie atunci $I_{s_{2}}$ primul interval care urmează $I_{s_{1}}$ care conține $x^{\prime\prime}$ puncte. Între $I_{s_{1}}$ şi $I_{s_{2}}$ există cel puțin trei intervale consecutive care nu conțin niciunul dintre $x^{\prime}$ puncte nici $x^{\prime\prime}$ puncte. Dacă notăm cu $\xi_{1}$ mijlocul intervalului $I_{s_{2}-2}$ nu există $x^{\prime}$ sau $x^{\prime\prime}$ puncte într-un interval de lungime $3\delta$ centrat la $\xi_{1}$ Să $I_{s_{3}}$ fi primul interval succesiv față de $I_{s_{2}}$ care conține $x^{\prime}$ puncte. Lasă punctul $\xi_{2}$ fi punctul de mijloc al $I_{s_{3}-2}$ Ideea $\xi_{2}$ se bucură de aceleași proprietăți ca și $\xi_{1}$ Lucrând analog de-a lungul tuturor intervalelor din ( 2.1 ), găsim șirul $a,\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{m-1},b,$ care determină o secvență de $m$ intervale succesive și închise

L_{1},L_{2},\ldots,L_{m}.

(2.2)

Aceste intervale se bucură de următoarele proprietăți:

1 ${}^{0}.$: Există cel puțin un interval $L_{s}$ .
2 ${}^{0}.$: Punctele de diviziune $\xi_{s}$ sunt separate de puncte $x^{\prime}$ şi $x^{\prime\prime}$ prin segmente de lungime $\frac{3}{2}\delta$ .
3 ${}^{0}.$: Fiecare interval $L_{s}$ conține $x^{\prime}$ sau $x^{\prime\prime}$ puncte. Dacă $L_{s}$ conține $x^{\prime}$ puncte, apoi intervalele $L_{s-1},L_{s+1}$ conţine $x^{\prime\prime}$ puncte.

Într-un interval $L_{s}$ care conține $x^{\prime}$ puncte, $m\left(\phi\right)$ nu poate echivala $-M\left(\left|\phi\right|\right)$ ; și într-un interval care conține $x^{\prime\prime}$ puncte, $M\left(\phi\right)$ nu poate echivala $M\left(\left|\phi\right|\right)$ Deducem că există un factor pozitiv $\eta$ astfel încât în fiecare interval $L_{s}$ avem

\phi>-M\left(\left|\phi\right|\right)+\eta\ \ \ \ \ \ \phi<M\left|\left(\phi\right)\right|-\eta

conform faptului că $L_{s}$ conține $x^{\prime}$ sau $x^{\prime\prime}$ puncte.

2.2Proprietatea fundamentală a $T_{n}$ polinoame.

Dacă luăm $\phi\left(x\right)=f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ , apoi $M\left(\left|\phi\right|\right)=\mu_{n}$ Să presupunem că numărul de intervale din ( 2.2 ) este $m$ mai puțin decât $n+2$ , adică, $m\leq n+1$ În aceste condiții, polinomul

Q\left(x\right)=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right)\ldots\left(x-\xi_{m-1}\right)

are efectiv gradul $n$ Să determinăm constanta $\lambda$ astfel încât $\lambda Q>0$ în interiorul intervalelor $L_{s}$ care conțin $x^{\prime}$ puncte și

\left|\lambda\right|<\frac{\eta}{M\left(\left|Q\right|\right)}

unde $\eta$ este numărul găsit la sfârșitul secțiunii anterioare. În fiecare punct al intervalului $\ \ L_{s}$ , care conține $x^{\prime}$ puncte, avem

-\mu_{n}+\eta-\eta<f-T_{n}-\lambda Q<\mu_{n},

și dacă $L_{s}$ conține $x^{\prime\prime}$ puncte

-\mu_{n}<f-T_{n}-\lambda Q<\mu_{n}-\eta+\eta.

Astfel, în întreg intervalul $\left[a,b\right]$ avem

\left|f-T_{n}-\lambda Q\right|<\mu_{n},

ceea ce contrazice faptul că $T_{n}$ este un polinom de cea mai bună aproximare de grad $n$ Prin urmare,

Dacă $T_{n}$ este polinomul cu cea mai bună aproximare de grad $n$ pentru funcția continuă $f\left(x\right)$ , diferența $f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)$ atinge valorile $\pm\mu_{n}$ în cel puțin $n+2$ puncte consecutive cu semne alternante.

2.3Prima teoremă a lui Borel.

Să $P$ fie un polinom de grad $n$ , distinct de $T_{n}$ și să presupunem că diferența $f\left(x\right)-P\left(x\right)$ atinge valorile $\pm M\left(\left|f-P\right|\right)$ în cel puțin $n+2$ puncte consecutive cu semne alternante. Fie $x_{1}^{\prime}<x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<\ldots$ fi $n+2$ puncte în care $\pm M\left(\left|f-P\right|\right)$ este obținut alternativ, $x_{r}^{\prime}$ fiinţă $x^{\prime}$ puncte și $x_{r}^{\prime\prime}$ fiinţă $x^{\prime\prime}$ puncte (secvența ar putea începe și cu $(x^{\prime\prime})$ ).Avem

M\left(\left|f-T_{n}\right|\right)<M\left(\left|f-P\right|\right).

Dacă introducem funcția

\psi\left(x\right)=\left(f\left(x\right)-P\left(x\right)\right)-\left(f\left(x\right)-T_{n}\left(x\right)\right)=T_{n}\left(x\right)-P\left(x\right)

urmează

\psi\left(x_{1}^{\prime}\right)>0,\ \psi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)<0,\ \psi\left(x_{2}^{\prime}\right)>0,\ \psi\left(x_{2}^{\prime\prime}\right)<0,\ldots

și astfel funcția $\psi\left(x\right)$ dispare $n+1$ ori. Dar această funcție este un polinom de grad $n$ și astfel obținem $T_{n}\equiv P$ Cu aceste rezultate putem enunța următoarea teoremă, care va fi numită prima teoremă a lui Borel :

Un polinom $P$ este un $T_{n}$ polinomul celei mai bune aproximări pentru o funcție continuă $f\left(x\right)$ , dacă și numai dacă diferența $f-P$ își atinge valoarea absolută maximă în cel puțin $n+2$ puncte consecutive cu semne alternante. Această proprietate poate fi formulată alternativ în felul următor:

Să $x_{r}$ fi punctele în care diferența $\left|f-P\right|$ atinge valoarea sa maximă. Polinomul $P$ este un $T_{n}$ polinomul celei mai bune aproximări pentru funcția continuă $f\left(x\right)$ , dacă și numai dacă nu există un polinom $Q\left(x\right)$ de grad $n$ care în $x_{r}$ , ia valori nenule de același semn cu $f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)$ .

Condiția este suficientă. Dacă $P\left(x\right)$ este un $T_{n}$ , polinomul celei mai bune aproximări, putem scrie

\left|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right|>\left|f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right)\right|

și așa

sg\left(T_{n}\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right)=sg\left(f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right)

deoarece

T_{n}-P=\left(f-P\right)-\left(f-T_{n}\right).

Rezultă că

Q\left(x\right)=T_{n}\left(x\right)-P\left(x\right)

contrazice ipoteza noastră.

Condiția este necesară Printre puncte $x_{r}$ putem alege $n+2$ puncte consecutive $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}...$ , unde $\pm\mu_{n}$ se obține alternativ prin diferența $f-T_{n}$ .

Să definim $Q\left(x\right)=a_{0}$ $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ un polinom astfel încât

	$\displaystyle sgQ\left(x_{r}\right)$	$\displaystyle=sg\left(f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r}\right)\right)$
	$\displaystyle r$	$\displaystyle=1,2,\ldots,n+2.$

Trebuie să avem

	$\displaystyle a_{0}x_{r}^{n}+a_{1}x_{r}^{n-1}+\cdots+a_{n}$	$\displaystyle=Q\left(x_{r}\right)$		(2.3)
	$\displaystyle r$	$\displaystyle=1,2,\ldots,n+2.$

De fapt, avem un sistem de $n+2$ ecuații care implică doar $n+1$ necunoscute $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ Compatibilitatea sa implică faptul că determinantul său caracteristic se anulează. Să notăm cu

V\left(\alpha_{1},a_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)=\left|1\alpha_{r}\alpha_{r}^{2}\ldots\alpha_{r}^{k-1}\right|

(2.4)

determinantul Van Der Monde al numerelor $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}.$

Dacă $\alpha_{1}<\alpha_{2}<\cdots<\alpha_{k}$ apoi $V\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)>0$ Determinantul caracteristic al sistemului ( 2.3 ) este egal, eventual cu excepția unui semn, cu suma

\sum_{r=1}^{n+2}\left|Q\left(x_{r}\right)\right|V\left(x_{1},x_{2},,x_{r-1},\right)

și nu se anulează. Prin urmare, sistemul ( 2.3 ) este incompatibil și teorema este demonstrată. Se poate demonstra că prima teoremă a lui Borel rezultă din proprietatea de mai sus. Aceasta înseamnă că ambele afirmații sunt echivalente. Din teorema anterioară rezultă că, în cazul în care numărul de intervale ( 2.2 ) este mai mare decât $n+2$ avem

T_{n}\equiv T_{n+1}\equiv\cdots\equiv T_{m-2}.

2.4Despre distribuția zerourilor lui $T_{n}-T_{n-1}$ polinoame.

Din rezultatele anterioare se desprinde o altă proprietate interesantă. Să presupunem că polinoamele $T_{n-1},T_{n}$ nu sunt identice și apoi $\mu_{n-1}>\mu_{n}$ Să $x_{1}^{\prime}<x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime}<\cdots$ fi $n+1$ puncte în care $f-T_{n-1}$ atinge în mod arbitrar $\pm\mu_{n-1}$ Dacă definim

\psi\left(x\right)=\left(f-T_{n-1}\right)-\left(f-T_{n}\right)=T_{n}-T_{n-1},

obținem

\psi\left(x_{1}^{\prime}\right)>0,\ \psi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)<0,\ \psi\left(x_{2}^{\prime}\right)>0,\ldots

și, în consecință, $\psi\left(x\right)$ dispare în cel puțin $n$ puncte distincte în $\left[a,b\right]$ Astfel, avem următoarea proprietate:

Dacă $T_{n-1},T_{n}$ sunt două polinoame consecutive cu cea mai bună aproximare a unei funcții continue, ecuația $T_{n}-T_{n-1}=0$ are condiții reale și distincte în $\left(a,b\right)$ .

2,5Cel/Cea/Cei/Cele $T_{n}$ polinoame pentru funcții de ordin $n$ .

Să revenim la notația ( 2.4 ) pentru determinantul Van Der Monde. Să notăm cu $U\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right)$ determinantul obținut din $V\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)$ prin înlocuirea intrărilor din ultima coloană respectiv cu $f\left(\alpha_{1}\right),f\left(\alpha_{2}\right),\ldots,f\left(\alpha_{k}\right),$ și astfel

U\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right)=\left|\alpha_{r}\alpha_{r}\ldots\alpha_{r}^{k-2}f\left(x_{r}\right)\right|

(2.5)

Raportul

\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]=\frac{U\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right)}{V\left(\alpha\,1\right),\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}}

se numește diferență de ordin împărțită $k-1$ a funcției $f\left(x\right)$ pe puncte $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}$ Este clar că această diferență divizată este simetrică față de punctele $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}$ .

Dacă diferența împărțită $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]$ a funcției $f\left(x\right)$ nu își schimbă semnul pentru niciun $n+2$ puncte distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ din $\left[a,b\right]$ vom spune că funcția este de $n$ în acest interval. Mai exact, funcția $f\left(x\right)$ este convex , neconcav , polinom , neconvex sau concav de ordin $n$ în $\left(a,b\right)$ dacă avem

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]>,\geq,=,\leq,or<0

în acest interval. ²²2For the properties of these functions one can see Tiberiu POPOVICIU ”Sur quelques propriétés des fonctions d’une ou de deux variables réelles”. Thèse, Paris (Iunie 1933) sau Mathematica vol.VIII pp.1-86. Funcția polinomială de ordin $n$ este un polinom de grad $n$ Invers, orice polinom de grad $n$ este o funcție (polinomială) de ordin $n$ Caracterul de convexitate al ordinii $n$ unei funcții nu se modifică prin adăugarea unui polinom de grad $n$ Funcțiile definite în acest mod au următoarea proprietate: O funcție de ordin $n$ nu poate lua mai mult de $n+2$ puncte consecutive, valori nenule cu semn alternativ. Demonstrația se bazează pe formula

	$\displaystyle U\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right)$	$\displaystyle=$		(2.6)
		$\displaystyle=\sum_{j=1}^{k}\left(-1\right)^{k-j}f\left(\alpha_{j}\right)V\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\ldots,\alpha_{k}\right)$

ceea ce va fi util mai târziu. Dacă proprietatea nu ar fi adevărată, ar exista $n+3$ puncte $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}$ unde $f\left(x\right)$ ar putea lua valori nenule cu semn alternativ. Astfel, am avea

\left[sgf\left(x_{r}\right)\right]\cdot\left[sgf\left(x_{r+1}\right)\right]=-1,\ r=1,2,\ldots,n+2.

Dar folosind formula ( 2.6 ) avem

	$\displaystyle sg\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]$	$\displaystyle=sg\ f\left(x_{n+2}\right)$
	$\displaystyle sg\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]$	$\displaystyle=sg\ f\left(x_{n+3}\right)$

ceea ce contrazice proprietatea de convexitate. Afirmația noastră este astfel demonstrată. Am făcut ipoteza restrictivă că funcția $f\left(x\right)$ nu se anulează în punctele considerate. Se poate găsi cu ușurință cum poate fi modificată această afirmație atunci când această ipoteză este neglijată. Avem nevoie de această proprietate doar într-un mod formal. Proprietatea anterioară se aplică și funcției $f-P$ , unde $P$ este un polinom de grad $n$ În mod special, vom aplica proprietatea de mai sus funcției $f-T_{n}$ doar în punctele în care această diferență atinge valorile $\mu_{n}$ .

Dacă $T_{n}$ este polinomul cu cea mai bună aproximare de grad $n$ a funcției continue $f\left(x\right)$ de ordine $n$ (care nu este un polinom) atunci, iese $n+2$ și numai $n+2$ puncte consecutive în care diferența $f-T_{n}$ atinge valorile $\pm\mu_{n}$ cu semn alternativ.

Cu alte cuvinte, putem spune că: dacă funcția continuă $f\left(x\right)$ este de ordine $n$ (și nu este un polinom) polinoamele $T_{n},\ T_{n+1}$ sunt cu siguranță distincte. În acest caz $T_{n+1}$ are efectiv un grad $n+1$ şi $\mu_{n+1}<\mu_{n}$ .

2.6A doua teoremă a lui Borel.

E. Borel a arătat că corespondența dintre o funcție continuă și polinomul său de cea mai bună aproximare este continuă. Fie $f$ şi $f^{\ast}$ şi $T_{n},T_{n}^{\ast}$ polinoamele lor de cea mai bună aproximare de grad $n$ Să $x_{1}^{\prime}<x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<\ldots$ fi $n+2$ puncte în care $f-T_{n}$ ia alternativ valorile $\pm\mu_{n}$ Putem scrie

	$\displaystyle M\left(\left\|f^{\ast}-T_{n}^{\ast}\right\|\right)M\left(\left\|f^{\ast}-T_{n}\right\|\right)$	$\displaystyle\leq M\left(\left\|f-T_{n}\right\|\right)+M\left(\left\|f-f^{\ast}\right\|\right)$
		$\displaystyle\therefore M\left(\left\|f^{\ast}-T_{n}^{\ast}\right\|\right)\leq\mu_{n}+\eta,$

unde am definit pentru simplitate $\eta=M\left(\left|f-f^{\ast}\right|\right)$ . Avem

T_{n}-T_{n}^{\ast}=f^{\ast}-T_{n}^{\ast}-\left(f-T_{n}\right)+\left(f-f^{\ast}\right),

într-un punct $x_{r}^{\prime}$

T_{n}-T_{n}^{\ast}\leq\mu_{n}+\eta-\mu_{n}+\eta=2\eta,

și într-un punct $x_{r}^{\prime\prime}$

T_{n}-T_{n}^{\ast}\geq-\mu_{n}-\eta+\mu_{n}-\eta=-2\eta.

Intenționăm să demonstrăm că cel puțin într-unul dintre intervale $\left(x_{1}^{\prime},x_{1}^{\prime\prime}\right),\left(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime}\right),\left(x_{2}^{\prime},x_{2}^{\prime\prime}\right),\ldots$ putem scrie inegalitatea

\left|T_{n}-T_{n}^{\ast}\right|\leq 2\eta.

(2.7)

Să presupunem contrariul. Există punctele $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ în acestea $n+1$ intervale astfel încât

\left|T_{n}\left(x_{r}\right)-T_{n}^{\ast}\left(x_{r}\right)\right|>2\eta,\ r=1,2,\ldots,n+1.

Rezultă că

T_{n}\left(x_{r}^{\prime}\right)-T^{\ast}\left(x_{r}^{\prime}\right)\leq 2\eta,\ T_{n}\left(x_{r+1}^{\prime}\right)-T_{n}^{\ast}\left(x_{r+1}^{\prime}\right)\leq 2\eta.

Pot apărea două posibilități:

1 ${}^{0}.$

Putem avea una dintre inegalități

T_{n}\left(x_{2r-1}\right)-T_{2}^{\ast}\left(x_{2r-1}\right)>2\eta,\ T_{n}\left(x_{2r}\right)-T_{n}^{\ast}\left(x_{2r}\right)>2\eta.

2 ${}^{0}.$

Sau ambele inegalități

T_{n}\left(x_{2r-1}\right)-T_{n}^{\ast}\left(x_{2r-1}\right)<-2\eta,\ T_{n}\left(x_{2r}\right)-T_{n}^{\ast}\left(x_{2r}\right)<-2\eta

sunt mulțumiți.

Punctele $x_{2r-1},x_{2r}$ aparțin intervalelor $\left(x_{r}^{\prime},x_{r+1}^{\prime}\right)$ Se poate observa că în cazul ¹⁰ diferența $T_{n}-T_{n}^{\ast}$ are un maxim (relativ) în acest interval. În cazul 2 ⁰ luăm în considerare suplimentar relația

T_{n}\left(x_{r}^{\prime\prime}\right)-T_{n}^{\ast}\left(x_{r}^{\prime\prime}\right)\geq-2\eta

și pentru că punctul $x_{r}^{\prime\prime}$ aparține intervalului $\left(x_{r}^{\prime},x_{r+1}^{\prime}\right)$ observăm din nou că polinomul $T_{n}-T_{n}^{\ast}$ are cel puțin un maxim în acest interval.

De fapt, polinomul $T_{n}-T_{n}^{\ast}$ are cel puțin un minim în fiecare interval $\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}\right),\ \left(x_{2}^{\prime},x_{3}^{\prime}\right)\ldots$ În același mod, putem demonstra că acest polinom are cel puțin un minim (relativ) în fiecare dintre intervale $\left(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime}\right)$ , $\left(x_{2}^{\prime\prime},x_{3}^{\prime\prime}\right)\ldots$ Polinomul nostru, care este prin ipoteză de grad $n$ și nul neidentic, are cel puțin $n$ maxime și minime, ceea ce este imposibil.

Acum se demonstrează că inegalitatea ( 2.7 ) este adevărată cel puțin într-una dintre $n+1$ intervalele luate în considerare. Luând în considerare un astfel de interval $n+1$ puncte distincte și lucrând ca în Sect. 1.7 vom vedea că coeficienții polinomului $T_{n}-T_{n}^{\ast}$ sunt în valoare absolută mai mici decât un număr $2\eta\lambda$ , unde $\lambda$ este un număr fix. Rezultă că

M\left(\left|T_{n}-T_{n}^{\ast}\right|\right)<2\eta\lambda A,

unde

A=M\left(\left|x\right|^{n}+\left|x\right|^{n-1}+\cdots+1\right).

Dacă luăm

\eta<\frac{\varepsilon}{2\lambda A},

obținem

M\left(\left|T_{n}-T_{n}^{\ast}\right|\right)<\varepsilon.

Putem acum enunța un rezultat care va fi numit a doua teoremă a lui Borel:

Pentru orice număr pozitiv $\varepsilon$ putem găsi un alt număr pozitiv $\delta$ astfel încât inegalitatea

M\left(\left|f-f^{\ast}\right|\right)<\delta

implică

M\left(\left|T_{n}-T_{n}^{\ast}\right|\right)<\varepsilon.

2.7O consecință a teoremei anterioare.

Din teorema anterioară rezultă o consecință importantă. Să presupunem că o secvență de funcții continue

f_{1}\left(x\right),f_{2}\left(x\right),\ldots,f_{m}\left(x\right),\ldots

(2.8)

converge uniform către o funcție continuă $f\left(x\right)$ în întregul interval $\left[a,b\right]$ A doua teoremă a lui Borel afirmă că pentru o valoare pozitivă dată $\delta$ , există un aspect pozitiv $\varepsilon$ astfel încât

M\left(\left|f-f^{\ast}\right|\right)<\delta

implică

M\left|T_{n}\left(x;f\right)-T_{n}\left(x;f^{\ast}\right)\right|<\varepsilon.

Dar, datorită convergenței uniforme, există un număr $A$ astfel încât pentru $m>A$ avem

M\left(\left|f-f_{m}\right|\right)<\delta

și astfel pentru $m>A$ avem și noi

M\left|T_{n}\left(x;f\right)-T_{n}\left(x;f_{m}\right)\right|<\varepsilon.

Prin urmare, putem formula următorul rezultat: În șirul ( 2.8 ) de funcții continue converge uniform către funcția continuă $f\left(x\right)$ , atunci șirul de polinoame $T_{n}\left(x;f_{1}\right),\ T_{n}\left(x;f_{2}\right),\ldots,T_{n}\left(x;f_{m}\right),\ldots$ converge la polinomul de cea mai bună aproximare de grad $n$ a funcției $f\left(x\right)$ .

Desigur, șirul de polinoame de mai sus este uniform convergent. De fapt, un șir de polinoame de același grad este, de asemenea, uniform convergent în întregul interval $\left[a,b\right]$ .

2.8Calculul $T_{n}$ polinom.

Rezultatele anterioare ne permit să calculăm polinomul $T_{n}$ cu o aproximare dorită. Dacă $f$ este un polinom, calculul lui $T_{n}$ este o problemă pur algebrică. Într-adevăr, dacă într-un punct interior al intervalului $\left[a,b\right]$ avem $\left|f-T_{n}\right|=\mu_{n}$ , derivata polinomului $f-T_{n}$ se anulează în acest punct. Să observăm că egalitatea $\left|f-T_{n}\right|=\mu_{n}$ poate avea loc într-un punct extrem $a$ sau $b$ sau chiar la ambele capete ale intervalului $\left[a,b\right]$ Polinomul $T_{n}$ și cantitatea $\mu_{n}$ va fi determinat din sistem

\left\{\begin{array}[c]{c}f\left(x_{r}\right)-T_{n}\left(x_{r};f\right)=\left(-1\right)^{r}\rho\ r=1,2,\ldots,n+2\\ f^{\prime}\left(x_{r}\right)-T^{\prime}\left(x_{r};f\right)=0\ \ \ \ x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+2}\end{array}\right.

(2.9)

sau dintr-unul dintre sistemele obținute presupunând unul sau ambele capete $x_{1}=a,x_{n+2}=b$ satisfăcute și eliminând din a doua secvență a ecuației ( 2.9 ) ecuațiile corespunzătoare acestor indici. Sistemul ( 2.9 ) împreună cu celelalte trei obținute din acesta determină coeficienții lui $T_{n}$ , valoarea lui $\rho$ , și punctele $x_{r}$ Sistemul este bine definit, adică numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Aceste sisteme acceptă un anumit număr de soluții care pot fi găsite algebric. Din acest set de soluții știm că o anumită soluție oferă polinomul. $T_{n}$ și cea mai bună aproximare $\mu_{n}$ Din următoarele considerații rezultă că pentru o soluție specificată $\left|\rho\right|$ va avea valoarea maximă și această soluție va oferi doar polinomul $T_{n}$ .

Vom demonstra mai jos că pentru orice funcție continuă $f\left(x\right)$ și orice pozitiv $\delta$ , putem găsi un polinom $P\left(x\right)$ astfel încât

M\left(\left|f-P\right|\right)<\delta.

În mod special, putem găsi un polinom $P$ astfel încât pentru un rezultat pozitiv $\varepsilon$ , menționate a priori, avem

M\left(\left|T_{n}\left(x;f\right)-T_{n}\left(x;P\right)\right|\right)<\varepsilon,

În consecință, putem calcula cu o aproximare dorită polinoamele celei mai bune aproximări pentru o funcție continuă.

2.9Cea mai bună aproximare a $x^{n+1}$ .

De exemplu, să calculăm polinomul $T_{n}\left(x;x^{n+1}\right)$ în interval $\left(-1,1\right)$ Observăm imediat că $\mu_{n}$ se atinge chiar și la sfârșit $-1$ sau $1$ deoarece derivata lui $f-T_{n}$ este un polinom de grad $n$ , care nu poate dispărea în mai mult de $n$ puncte. Trebuie să avem

P-\mu_{n}^{2}=Q^{2}\left(x^{2}-1\right),

unde, prin definiție $P=x^{n+1}-T_{n}\left(x;x^{n+1}\right)$ şi $Q$ este un polinom de grad $n$ Ultima ecuație enunță proprietatea fundamentală a $T_{n}$ polinoame. Diferențiend această egalitate obținem

P.P^{\prime}=Q\cdot Q^{\prime}\left(x^{2}-1\right)+xQ^{2}=Q\left[Q^{\prime}\left(x^{2}-1\right)+xQ\right].

Dar $P$ este prim reciproc cu $Q$ , astfel putem scrie $P^{\prime}=\lambda Q$ , unde $\lambda$ este o constantă (de fapt $\lambda=\pm\left(n+1\right)$ ).Astfel avem

\pm\lambda\sqrt{\mu_{n}^{2}-P}=P^{\prime}\sqrt{1-x^{2}}

\frac{dP}{\sqrt{\mu_{n}^{2}-P^{2}}}=\frac{\pm\lambda dx}{\sqrt{1-x^{2}}}

și acum se poate vedea că $P$ are forma

P=\pm\mu_{n}\cos\left(\lambda\arccos\ x+\alpha\right)

cu $\alpha$ o constantă. $P$ trebuie să fie un polinom de grad $n+1$ cu primul termen $x^{n+1}$ și astfel $\alpha=0$ și $\lambda=n+1$ , adică,

x^{n+1}-T_{n}\left(x;x^{n+1}\right)=\frac{1}{2^{n}}\cos\left(\overline{n+1}.\arccos\ x\right)

şi

\mu_{n}\left(x^{n+1}\right)=\frac{1}{2^{n}}.

Polinomul $T_{n}\left(x;x^{n+1}\right)$ corespunzător unui interval arbitrar $\left(a,b\right)$ poate fi obținut folosind o transformare liniară și astfel găsim

x^{n+1}-T_{n}\left(x;x^{n+1}\right)=\frac{\left(b-1\right)^{n+1}}{2^{2n+1}}\cos\left(\overline{n+1}.\arccos\frac{2x-a-b}{b-a}\right)

(2.10)

şi

\mu_{n}x^{n+1}=\frac{\left(b-a\right)^{n+1}}{2^{2n+1}}.

Polinomul ( 2.10 ) este cel care diferă cel mai puțin de zero dintre toate polinoamele de gradul $n+1$ care au primul termen $x^{n+1}$ Acest polinom a fost determinat pentru prima dată de Cebîșev.

Capitolul 3A treia lecție. Rezultatele lui Ch. de la Vallée Poussin.

3.1Cea mai bună aproximare a $n+2$ puncte.

Să luăm acum în considerare o funcție uniformă $f\left(x\right)$ definit doar pe $n+2$ puncte, și anume

x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+2}.

(3.1)

Maximul $M\left(\left|f-P\right|\right)$ va fi definit prin formula

	$\displaystyle M\left(\left\|f-P\right\|\right)$	$\displaystyle=\max\left(\left\|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right\|\right)$
	$\displaystyle r$	$\displaystyle=1,2,\ldots,n+2.$

Pentru toate polinoamele $P\left(x\right)$ de grad $n$ expresia $M\left(\left|f-P\right|\right)$ are un minim notat cu $\rho_{n}\left(f\right)$ sau pur și simplu $\rho_{n}$ Este ușor de demonstrat că acest minim este atins de cel puțin un polinom de gradul $n$ Vom nota cu $E_{n}\left(x\right)$ , sau pur și simplu cu $E_{n}$ , un astfel de polinom. $E_{n}$ este un polinom de cea mai bună aproximare a gradului $n$ pentru funcție $f$ pe $n+2$ punctele (E) și $\rho_{n}$ este cea mai bună aproximare pentru $f$ folosind polinoame de grad $n$ pe acestea $n+2$ puncte.

Latitudine $\xi_{0}$ un punct la stânga $x_{1}$ , $\xi_{n+2}$ un punct la dreapta $x_{n+2}$ și $\xi_{r}$ punctul de mijloc al intervalului $\left(x_{r},x_{r+1}\right),\ r=1,2,\ldots,n+1$ .

Din secvența de puncte $\xi_{0},\xi_{1},\ldots,\xi_{n+1},\xi_{n+2}$ putem alege o altă secvență $\xi_{0},\xi_{j_{1}},\ldots,\xi_{j_{m+1}},\xi_{n+2}$ care determină $m$ intervale consecutive

L_{1},L_{2},\ldots,L_{m}

cu următoarele proprietăți:

1 ${}^{0}.$: Există cel puțin un interval $L_{s}$ .
2 ${}^{0}.$: Fiecare interval conține puncte $x_{r}$ unde $f=E_{n}=\rho_{n}$ sau puncte $x_{r}$ unde $f-E_{n}=-\rho_{n}$ ci exclusiv puncte de același fel. Dacă $L_{s}$ conține un tip de puncte atunci $L_{s-1}$ şi $L_{s+1}$ conțin puncte de tip opus. Pentru a fixa ideile, să presupunem că $L_{1}$ conține puncte în care $f-E_{n}=\rho_{n}$ .

Rezultă imediat că în intervalele $L_{1},L_{3,}L_{5},\ldots,$ avem

-\rho_{n}<f-E_{n}\leq\rho_{n},

și în intervalele $L_{2},L_{4},L_{6},\ldots,$ avem

-\rho_{n}\leq f-E_{n}<\rho_{n}.

Să luăm acum polinomul de gradul $n$

Q\left(x\right)=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right)\ldots\left(x-\xi_{j_{m+1}}\right)\ \ \ \ \left(m\leq n+1\right)

și vom determina semnul constantei $\lambda$ astfel încât $\lambda Q>0$ în interval $L_{1}$ Punctele (E) fiind o mulțime finită, observăm imediat că putem lua $\lambda$ suficient de mic în valoare absolută astfel încât

\rho_{n}<f-E_{n}-\lambda Q<\rho_{n},

și aceasta implică teorema:

Dacă $E_{n}$ este un polinom de cea mai bună aproximare de grad $n$ pentru funcție $f$ pe $n+2$ puncte de $(E)$ , diferența $f-E_{n}$ ia valori egale și de semn contrar în două puncte consecutive ale $(E)$ .

Ignorăm aici și în partea următoare cazul $\rho_{n}=0$ În acest caz există un polinom de grad $n$ care preia valorile $f\left(x_{r}\right)$ în puncte $x_{r}$ .

3.2Determinarea polinomului $E_{n}$ .

Proprietatea demonstrată mai sus arată imediat că polinomul $E_{n}$ este determinat în mod unic. Calculul lui $E_{n}$ , împreună cu cea mai bună aproximare $\rho_{n}$ , se realizează rezolvând sistemul

	$\displaystyle E_{n}\left(x_{r}\right)$	$\displaystyle=f\left(x_{r}\right)+\left(-1\right)^{r}p_{n}^{\prime}\ \ \ \left(\rho_{n}=\left\|\rho^{\prime}\right\|\right)$
	$\displaystyle r$	$\displaystyle=1,2,\ldots,n+2$

care trebuie să fie compatibile. Pentru a găsi în mod explicit $\rho_{n}$ şi $E_{n}$ Vom folosi notațiile introduse în secțiunea 2.4 și secțiunea 2.5 , precum și formula ( 2.6 ). Cu aceste notații avem

\rho_{n}^{\prime}=\frac{\left(-1\right)^{n+1}U\left(x_{1},x_{2},\ldots,x\ _{n+2};f\right)}{\sum\limits_{r=1}^{n+2}V\left(x_{1},\ldots,x_{r-1},x_{r-1},\ldots,x_{n+2}\right)}\cdot

(3.2)

Polinomul $E_{n}$ va fi determinat folosind formula de interpolare LAGRANGE

E_{n}=\sum_{r=1}^{n+2}\left[f\left(x_{r}\right)+\left(-1\right)^{r}\rho_{n}^{\prime}\right]\frac{G\left(x\right)}{\left(x-x_{r}\right)G^{\prime}\left(x_{r}\right)}

unde

G\left(x\right)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n+2}\right).

De asemenea, avem

G^{\prime}\left(x_{r}\right)=\frac{\left(-1\right)^{n+2-r}V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-2}\right)}{V\left(x_{1},\ldots,x_{r-1},x_{r+1},\ldots,x_{n+2}\right)}

și astfel putem scrie

	$\displaystyle E_{n}$	$\displaystyle=\frac{\left(-1\right)^{n+2}}{V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)}\sum_{r=1}^{n+2}\left[\rho_{n}^{\prime}+\left(-1\right)^{r}f\left(x_{r}\right)\right]\cdot$
		$\displaystyle\cdot V\left(x_{1},\ldots,x_{r-1},x_{r+1},\ldots,x_{n+2}\right)\frac{G\left(r\right)}{x-x_{r}}.$

Se pare că acest polinom are gradul $n+1$ dar folosind ( 3.2 ) observăm că coeficientul lui $x^{n+1}$ se anulează. Cea mai bună aproximare $\rho_{n}$ egal

\rho_{n}=\frac{\left|U\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)\right|}{\sum\limits_{r=1}^{n+2}V\left(x_{1},\ldots,x_{r-1},x_{r+1},\ldots,x_{n-2}\right)}

(3.3)

3.3Prima teoremă a lui Ch. de la Vallée Poussin.

Să presupunem acum că un polinom $P\left(x\right)$ de grad $n$ este astfel încât numerele $f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)$ , $r=1,2,\ldots,n+2$ sunt de semn alternativ. Observăm că cea mai bună aproximare a $f$ este egal cu cel al $f-P$ , și astfel formula ( 3.3 ) devine

\rho_{n}=\frac{\sum\limits_{r=1}^{n+2}\left|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right|V\left(x_{1},\ldots,x_{r-1},x_{r+1},\ldots,x_{n+2}\right)}{\sum\limits_{r=1}^{n+2}V\left(x_{1},\ldots,x_{r-1},x_{r+1},\ldots,x_{n+2}\right)}

care este o valoare medie a numerelor $\left|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right|$ și astfel putem enunța rezultatul care va fi numit prima teoremă a lui Ch. de la Vallée Poussin :

Dacă un polinom $P$ de grad $n$ este astfel încât $f-P$ ia valori de semn contrar în două puncte consecutive ale lui (E), atunci avem

\min_{r=1,2,\ldots,n+2}\left(\left|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right|\right)<\rho_{n}<\max_{r=1,2,\ldots,n+2}\left(\left|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right|\right)

presupunând că numerele $\left|f\left(x_{r}\right)-P\left(x_{r}\right)\right|$ nu sunt egale reciproc.

Această proprietate va fi utilă în stabilirea celei mai bune aproximații pe un interval întreg.

3.4A doua teoremă a lui Ch. de la Vallée Poussin.

Să luăm în considerare funcția $f$ definit și continuu pe interval $\left[a,b\right]$ Prima teoremă a lui Borel asigură existența unei mulțimi $\left(E^{\ast}\right)$ de $n+2$ puncte $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$ astfel încât cea mai bună aproximare $\rho_{n}^{\ast}$ în aceste puncte este egală cu cea mai bună aproximare $\mu_{n}$ de $f$ pe $\left[a,b\right]$ Să $E_{n}$ fie polinomul celei mai bune aproximări a gradului $n$ pe $\left(E^{\ast}\right)$ Dacă $\left|f-E_{n}\right|\leq\rho_{n}^{\ast}$ în $\left[a,b\right]$ atunci, cea mai bună aproximare $\rho_{n}$ pe orice mulțime (E) de $n+2$ punctele sunt cel mult egale cu $\rho_{n}^{\ast}$ Să presupunem prin contradicție că există un punct $x^{\prime}$ astfel încât $f\left(x\right)-E\left(x\right)|>\rho_{n}^{\ast}$ Dacă $x^{\prime}$ va fi plasat între $x_{r}$ şi $x_{r+1}$ diferența $f-E_{n}$ are aceeași conectare $x^{\prime}$ pe măsură ce se desfășoară în $x_{r}$ sau $x_{r+1}$ Folosind rezultatele din secțiunea anterioară, cea mai bună aproximare este mai mare decât $\rho_{n}^{\ast}$ pe cel puțin unul dintre seturile de puncte

\left\{\begin{array}[c]{c}x_{1},\ldots,x_{r},x^{\prime},x_{r+2},\ldots,x_{n+2}\\ x_{1},\ldots,x_{r-1},x^{\prime}x_{r+1},\ldots,x_{n+2}.\end{array}\right.

(3.4)

Același lucru se întâmplă dacă $x^{\prime}$ este plasat în afara intervalului $\left(x_{1},x_{n+2}\right)$ .

Pe de altă parte, formula ( 3.3 ) arată că $\rho_{n}$ este o funcție continuă a $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ și trebuie să atingă un maxim pentru cel puțin un set $(E)$ .

Luând din nou în considerare prima teoremă a lui Borel, putem enunța următoarea proprietate:

Cea mai bună aproximare $\mu_{n}$ a unei funcții continue $f\left(x\right)$ pe un interval $\left[a,b\right]$ este egală cu cea mai bună aproximare pe $n+2$ puncte aparținând acestui interval, aceste puncte fiind alese astfel încât $\rho_{n}$ are cea mai mare valoare posibilă. Cu alte cuvinte

\mu_{n}\left(f\right)=\max\rho_{n}\left(f\right).

Această teoremă este adevărată chiar și atunci când funcția $f\left(x\right)$ este definită pe un număr finit de puncte sau pe o mulțime arbitrară finită și închisă.

3.5Aplicații la funcții cu diferențe mărginite.

În unele cazuri, formula ( 3.3 ) oferă unele rafinări ale celei mai bune aproximări. Vom spune că funcția $f\left(x\right)$ are $nth$ diferență împărțită mărginită în interval $\left[a,b\right],$ dacă cantitatea

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right],

definit în Sect. 2.5 , rămâne mărginit ori de câte ori $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ sunt $n+1$ puncte arbitrare în $\left[a,b\right]$ Numărul

\Delta_{n}\left[f\right]=\max_{\left(a,b\right)}\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|

se numește $nth$ graniță sau granița ordinii $n$ de $f$ în interval $\left[a,b\right]$ Presupunând că avem $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$ , formula ( 3.3 ) poate fi scrisă ca

\rho_{n}=\frac{V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n+2}V\left(x_{1},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+2}\right)}\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right]\right|.

Dar

\max_{\left[a,b\right]}\frac{V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{+2}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n+2}V\left(x_{1},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+2}\right)}

este egală cu cea mai bună aproximare a $x^{n+1}$ folosind polinoame de grad $n$ Acest maxim este egal cu (Sect. 2.9 )

\frac{\left(b-a\right)^{n+1}}{2^{2n+1}}

și astfel:

Dacă funcția $f\left(x\right)$ are $(n+1)th$ diferență împărțită mărginită în interval $\left[a,b\right]$ avem

\mu_{n}\left(f\right)\leq\frac{\left(b-a\right)^{n+1}}{2^{2n+1}}\Delta_{n+1}\left[f\right].

În special, dacă $f$ admite o derivată mărginită de ordin $n+1$ și dacă notăm cu $\Delta_{0}\left[f^{\left(n+1\right)}\right]$ limita maximă sau superioară a $\left|f^{\left(n+1\right)}\right|$ în interval $\left(a,b\right)$ avem

\Delta_{0}\left[f^{\left(n+1\right)}\right]=\left(n+1\right)!\Delta_{n+1}\left[f\right]

și, în consecință,

\mu_{n}\left(f\right)\leq\frac{\left(b-a\right)^{n+1}}{2^{2n+1}\left(n+1\right)!}\Delta_{0}\left[f^{\left(n+1\right)}\right].

3.6Modulul de oscilație al unei funcții.

Pentru a rafina $\mu_{n}$ precum și pentru problema care urmează în lecția următoare trebuie să introducem modulul de oscilație $\omega\left(\delta\right)$ a unei funcții $f\left(x\right)$ Acest modul este o funcție de $\delta,$ și este definită de

\omega\left(\delta\right)=\max\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)\right|

oricând $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ sunt două puncte arbitrare în intervalul $\left(a,b\right)$ , astfel încât $\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|\leq\delta$ .

$\omega\left(\delta\right)$ este o funcție definită pentru $\delta$ în interval $0<\delta\leq b-a,$ nedescrescătoare și care nu devine negativă. Următoarea inegalitate este evidentă

\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)\right|\leq\varepsilon\left(\left|x-x^{\prime\prime}\right|\right).

(3.5)

Funcția $\omega\left(\delta\right)$ se bucură de unele proprietăți care vor fi reamintite mai jos. Având în vedere un $\varepsilon>0$ , există câteva două puncte $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ astfel încât să avem $\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|\leq\delta$ şi

\omega\left(\delta\right)-\varepsilon<\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)\right|.

Să împărțim intervalul $\left(x^{\prime},x^{\prime\prime}\right)$ în $k$ subintervale de lungime egală folosind nodurile $x^{\prime}=x_{0},x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k}=x^{\prime\prime}$ și vom avea

f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)=\sum_{i=1}^{k}\left[f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i+1}\right)\right].

Din această egalitate, obținem

\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)\right|\leq k\omega\left(\frac{\delta}{k}\right)

și astfel

\omega\left(\delta\right)<k\omega\left(\frac{\delta}{k}\right)+\varepsilon

pentru orice $\varepsilon$ . $k$ fiind este un număr întreg pozitiv și lăsând $k\delta$ în loc de $\delta$ în cele din urmă obținem

\omega\left(k\delta\right)\leq k\omega\left(\delta\right).

Dacă $k$ este un număr pozitiv și $k^{\prime}$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $k$ putem scrie

\omega\left(k\delta\right)\leq\omega\left(\overline{k+1\delta}\right)\leq\left(k^{\prime}+1\right)\omega\left(\delta\right).

Rezultă că

\omega\left(k\delta\right)<\left(k+1\right)\omega\left(\delta\right)

pentru orice aspect pozitiv $k$ (Desigur $\delta$ şi $k\delta$ trebuie să fie $<b-a$ ). Astfel, pentru $\delta\leq b-a$ putem scrie

\left|f\left(x^{\prime}\right)-g\left(x^{\prime\prime}\right)\right|<\left[\frac{\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}1\right|}{\delta}+1\right]\varepsilon\left(\delta\right).

(3.6)

În cele din urmă, condiția necesară și suficientă pentru continuitatea $f$ este $\omega\left(\delta\right)\rightarrow 0$ , pentru $\delta\rightarrow 0$ .

29.
- •
  
  Limita superioară a $\mu_{n}$ În următoarea lecție vom indica limita superioară a $\mu_{n}$ Dorim să indicăm aici o cale directă care, dacă ar putea fi urmată până la capăt, ne-ar putea oferi în cele din urmă soluția acestei probleme. Numitorul expresiei (22) poate fi scris sub forma

2\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)

unde

\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)=\left|\begin{array}[]{ccccc}x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}&\ldots&x_{2}^{n}-x_{1}^{n}&(-1)^{n}\\ x_{3}-x_{2}&x_{3}^{2}-x_{2}^{2}&\ldots&x_{3}^{n}-x_{2}^{n}&-1)^{n-1}\\ \ldots..&\ldots..&\ldots&\ldots&\ldots\\ x_{n+1}-x_{n}&x_{n+1}-x_{n}^{2}&\ldots x_{n+1}^{n}-x_{n}^{n}&-1\\ x_{n+2}-x_{n+1}&x_{n+2}^{2}-x_{n+1}^{2}&\ldots&x_{n+2}^{n}-x_{n+1}^{n}&1\end{array}\right|.

Este demn de remarcat faptul că minorele din ultima coloană sunt pozitive, deoarece presupunem și aici $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+2}$ .

Chiar avem

		$\displaystyle\left\|\begin{array}[]{cccc}x_{i}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{\prime}&\cdots&x_{2}^{n}-x_{1}^{n}\\ x_{3}-x_{2}&x_{3}^{2}-x_{2}^{2}&\cdots&x_{3}^{n}-x_{2}^{n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ x_{i}-x_{i-1}&x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}&\cdots&x_{i}^{n}-x_{i-1}^{n}\\ x_{i+2}-x_{i+1}&x_{i+2}^{2}-x_{i+1}^{2}&\cdots&x_{i+2}^{n}-x_{i+1}^{n}\\ \cdots\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ x_{n+2}-x_{n+1}&x_{n+2}^{2}-x_{n+1}^{2}&\cdots&x_{n+2}^{n}-x_{n+1}^{n}\end{array}\right\|=$
		$\displaystyle=n!\int_{x_{1}}^{x_{2}}\cdots\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\int_{x_{i+1}}^{x_{i+2}}\cdots\int_{x_{n+1}}^{x_{n+2}}V\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\right)dt_{1}dt_{2}\ldots dt_{n}>0.$

Dacă scădem fiecare linie din următoarea și luăm în considerare (24),
deducem

\leq\left|\begin{array}[]{ccccc}x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}&\cdots&x_{2}^{n}-x_{1}^{n}&(-1)^{n}\omega\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ x_{3}-x_{2}&x_{3}^{2}-x_{2}^{2}&\cdots&x_{3}^{n}-x_{2}^{n}&(-1)^{n-1}\omega\left(x_{3}-x_{2}\right)\\ \cdots\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ x_{n+2}-x_{n+1}&x_{n+2}^{2}-x_{n+1}^{2}&\cdots&x_{n+2}^{n}-x_{n+1}^{n}&\omega_{1}\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)\end{array}\right|.

Luând în considerare (25) și observația anterioară, deducem $\left|\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)\right|<\left|\frac{\mathrm{D}_{1}\left(x_{1},x_{2},\ldots.,x_{n+2}\right)}{\delta}+\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)\right|\omega(\delta)$ .

Avem aici

\begin{gathered}\mathrm{D}_{1}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)=\\ =\left|\begin{array}[]{cccc}x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}&\cdots&x_{2}^{n}-x_{1}^{n}\\ x_{3}-x_{2}&x_{3}^{2}-x_{2}^{2}&\cdots&x_{3}^{n}-x_{2}^{n}\\ \cdots&\cdots&(-1)^{n-1}\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ x_{n+2}-x_{n+1}&x_{n+2}^{2}-x_{n+1}^{2}&\cdots x_{n+2}^{n}-x_{n+1}^{n}&x_{n+2}-x_{n+1}\end{array}\right|=\\ =2(n!)\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{x_{2}}^{x_{3}}\cdots\int_{x_{n+1}}^{x_{n+2}}\mathrm{D}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+1}\right)dt_{1},dt_{2}\ldots dt_{n+1}.\end{gathered}

Deci, dacă notăm cu $\theta_{n}$ maximul cotientului

\frac{\mathrm{D}_{1}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)}{\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)},

(26)

când punctele $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+2}$ descrie intervalul $(a,b)$ , avem

\mu_{n}(f)<\left[\frac{\theta_{n}}{2\delta}+\frac{1}{2}\right]\omega(\delta).

Se poate observa cu ușurință că $\theta_{n}<b-a$ , luând prin urmare $\delta=\theta_{n}$ , găsim

\mu_{n}(f)<\omega\left(\theta_{n}\right).

Din păcate, hotărârea lui $\theta_{n}$ pare a fi o problemă complicată. Este probabil ca pentru $n\rightarrow\infty$ acest număr este de ordinul $\frac{1}{n}$ Ar fi interesant de demonstrat, ca prim rezultat, că $\theta_{n}\rightarrow 0$ pentru $n\rightarrow\infty$ .

Se poate demonstra cu ușurință că, dacă două sau mai multe puncte $x_{i}$ tind să fie confundate, expresia (26) tinde spre 0. Raportul (26) este o
funcție omogenă de gradul 1 în raport cu $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ și depinde doar de diferențele $x_{i}-x_{j}$ Rezultă că maximul poate fi atins doar pentru $x_{1}=a,x_{n+2}=b$ .

Fie, în special, $n=2$ Avem puncte. $x_{1}=a,x_{2}=y,x_{3}=x,x_{4}=b$ iar raportul (26) este scris

\frac{2(y-a)(b-x)(x-y)(b-a+x-y)}{(x-a)(b-y)(b-a+y-x)}.

Pentru a calcula maximul, se poate aplica calculul diferențial. Prin anularea derivatelor parțiale logaritmice, găsim

\begin{array}[]{r}-\frac{1}{b-x}+\frac{1}{x-y}+\frac{1}{b-a+x-y}-\frac{1}{x-a}+\frac{1}{b-a+y-x}=0\\ \frac{1}{y-a}-\frac{1}{x-y}-\frac{1}{b-a+x-y}+\frac{1}{b-y}-\frac{1}{b-a+y-x}=0\end{array}

Adunând, găsim

\frac{b-a}{(y-a)(b-y)}=\frac{b-a}{(x-a)(b-x)}

(x-y)(x+y-a-b)=0.

Prin urmare, maximul se obține pentru $x+y=a+b$ , adică Petru $x$ şi $y$ simetric față de mijlocul intervalului ( $a,b$ ). Se constată apoi că æ trebuie să fie rădăcina cuprinsă între $\frac{a+b}{2}$ şi $b$ din ecuație

\left(\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}+(b-a)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)-\frac{(b-a)^{2}}{4}=0\right.

aşa

x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}(\sqrt{2}-1)

şi

\theta_{2}=2(b-a)(\sqrt{2}-1)^{2}.

Este important de menționat că punctele $x,y$ nu împărțiți rațional intervalul ( $a,b$ ). În plus, coeficienții polinomului

\left(z-x_{4}\right)\left(z-x_{2}\right)\left(z-x_{3}\right)\left(z-x_{4}\right),

Când $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sunt punctele pentru care se atinge maximul, nu sunt raționale în raport cu a și b. Acest fapt, care probabil apare pentru orice n, este principala cauză a dificultății de a determina maximul $\theta_{m}$ .

LECȚIA IV

Teorema lui Weierstrass

30.
- •
  
  Teorema lui Weierstrass. K. Weierstrass a demonstrat următoarea teoremă ( ⁸ ):

Orice funcție continuă pe intervalul ( $a,b$ ) este limita unui șir de polinoame, uniform convergente în acest interval.

Demonstrația nu se bazează pe teoria polinomială. $\mathbf{1}_{n}$ Totuși, din această teoremă rezultă că

\mu_{n}(f)\rightarrow 0\text{, pentru }n\rightarrow\infty

(27)

dacă funcția este continuă.
Este evident, în plus, că pentru orice funcție $f$ AI

\mu_{0}\geq\mu_{1}\geq\cdots\geq\mu_{n}\geq\cdots

deci limita

\lim\mu_{n}(f)=\mu,\text{ pentru }\quad n\rightarrow\infty.

există și este $\geq 0$ Dacă
$\mu=0$ secvența polinomială $\mathrm{T}_{n}$ converge absolut și uniform în ( $a,b$ ). Rezultă că pentru o funcție discontinuă trebuie să existe $m\mu\neq 0$ Teorema lui Weierstrass ne spune că pentru o funcție continuă avem certitudine $\mu=0$ .

Problema importantă ar fi demonstrarea directă a relației (27), bazându-se doar pe proprietățile polinoamelor. $\mathrm{T}_{n}$ Dacă, de exemplu, s-ar putea demonstra că numărul $\theta_{n}$ definit la nr. 29 tinde spre zero pentru $n\rightarrow\infty$ , problema ar fi rezolvată.

Înainte de a demonstra teorema lui Weierstrass, vom arăta un rezultat al domnului L. Tonelli în legătură cu o astfel de demonstrație directă.
31. - Teorema domnului L. Tonelli. Să presupunem că șirul de polinoame

\mathrm{T}_{0}(x;f),\mathrm{T}_{1}(x;f),\ldots,\mathrm{T}_{n}(x;f),\ldots

(28)

converge uniform către o funcție continuă $F(x)$ și că avem $\mu>0$ , apoi

\mathrm{M}(|f-\mathrm{F}|)\leq\mathrm{M}\left(\left|f-\mathrm{T}_{n}\right|\right)+\mathrm{M}\left(\left|\mathrm{~F}-\mathrm{T}_{n}\right|\right)\leq\mu_{n}+\mathrm{M}\left(\left|\mathrm{~F}-\mathrm{T}_{n}\right|\right).

Se deduce ușor că

\mathrm{M}(|f-\mathrm{F}|)\leq\mu.

$f-\mathrm{F}$ Fiind o funcție continuă, putem determina o $\delta>0$ astfel, în orice interval de lungime $\leq\delta$ , oscilația acestei funcții este mai mică decât $\mu$ Pe de altă parte, putem găsi un număr $n>\frac{b-a}{\delta}$ astfel încât să avem

\mathrm{M}\left(\left|\mathrm{~F}-\mathrm{T}_{n}\right|\right)<\varepsilon<\frac{\mu}{2}.

Știm că există cel puțin $n+2$ puncte între semne de circumflex $\pm\mu_{n}$ este atins alternativ și, din modul în care a fost ales $n\left[n>\frac{b-a}{\delta}\right]$ , rezultă că printre acestea există $n+2$ cel puțin două puncte $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ astfel încât

\begin{gathered}\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|<\delta,\\ f\left(x^{\prime}\right)-\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime}\right)=\mu_{n},\quad f\left(x^{\prime\prime}\right)-\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime\prime}\right)=-\mu_{n},\end{gathered}

de unde

	$\displaystyle f\left(x^{\prime}\right)-\mathrm{F}\left(x^{\prime}\right)$	$\displaystyle=\left[f\left(x^{\prime}\right)-\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime}\right)\right]+\left[\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime}\right)-\mathrm{F}\left(x^{\prime}\right)\right]>\mu_{n}-\varepsilon\geq\mu-\varepsilon>\frac{\mu}{2};$
	$\displaystyle f\left(x^{\prime\prime}\right)-\mathrm{F}\left(x^{\prime\prime}\right)$	$\displaystyle=\left[f\left(x^{\prime\prime}\right)-\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime\prime}\right)\right]+\left[\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime\prime}\right)-\mathrm{F}\left(x^{\prime\prime}\right)\right]<-\mu_{n}+\varepsilon\leq-\mu+\varepsilon<-\frac{\mu}{2}.$

Rezultă că oscilația funcției $f-\mathrm{F}$ în intervalul ( $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ ) este mai mare decât $\mu$ , ceea ce este imposibil. Ipoteza $u>0$ deci nu este bine. Prin urmare, trebuie să avem $\mu=0$ Avem următoarea teoremă a domnului Tonelli:

Dacă seria de polinoame (28) converge absolut și uniform către o funcție (necesar continuă), această funcție coincide cu f(x).
32. - Polinoamele domnului S. Bernstein. Vom demonstra teorema lui Weierstrass cu ajutorul polinoamelor domnului S. Bernstein. Trebuie, așadar, mai întâi, să dăm definiția acestor polinoame.

Să împărțim intervalul ( $a,b$ ) în $n$ părți egale și fie

a_{i}=a+i\frac{b-a}{n},\quad i=0,1,\ldots,n\quad\left(a_{0}=a,a_{n}=b\right)

puncte de împărțire.
Un polinom de gradul n ai cărui coeficienți depind liniar și omogen de cei $n+1$ important $f\left(a_{i}\right),i=0,1,\ldots,n$ , se numește polinom de interpolare de grad $n$ a funcției $f(x)$ Vom studia, în special, polinomul de interpolare introdus de DI S. Bernstein (9)

P_{n}(x;f)=\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f\left(a_{i}\right)(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}

Este interesant de observat cum acest polinom poate fi obținut într-un mod oarecum geometric.

Dacă $\mathbf{A}_{0},\mathbf{A}_{1},\ldots,\mathbf{A}_{n}$ puncte reprezentative ale funcției $f(x)$ pentru $x=a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ adică punctele de iertare $a_{i},f\left(a_{i}\right)$ Să construim linia poligonală $\mathrm{A}_{0}\mathrm{~A}_{1}\ldots\mathrm{~A}_{n}$ .

Să luăm părțile laterale $\mathrm{A}_{0}\mathrm{~A}_{1},\mathrm{~A}_{1}\mathrm{~A}_{2},\ldots,\mathrm{~A}_{n-1}\mathrm{~A}_{n}$ a poliliniei

puncte finale $A_{0}^{\prime},A_{1}^{\prime},\ldots,A_{n-1}^{\prime}$ care intersectează aceste laturi în aceeași direcție și în același raport. Alegem acest raport astfel încât

\mathrm{A}_{0}\mathrm{~A}_{0}^{\prime}=\mathrm{A}_{1}\mathrm{~A}_{1}^{\prime}=\cdots=\mathrm{A}_{n-1}\mathrm{~A}_{n-1}^{\prime}=\frac{s}{n}\cdot\frac{b-a}{n},

$s$ fiind un întreg, $0\leq s\leq n$ În linia poligonală $A_{0}^{\prime}A_{1}^{\prime}\ldots A_{n-1}^{\prime}$ Înscriem linia poligonală în același mod $\mathrm{A}_{0}^{\prime\prime}\mathrm{A}_{1}^{\prime\prime}\ldots\mathrm{A}_{n-2}^{\prime\prime}$ păstrând sensul și semnificația împărțirii laturilor; prin urmare, avem totul

\mathrm{A}_{0}^{\prime}\mathrm{A}_{0}^{\prime\prime}=\mathrm{A}_{1}^{\prime}\mathrm{A}_{1}^{\prime\prime}=\cdots=\mathrm{A}_{n-2}^{\prime}\mathrm{A}_{n-2}^{\prime\prime}=\frac{s}{n}\cdot\frac{b-a}{n}.

Continuând acest proces, inserăm succesiv liniile poligonale $A_{0}^{(k)}A_{1}^{(k)}\ldots A_{n-k}^{(k)},k=3,4,\ldots,n$ Ultimul se reduce la un punct. $A_{0}^{(n)}$ Avem

\mathrm{A}_{0}\mathrm{~A}_{0}^{\prime}=\mathrm{A}_{0}^{\prime}\mathrm{A}_{0}^{\prime\prime}=\cdots=\mathrm{A}_{0}^{(n-1)}\mathrm{A}_{0}^{(n)}=\frac{s}{n}\cdot\frac{b-a}{n}

deci abscisa sa $\mathrm{A}_{0}^{(n)}$ este tocmai

a+s\frac{b-a}{n}=a_{s}.

Să remarcăm acest aspect. $\mathrm{A}_{0}^{(n)}$ cu $\mathrm{A}_{p}^{*}$ , pentru a evidenția numărul $s$ și să calculăm ordonata sa $\mathrm{A}_{s}^{*}$ Pentru $i=0$ şi $i=n$ punct $\mathrm{A}_{\text{\& }}$ coincide cu $\mathrm{A}_{0}$ şi $\mathrm{A}_{n}$ respectiv. În general, să notăm cu $b_{s}$ ordinul său/ei $\mathrm{A}_{s}$ , cu $b_{r}^{(k)}$ ordinul său/ei $\mathrm{A}_{r}^{(k)}$ și cu $b_{s}^{*}$ ordinul său/ei $\mathrm{A}_{s}^{*}$ Avem

b_{r}^{(k)}=\frac{(n-s)b_{r}^{(k-1)}+sb_{r+1}^{(k-1)}}{n},r=0,1,\ldots,n-k,k=1,2,\ldots,n-1

(29)

şi

b_{s}^{*}=\frac{(n-s)b_{0}^{(n-1)}+sb_{1}^{(n-1)}}{n}.

(30)

Din (29) deducem succesiv

		$\displaystyle b_{r}^{(1)}=\frac{(n-s)b_{r}+sb_{r+1}}{n}$
		$\displaystyle b_{r}^{(2)}=\frac{(n-s)^{2}b_{r}+2s(n-s)b_{r+1}+s^{2}b_{r+2}}{n^{2}}$

și în general

b_{r}^{(k)}=\frac{1}{n^{k}}\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}s^{i}(n-s)^{k-i}b_{r+i},\quad r=0,1,\ldots,n-k.

Prin urmare, formula (30) ne oferă

b_{s}^{*}=\frac{1}{n^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}s^{i}(n-s)^{n-i}b_{i}.

Revenind acum la polinom $\mathrm{P}_{n}(x;f)$ observăm că avem:

P_{n}\left[a+s\frac{b-a}{n};f\right]=\frac{1}{n^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}s^{i}(n-s)^{n-i}f\left(a_{i}\right).

Rezultă că polinomul domnului Bernstein $\mathrm{P}_{n}(x;f)$ este polinomul Lagrange care ia valorile $b_{s}^{*}$ pentru puncte $a_{s}$ 33.-
Determinarea unei limite superioare pentru $\left|f(x)-\mathrm{P}_{n}(x;f)\right|$ Să determinăm o limită superioară pentru $\left|f-\mathrm{P}_{n}(x;f)\right|$ Observăm că $\mathrm{P}_{n}(x;1)\equiv 1$ , din care deducem, folosind modulul de oscilație $\omega(\delta)$ definit la nr. 27,

	$\displaystyle\mid f-$	$\displaystyle P_{n}(x;f)\left\|=\left\|\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left[f(x)-f\left(a_{i}\right)\right](x-a)^{i}(b-x)^{n-i}\right\|\leq\right.$
		$\displaystyle\leq\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\omega\left(\left\|x-a_{i}\right\|\right)(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}<$
		$\displaystyle<\left\{\frac{1}{\delta}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left\|x-a_{i}\right\|(x-a)^{\prime}(b-x)^{n-i}+1\right\}\omega(0)$

Să punem

\psi(x)=\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left|x-a_{i}\right|(x-a)^{i}(b-x)^{n-t}

(31)

şi

\begin{gathered}\mathrm{N}_{n}==\max\psi(x)\\ \text{ in }(a,b)\end{gathered}

În cele din urmă, $\delta=2\mathrm{~N}_{n}$ , deducem (se va vedea că de fapt $\delta\leq b-a$ )

\left|f-\mathrm{P}_{n}(x;f)\right|<\frac{3}{2}\omega\left(2\mathrm{~N}_{n}\right)

(32)

34.
- •
  
  Aproximarea dată de polinom $\mathrm{P}_{n}(x;f)$ Acum putem calcula aproximarea dată de polinoame $\mathrm{P}_{n}(x;f)$ Să calculăm mai întâi funcția $\psi(x)$ Avem în intervalul ( $a_{j},a_{j+1}$ ),

	$\displaystyle\psi(x)=\frac{1}{(b-a)^{n}}$	$\displaystyle\sum_{i=0}^{j}\binom{n}{j}\left(x-a_{i}\right)(x-a)^{l}(b-x)^{n-i}+$
		$\displaystyle+\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=j+1}^{n}\binom{n}{i}\left(a_{i}-x\right)(x-a)^{l}(b-x)^{n-i}=$
		$\displaystyle\left.=\frac{2}{(b-a)^{n}}\cdot\sum_{i=0}^{j}\binom{n}{i}\left(x-a_{i}\right)^{\prime}x-a\right)^{i}(b-x)^{n-i}$

pentru că este ușor de înțeles

\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left(a_{i}-x\right)(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}=0

Făcând calculele, aflăm

\psi(x)=\frac{2}{(b-a)^{n}}\binom{n-1}{,}(x-a)^{j+1}\left(b-x_{j}^{n-j}\right.

Maximul acestui polinom în intervalul $\left(a_{j},a_{j+1}\right)$ este atins pentru

x=\frac{(j+1)b+(n-1)a}{n+1}

și are valoarea

2(b-a)(n-1)\frac{(j+1)^{j+1}(n-j)^{n-j}}{(n+1)^{n+1}}=2(b-a)\lambda_{j}

(33)

Funcţie $\left(\frac{x+1}{x}\right)^{x+1}$ scade atunci când $x\geq 1$ crește Rezultă
că avem

\left(\frac{j+2}{j+1}\right)^{j+2}>\left(\frac{n-j}{n-j-1}\right)^{n-j}\quad\text{ pêntru }\quad n>\frac{j+1}{2}

\lambda_{j+1}>\lambda_{j}

Deducem din aceasta că (33) își atinge maximul pentru $j=\frac{n}{2}$ sau $j=\frac{n-1}{2}$ ca $n$ este par sau impar.

Avem asta, dar

\begin{array}[]{ll}\mathrm{N}_{n}=2(b-a)\binom{n-1}{\frac{n}{2}}\frac{\left(\frac{n}{2}+1\right)^{\frac{n}{2}+1}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{(n+1)^{n+1}}&\text{ pentru }n\text{ par }\\ \mathrm{N}_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}\left(\frac{n-1}{2}\right)&\text{ pentru }n\text{ impar. }\end{array}

Se demonstrează imediat că

\begin{gathered}\sqrt{2n-1}\mathrm{~N}_{2n-1}>\sqrt{2n+1}\mathrm{~N}_{2n+1}\\ \mathrm{~N}_{1}=\frac{b-a}{2},\quad\mathrm{~N}_{3}=\frac{b-a}{4}\end{gathered}

de unde

\begin{array}[]{ll}\mathrm{N}_{2n+1}<\frac{b-a}{2\sqrt{2n+1}}&\\ \mathrm{~N}_{2n+1}=\frac{\sqrt{3(b-a)}}{4\sqrt{2n+1}}&\text{ pentru }n\geq 1\end{array}

Pentru $n$ se pare că avem

		$\displaystyle\mathrm{N}_{2n}=\mathrm{N}_{2n+1}\frac{(n+1)^{n+1}n^{n}}{(2n+1)^{2n+1}}2^{2n+1}<\mathrm{N}_{2n+1}\cdot\frac{2^{2n+1}(n+1)}{(2n+1)^{2n+1}}\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{2n}=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathrm{N}_{2n+1}\frac{2(n+1)}{2n+1}\leq\frac{\sqrt{3}(b-a)}{4\sqrt{2n+1}}\cdot\frac{2(n+1)}{2n+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}(n+1)(a-b)}{(2n+1)\sqrt{2n+1}}<\frac{b-a}{2\sqrt{2n}}$

deci, în general

\mathrm{N}_{n}\leq\frac{b--a}{2\sqrt{n}}

Prin urmare, formula (32) devine

\left|f-\mathrm{P}_{n}(x;f)\right|<\frac{3}{2}\omega\left(\frac{b-a}{\sqrt{n}}\right)

Dacă funcția $f$ este continuu $\omega\left(\frac{b-a}{\sqrt{n}}\right)\rightarrow 0$ pentru $n\rightarrow\infty$ și teorema lui Weierstrass este demonstrată. În plus, se observă că cea mai bună aproximare a unei funcții continue prin polinoame de grad $n$ , adică numărul $\mu_{n}$ , este cel puțin de ordinul $\omega\left(\frac{b-a}{\sqrt{n}}\right)$ .

Aproximarea dată de polinoamele domnului S. Bernstein nu poate fi îmbunătățită în general. De exemplu, fie funcția

f_{2}(x)=\left|x-\frac{a+b}{2}\right|

Avem în asta $\operatorname{caz}\omega(\delta)=\delta$ pentru $\delta\leq\frac{b-a}{2}$ Un
calcul simplu arată că
$\frac{d^{2}\mathrm{P}_{n}\left(x;f_{2}\right)}{dx^{2}}=\frac{n(n-1)}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n-2}\binom{n-2}{i}\left[f_{2}\left(a_{i}\right)-2f_{2}\left(a_{i+1}\right)+f_{2}\left(a_{i+2}\right)\right](x-a)^{i}(b-x)^{n-i}$ de unde

\frac{d^{2}\mathrm{P}_{2n}\left(x;f_{2}\right)}{dx^{2}}=\frac{d^{2}\mathrm{P}_{2n+1}\left(x;f_{2}\right)}{dx^{2}}=\frac{n}{(b-a)^{2n-1}}\binom{2n}{n}[(x-a)(b-x)]^{n-1}.

Din aceasta rezultă că $\mathrm{P}_{2n}\left(x;f_{2}\right)\equiv\mathrm{P}_{2n+1}\left(x;f_{2}\right)$ și că $\mathrm{P}_{2n}\left(x;f_{2}\right)$ este o funcție convexă (în sensul obișnuit) în intervalul ( $a,b$ ). Prin urmare, avem

\begin{gathered}\max_{\text{in }(a,b)}\left|f_{2}-\mathrm{P}_{2n}\left(x;f_{2}\right)\right|=\mathrm{P}_{2n}\left(\frac{a+b}{2};f_{2}\right)-f_{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)=\\ =\frac{1}{2^{2n}}\sum_{i=0}^{2n}\binom{n}{i}\left|a_{i}-\frac{a+b}{2}\right|=\frac{b-a}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}\end{gathered}

Acum avem

\frac{1}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}\sqrt{2n}>\frac{1}{2^{2n-1}}\binom{2n-2}{n-1}\sqrt{2n-2}

aşa

\frac{1}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}>\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2n}}

de unde

\max_{\ln(a,b)}\left|f_{2}-\mathrm{P}_{2n}\left(x;f_{2}\right)\right|>\frac{1}{2\gamma\overline{2}}\cdot\frac{b-a}{\sqrt{2n}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\omega\left(\frac{b-a}{\sqrt{2n}}\right),

ceea ce dovedește afirmația noastră.
35. - Aproximarea funcțiilor convexe de ordin superior. Polinoamele domnului Bernstein ne permit în continuare să stabilim câteva
rezultate interesante privind aproximarea funcțiilor convexe de ordin superior ( $\left.{}^{\circ}\right)_{\text{a }}$ Folosind notațiile de la nr. 17, să punem

\Delta_{k}^{i}=\left[a_{i},a_{i+1}\ldots,a_{i+k};f\right],\quad i=0,1,\ldots,n-k,k=1,2,\ldots

Un calcul simplu ne arată că

\frac{d\mathrm{P}_{n}(x:f)}{dx}=\frac{1}{(b-a)^{n-1}}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\Delta_{1}^{i}(x-a)^{i}(b-x)^{n-1\div i}

și în general

	$\displaystyle\frac{d^{k}\mathrm{P}_{n}(x:f)}{dx^{k}}$	$\displaystyle=k!\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots$
		$\displaystyle\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-k}{i}\Delta_{k}^{i}(x-a)(b-x)^{n-k-i}$

Se observă imediat că dacă funcția $f(x)$ se bucură de o proprietate de convexitate determinată, polinoamele lui D. S. Bernstein se bucură de aceeași proprietate de convexitate. Presupunem aici că convexitatea propriu-zisă și polinomialitatea sunt cazuri particulare de neconcavitate. Proprietatea rezultă din definiția funcțiilor de ordin superior și din faptul că, dacă o funcție este derivabilă, condiția necesară și suficientă pentru ca aceasta să fie neconcavă de ordinul n este ca derivata sa de ordinul n $n+1$ a nu deveni negativ etc.

Putem însă enunța proprietatea:
O funcție continuă $f$ , care se bucură de anumite proprietăți de convexitate, este limita unui șir de polinoame, uniform convergente în intervalul ( $a,b$ ) și care se bucură de aceeași proprietate de convexitate.
36. - Aproximarea funcțiilor cu diferențe divizate mărginite. Putem obține, de asemenea, unele rezultate asupra funcțiilor cu diferențe divizate mărginite. Să luăm în considerare relația

k!\Delta_{k}[f]=\Delta_{0}\left[f^{(k)}\right]

definit la nr. 26. Pentru polinomul $P_{n}{}^{\prime}(a;f)$ vom avea

k!\Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]=\Delta_{0}\left[\mathrm{P}_{n}^{(k)}\right]

de unde, ținând cont de (34),

\Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]<\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\Delta_{k}[f]

Încă se poate scrie.

\Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]\leq\Delta_{k}[f],\quad k=0,1;\quad\Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]<\Delta_{k}[f],\quad k>1

Avem proprietatea:
O funcție continuă $f$ care este cu o diferență divizată mărginită, este limita unui șir de polinoame, uniform convergente în intervalul a, b), care au limitele de ordin 0 și 1 cel mult egale cu cele ale funcției și limitele de ordin $>1$ mai mică decât cea a funcției.
37. Aproximarea funcțiilor cu variație mărginită. Fie

x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m}\quad(m\geq n+1)

o serie de puncte din interval $(a,b)$ Număr

v_{m}=\sum_{i=1}^{m-n-1}\left|\left[x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{i+n+1};f\right]-\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n};f\right]\right|

se numește un $n^{a}$ variație a $f(x)$ pe puncte $x_{i}$ luat în considerare.
Dacă punem

\max_{\text{in }(a,b)}v_{m}=V_{n}[f]

maximul fiind luat atunci când ambele puncte variază $x_{i}$ precum și numărul lor, numărul $V_{n}[f]$ se numește un $n^{a}$ variația totală a $f(x)$ în intervalul ( $a,b$ ). Dacă $\mathrm{V}_{n}[f]$ Dacă este un număr finit, funcția se numește cu variație mărginită.

Avem și aici relația

k!\mathrm{V}_{k}[f]=\mathrm{V}_{0}\left[f^{(k)}\right]

precum și formula

V_{0}[f]=\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}\right|dx

bine cunoscută din teoria funcțiilor cu variație mărginită (de ordinul 0).
Pentru polinoame $\mathrm{P}_{n}(x;f)$ AI

\mathrm{V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}^{(k)}\right]=\frac{1}{k!}\int_{a}^{b}\left|\mathrm{P}_{n}^{(k+1)}\right|dx

Luând în considerare formula (34), deducem

\begin{gathered}\mathrm{V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]\leq\frac{k+1}{(b-a)^{n-k-1}}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{n}\right)\\ \sum_{=1}^{n-k-1}\binom{n-k-1}{i}\left|\Delta_{k+1}^{i}\right|\int_{a}^{b}(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-1-i}dx\end{gathered}

Dar

		$\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-1-i}dx=(b-a)^{n-k}\frac{i!(n-i-k-1)!}{(n-k)!}=\frac{(b-a)^{n-k}}{(n-k)\binom{n-k-1}{i}}$
		aşa

\mathrm{V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]\leq\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\frac{(k+1)(b-a)}{n}\sum_{i=1}^{n-k-1}\left|\Delta_{k+1}^{i}\right|.

Dar avem și relația

\frac{(k+1)(b-a)}{n}\Delta_{k+1}^{i}=\Delta_{k}^{i}-\Delta_{k}^{i+1}

prin urmare

\frac{(k+1)(b-a)}{n}\sum_{i=1}^{n-k-1}\left|\Delta_{k+1}^{i}\right|=\sum_{i=1}^{n-k-1}\left|\Delta_{k}^{i}-\Delta_{k}^{i+1}\right|\leq\mathrm{V}_{k}[f]

Prin urmare, deducem că

\mathrm{V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]\leq\mathrm{V}_{k}[f];\quad k=0,1;\quad\mathrm{V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]<\mathrm{V}_{k}[f],\quad k>1,

Avem proprietatea:
O funcție $f$ continua cu $n^{a}$ Variația mărginită este limita: unei secvențe de polinoame, uniform convergente în intervalul ( $a,b$ ), care au: variațiile totale de ordinul 0 și 1 cel mult egale cu cele ale funcției și variațiile totale de ordinul $>1$ mai mici decât cele ale funcției.
38. - Aproximarea funcțiilor diferențiabile. Să vedem în final la ce rezultate ne conduc polinoamele domnului Bernstein pentru funcții diferențiabile. Să presupunem, așadar, că funcția $f(x)$ are o derivată continuă de ordin $k$ și să fie $\omega_{k}(\delta)$ modulul de oscilație al acestei derivate. Știm că avem formula mediei generalizate

k!\Delta_{k}^{i}=f(k)\left(a+\frac{b-a}{n}(i+\theta k)\right),\quad 0<\theta<1,

folosind notațiile de mai sus.
Deducem din aceasta că

		$\displaystyle\left\|k!\Delta_{k}^{i}-f^{(k)}(x)\right\|\leq\omega_{k}\left(\left\|x-a-\frac{b-a}{n}(i+\theta k)\right\|\right)\leq$
		$\displaystyle\leq\omega_{k}\left(\max\left(\left\|x-a_{i}\right\|,\left\|x-a_{i+1}\right\|,\ldots,\left\|x-a_{i+k}\right\|\right)\right)$

Acum fie polinomul,

		$\displaystyle Q_{n,k}(x;f)=\frac{\mathrm{P}_{n}^{(k)}(x;f)}{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}=$
		$\displaystyle=\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}k!\Delta_{k}^{i}(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}.$

noi

		$\displaystyle\left\|f^{(k)}-Q_{n,k}(x;f)\right\|<\left\{\frac{1}{\delta}\left(\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=0}^{s}\binom{n-k}{i}\left\|x-a_{i}\right\|(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}+\right.\right.$
		$\displaystyle\left.\left.\quad+\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=s+1}^{n-k}\binom{n-k}{i}\left\|x-a_{i+k}\right\|(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}\right)+1\right\}\omega_{k}(\delta)$

unde $s$ se determină în felul următor:

\begin{array}[]{lll}s=j-\frac{k}{2}&\text{ dacă }k\text{ este par şi }&a_{j}\leq x\leq a_{j+1}\\ s=j-\frac{k+1}{2}&\text{ dacă }k\text{ este impar şi }&a_{j}\leq x\leq\frac{a_{j}+a_{j+1}}{2}\\ s=j-\frac{k-1}{2}&\text{ dacă }k\text{ este impar şi }&\frac{a_{j}+a_{j+1}}{2}\leq x\leq a_{j+1}.\end{array}

Desigur, dacă în aceste formule avem $s<0$ sau $s\geq n-k$ , primul sau al doilea termen din a doua paranteză dispare.

Observând că

\left|x-a_{i+1}\right|\leq\left|x-a_{i}\right|+\left|a_{i+k}-a_{i}\right|-\left|x-a_{i}\right|+\frac{k(b-a)}{n}

putem scrie și noi
$\left|f^{(k)}-Q_{n,k}(x;f)\right|<\left|\frac{1}{\delta}\left(\frac{1}{\left(b-a,^{n-k}\right.}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}\left|x-a_{i}\right|(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}+\psi_{1}(x)\right)+1\right|\omega_{k}(\delta)$
unde

\psi_{1}(x)=\frac{k}{n}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n-k-1}}\sum_{i=s+1}^{n-k}\binom{n-k}{i}(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}

și trebuie să luăm $\psi_{1}(x)\equiv 0$ dacă $s\geq n-k$
Acum avem

	$\displaystyle\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}\left\|x-a_{i}\right\|(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}\leq$		(35)
	$\displaystyle\leq\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}\left\|x-a-i\frac{b-a}{n-k}\right\|(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}+$
	$\displaystyle+\frac{k}{n(n-k)(b-a)^{n-k-1}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}i(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}$

care rezultă imediat din relația

x-a_{i}=x-a-i\frac{b-a}{n}+i\frac{k(b-a)}{n(n-k)}.

Dar știm din nr. 34 că
$\frac{1}{(b-a)^{n-k}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}\left|x-a-i\frac{b-a}{n-k}\right|(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}\leq\frac{b-a}{2\sqrt{n-k}}$ .
Pe de altă parte

\frac{k}{n(n-k)(b-a)^{n-k-1}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}i(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}=\frac{k(x-a)}{n}

și vedem că primul membru al relației (35) este

\leqslant\frac{b-a}{2\sqrt{n-k}}+\frac{k(b-a)}{n}.

Acum avem evident și

\psi_{1}(x)\leq\frac{k}{n}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n-k-1}}\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}(x-a)^{i}(b-x)^{n-k-i}=\frac{k(b-a)}{n}

din care rezultă că

\left.\left|f^{(k)}-Q_{n,k}(x;f)\right|<\left\lvert\,\frac{1}{\delta}\left(\frac{b-a}{2\sqrt{n-k}}+\frac{2k(b-a)}{n}\right)+1\right.\right\}\omega_{k}(\delta)

sau, punând $\delta=\frac{b-a}{\sqrt{n-k}}$ ,
(36) $\left|f^{(k)}-Q_{n,k}(x;f)\right|<\left(\frac{3}{2}+2\frac{k\sqrt{n-k}}{n}\right)\omega_{k}\left(\frac{b-a}{\sqrt{n-k}}\right)\leq$

\leq\frac{3+2\sqrt{k}}{2}\omega_{k}\left(\frac{b-a}{\sqrt{n-k}}\right)\quad(n\geq k+1).

39.
- •
  
  Convergența derivatelor polinoamelor domnului Bernstein.

Derivată a ordinului $k$ a funcției $f$ presupunându-se continuă, marginea superioară $\Delta_{0}\left[f^{(k)}\right]$ este finit. Avem .

	$\displaystyle f^{(k)}-\mathrm{P}_{n}^{(k)}(x;f)=$	$\displaystyle f^{(k)}-\mathrm{Q}_{n,k}(x;f)+$
		$\displaystyle+\left[1-\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right]\mathrm{Q}_{n,k}(x;f)$

Rezultatele de la nr. 36 ne arată că

\left|Q_{n,k}(x;f)\right|\leq\Delta_{0}\left[f^{(k)}\right]

și, pe de altă parte, avem inegalitatea

1-\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\leq\frac{k(k-1)}{2n}

Luând în considerare formula (36), deducem

\left|f^{(k)}-\mathrm{P}_{n}^{(k)}(x;f)\right|<\frac{3+2\sqrt{k}}{2}\omega_{k}\left(\frac{b-a}{\sqrt{n-k}}\right)+\frac{k(k-1)}{2n}\Delta_{0}\left[f^{(k)}\right]

(37)

ceea ce ne arată că:
Dacă funcția $f(x)$ , definită în intervalul ( $a,l$ ), este continuă cu prima $k$ derivările sale, secvențele polinomiale $\mathrm{P}_{n}(x;f)$ , $\mathrm{P}^{\prime}{}_{n}(x;f),\ldots\mathrm{P}_{n}^{(k)}(x;f)$ tind absolut și uniform către $f(x),f^{\prime}(x),\ldots,f^{(k)}(x)$ respectiv, pe tot parcursul intervalului ( $a,b$ ).

DI E. Borel a pus pentru prima dată problema găsirii unei secvențe de polinoame uniform convergente către o funcție continuă $f(x)$ , astfel încât seria formată cu derivate de un anumit ordin $k$ din aceste polinoame mixte să fie uniform convergente către derivata $f^{(k)}(x)$ , presupusă continuă, a funcției $f(x)$ După cum se poate observa, polinoamele domnului Bernstein rezolvă această problemă într-un mod elegant. Acest rezultat calitativ se datorează domnului S. Wigert ¹¹ ).

În particular, pentru derivata de ordinul întâi, al doilea termen din al doilea membru al inegalității (37) se anulează astfel încât

\left|f^{\prime}-\mathrm{P}_{n}^{\prime}(x;f)\right|<\frac{5}{2}\omega_{1}\left(\frac{b-a}{\sqrt{n-1}}\right)

Putem observa în continuare că dacă $f^{(k)}(x)$ verifică o condiție Lipschitz: obișnuită, aproximarea sa $f^{(k)}$ de $\mathrm{P}_{n}^{(k)}(x;f)$ este ordinul lui $\frac{1}{\sqrt{n}}$ prin urmare, de același ordin ca aproximarea prin $\mathrm{P}_{n}\left(x;f^{(k)}\right)$ .

Polinoamele domnului S. Bernstein se bucură, de asemenea, de numeroase proprietăți care au fost studiate în principal de domnul Bernstein însuși, precum și de studenții săi.
40. - Limita superioară a $\mu_{n}$ Am văzut în nr. 28 că cea mai bună aproximare prin polinoame de grad $n$ a unei funcții continue $f(x)$ este, în general, cel puțin de ordinul a $\omega\left(\frac{b-a}{n}\right)$ unde

$\omega(\delta)$ este modulul de oscilație al $f(x)$ Domnul D. Jackson a demonstrat pentru prima dată că $\mu_{n}$ este chiar ordinul lui $\omega\left(\frac{b-a}{n}\right){}^{(12)}$ Sunt cunoscute diverse demonstrații ale acestui rezultat. Nu vom insista însă aici asupra acestor demonstrații. Se poate consulta cu utilitate cartea citată a domnului Ch. de la Vallée Poussin ⁽¹³⁾ . Ar fi interesant de văzut dacă numărul $\theta_{n}$ definit la nr. 29 nu este de fapt de ordinul $\frac{1}{n}$ În acest caz, polinoamele $\mathrm{T}_{n}$ ar fi suficientă pentru demonstrarea, atât calitativă, cât și cantitativă, a teoremei lui Weierstrass.

LECTURA A V-A

Cazul funcțiilor de două variabile independente

41.
- •
  
  Problema celei mai bune aproximări pentru o funcție de două variabile reale. Rezultatele precedente pot fi extinse, în mare măsură, la funcții de mai mult de una și în special la cele de două variabile reale. Vom examina pe scurt această generalizare. Este important de menționat că unicitatea nu mai este valabilă în general dacă funcția este continuă.

Deci, să luăm o funcție reală $f(x,y)$ a două variabile reale $x$ şi $y$ , uniformă și definită într-un anumit domeniu mărginit și închis (D). Pentru a simplifica lucrurile, vom presupune că acest domeniu este mărginit de o curbă simplă și închisă. Domeniul (D) poate fi, de exemplu, un dreptunghi

a\leq x\leq b,\quad c\leq y\leq d.

(38)

funcţie $f(x,y)$ va fi presupusă continuă în (D).
Problema se pune ca pentru cazul funcțiilor de o singură variabilă.

Considerăm mulțimea polinoamelor

\mathrm{P}(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+\cdots+a_{n0}x^{n}+a_{n-11}x^{n-1}y+\cdots+a_{0n}y^{\prime\prime}

a două variabile $x$ şi $y$ al diplomei $n$ Un polinom al mulțimii este complet determinat de coeficienții $a_{ij}$ .

Încă observăm cu $\mathrm{M}(f)$ limita maximă sau superioară a funcției $f(x,y)$ în domeniul (D). Eroarea sau aproximarea cu care polinomul $\mathrm{P}(x,y)$ reprezintă funcția $f(x,y)$ este egal, prin definiție, cu $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ Cea mai bună aproximare a funcției $f(x,y)$ prin polinoame de grad $n$ este egală, prin definiție, cu marginea inferioară $\mu_{n}(f)$ sau mai simplu $\mu_{n}$ lui/ei $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ Când $\mathrm{P}(x,y)$ parcurge mulțimea polinoamelor de grad $n$ .

Problema care trebuie examinată acum se pune ca pentru funcții de o singură variabilă:

Având în vedere funcția $f(x,y)$ , pentru a determina polinoamele de gradul n pentru care $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ ajunge la marginea sa inferioară $\mu_{n}$ și să studiem acest număr $\mu_{n}$ .

Problema existenței, a unicității și principalelor proprietăți ale polinoamelor de cea mai bună aproximație au fost examinate de Dl L. Tonelli ( ¹⁴ ).

Un polinom pentru care minim $\mu_{n}$ este atins se poate și aici numi un polinom de cea mai bună aproximație de gradul $n$ la funcție $f$ dacă se poate nota cu $\mathrm{T}_{n}(x,y;f)$ sau mai simplu cu $\mathrm{T}_{n}$ . Vom zice si aici ca un astfel de polinom este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ .

În acest număr privat $\mu_{n}$ el este pozitiv sau nu și de altfel nu se poate anula decât dacă $f(x,y)$ coincide cu un polinom de gradul $n$ . În cele ce urmează vom presupune că suntem în cazul $\mu_{n}>0$ .

Dacă $\mathrm{P}(x,y)$ este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ al funcției $f(x,y)$ polinomul $\mathrm{P}(x,y)+\mathrm{Q}(x,y)$ , sub $\mathrm{Q}(x,y)$ acesta este un polinom de grad $n$ este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ la funcție $f(x,y)+Q(x,y)$ Reciproc, fie polinom $\mathrm{T}_{n}$ al funcției $f(x,y)+Q(x,y)$ această formă $\mathrm{P}(x,y)+Q(x,y)$ Avem

\mu_{n}(f+Q)=\mu_{n}(f)

Deasemenea, C find o constantă, $\mathrm{CP}(x,y)$ este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ al funcției $\mathrm{C}f(x,y)$ și reciproc. orice polinom $\mathrm{T}_{n}$ al lui $\mathrm{C}f(x,y)$ această formă $\operatorname{CP}(x,y)$ Avem

\mu_{n}(\mathrm{C}f)=|\mathrm{C}|\mu_{n}(f).

42.
- •
  
  Existenţa polinoamelor de cea mai bună aproximatie. Lema preliminară dela Nr. 6 se extinde imediat :

Dacă un polinom $\mathrm{P}(x,y)$ de gradul n rămâne mărginit de un număr A, în domeniul (D), coeficientii aij rămân mărginiti de un număr. $\lambda\mathrm{A}$ , sub $\lambda$ nu depinde decât de n si de domeniul (D).

Demonstratia se face la fel. Luăm $\mathrm{N}=\binom{n+2}{2}$ puncturi $\mathrm{M}_{r}\left(x_{r},y_{r}\right)$ ,

$\pi=1,2,\ldots,N$ in (D) astfel ca determinantul
(39)
$\left.\begin{array}[]{lllll}1&x_{r}&y_{r}&\ldots&x_{r}^{n}\end{array}\quad x_{r}^{n-1}y_{r}\ldots y_{r}^{n}\right\rvert\,$
să fie diferit de zero. Rezolvăm apoi sistemul

\begin{gathered}a_{00}+a_{10}x_{r}+a_{01}y_{r}+\ldots+a_{n0}x_{r}^{n}+a_{n-11}x_{r}^{n-1}y_{r}+\ldots+a_{02}y_{r}^{n}=\mathrm{P}\left(x_{r},y_{r}\right)\\ r=1,2,\ldots,\mathrm{~N}\end{gathered}

în raport cu coeficienții $a_{ij}$ cu ajutorul regulilor lui Cramer și tinem seamă de

\left|\mathrm{P}\left(x_{r},y_{r}\right)\right|<\mathrm{A},\quad r=1,2,\ldots,\mathrm{~N}.

Se pot ușor alege punctele Mr astfel ca determinantul (39) să fie diferit de zero. E destul să luăm N puncte distincte formând o rețea triunghiulară astfel

\left(x_{r},y_{s}\right),\quad r=1,2,\ldots,n+1,\quad s=r,r+1,\ldots,n+1.

Determinantul sistemului este atunci egal, poate afară de semn, cu

\begin{gathered}\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2}\right)\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ldots\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)\mathrm{V}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\right).\\ .\mathrm{V}\left(y_{2},y_{3},\ldots,y_{n+1}\right)\ldots\mathrm{V}\left(y_{n-1},y_{n},y_{n+1}\right)\mathrm{V}\left(y_{n},y_{n+1}\right),\end{gathered}

intrebuințând notația deja semnalată a determinatului lui Van der Monde.

Rezultatele dela Nr. 7 sunt aplicabile. $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ aceasta funcție o continuă de coeficienții $a_{ij}$ . Rezultă că marginea inferioară $\mu_{n}$ un numărător $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ coincide cu limita lor inferioară.

Repetând acum rationamentul dela Nr. 8 putem enunta propriedatea :

Oricare ar fi functia continua $f(x,y)$ , există cel puțin un polinom de cea mai bună aproximație de gradul n.

E de observat că acest rezultat rămâne adevărat chiar și pentru - funcție mărginită oarecare.
43. - Prima proprietate a polinoamelor de cea mai bună aproximație, Dacă $P(x,y)$ este un polinom de cea mai bună aproximație de gradul $n$ , există cel puțin un punct ( $x,y$ ) unde avem

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)|=\mu_{n}

(40)

Numărul acestor puncte capătă o primă precizare prin proprietatea următoare:

Dacă $\mathrm{P}(x,y)$ este un polinom de cea mai bună aproximație de gradul n, există cel puțin $n+2$ puncte unde avem egalitatea (40).

Pentru a demonstra această proprietate să am întâi $n\not+\mathbb{A}$ puncte distincte $\mathrm{M}_{r}\left(x_{r},y_{r}\right),r=1,2,\ldots,n+1$ și fie tabloul

	$\displaystyle\left\\|1\quad x_{r}\quad y_{r}\ldots x_{r}^{n}x_{r}^{n-1}y_{r}\ldots y_{r}^{n}\right\\|$		(41)
	$\displaystyle r=1,2,\ldots,n+1$

cu $n=\binom{n+2}{2}$ coloane și $n+1$ linii. Să inmulțim acest tablou cus urniătorul

\|\begin{array}[]{cccccccccccccccc}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&0\\ 0&1&i&0&0&0&0&0&0&0&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&0\\ 0&0&0&1&2i&-1&0&0&0&0&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&0&0&0&0&1&3i&-3&-i&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\ldots&1&\binom{n}{1}i&\binom{n}{2}i^{2}&\ldots\end{array}

sub $i=\gamma\overline{-1}$ Dacă
punem $z_{r}=x_{r}+iy_{r}$ vedem că produsul celor două tablouri este egal cu determinantul $\mathrm{V}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{n+1}\right)$ şi deci este diferit dezero. Formula [cunoscută a lui Cauchy nu arată atunci că există în tabloul (41) cel putin un determinant de credință. $n+1$ diferență de zero.

Să presupunem acum că egalitatea (40) nu are loc decât în $m\leq n+1$ puncturi $\mathrm{M}_{r}\left(x_{r},y_{r}\right),r=1,2,\ldots,m$ Din proprietatea demonstrată a tabloului (41) rezultă că putem găsi în primul $m$ linii un determinant al ordinii $m$ diferit de zero. Fie pentru fixarea ideilor,

\left|1\quad x_{r}\quad x_{r}^{2}\ldots x_{r}^{m-2}\quad x_{r}y_{r}\right|,\quad r=1,2,\ldots,

un astfel de determinant.
Să construim polinomul $Q(x,y)$ al diplomei $n$ și de formă

Q(x,y)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m-2}x^{m-2}+bxy

care verifică condițiile

\mathrm{Q}\left(x_{r},y_{r}\right)=f\left(x_{r},y_{r}\right)-\mathrm{P}\left(x_{r},y_{n}\right),\quad r=1,2,\ldots,m,

ce este posibil.
Să luăm în considerare cercurile închise ( $\mathrm{C}_{r}$ ) cu centrul în $\mathrm{M}_{r}$ și raza egală cu un număr pozitiv $\delta$ Alegem acest număr $\delta$ astfel încât
$1^{0}$ Cercurile ( $\mathrm{C}_{r}$ ) a nu se tăia.
$2^{0}:f(x,y)-\mathrm{P}(x,y),\mathrm{Q}(x,y)$ să nu fie anulat în aceste cercuri.

Rezultă că în fiecare cerc funcțiile $f(x,y)-\mathrm{P}(x,y);\mathrm{Q}(x,y)$ păstrează același semn.

Fie (J') domeniul închis obținut din (D) prin îndepărtarea interiorului dopurilor ( $\mathrm{C}_{r}$ În acest domeniu ( $\mathrm{D}^{\prime}$ ) avem

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)|\leq\mu^{\prime}<\mu_{n}

Fie acum $\lambda$ un număr pozitiv ales astfel încât

\lambda<\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2M(|Q|)}\left(<\frac{\mu_{n}}{M(|Q|)}\right)

avem atunci

|f(x,y)-\mathbb{R}(x,y)-\lambda Q(x,y)|<\mu^{\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}

din tot terenul ( $\mathrm{D}^{\prime}$ Într
-un cerc ( $\mathrm{C}_{\varphi}$ ) avem

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\lambda Q(x,y)|<\mu_{n}

De fapt, de exemplu,

f\left(x_{r},y_{r}\right)-\mathrm{P}\left(x_{r},y_{r}\right)=\mu_{n}

apoi în ( $\mathrm{C}_{r}$ )
$-\mu_{n}<-\lambda Q(x,y)\leq f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\lambda Q(x,y)\leq f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)\leq\mu_{1_{e}}$
egalitatea nu poate avea loc decât dacă $f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)=0$ sau $\mathrm{Q}(x,y)=0$ , ceea ce am văzut că este imposibil.

Rezultă că, în întregul domeniu (D), avem

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\lambda\mathrm{Q}(x,y)|<\mu_{n}

deci polinomul $\mathrm{P}(x,y)+\lambda\mathrm{Q}(x,y)$ oferă o aproximare mai bună. Aceasta nu este o contradicție cu ipoteza că $\mathrm{P}(x,y)$ este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ ; astfel, proprietatea este demonstrată.

44.- Completarea rezultatului anterior. Proprietatea anterioară-

Dintele poate fi specificat după cum urmează:

Dacă $\mathrm{P}(x,y)$ este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ , există cel puțin $\left\lceil\frac{n+2}{2}\right\rfloor$ străpungere $\mathrm{M}_{r}\left(x_{r},y_{r}\right)$ unde

f\left(x_{r},y_{r}\right)-P\left(x_{r},y_{r}\right)=\mu_{n}

și cel puțin $\left\lceil\frac{n+2}{2}\right\rfloor$ străpungere $\mathrm{M}_{r}^{\prime}\left(x_{r}^{\prime},y_{r}^{\prime}\right)$ unde

f\left(x_{r}^{\prime},y_{r}^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime}{}_{r},y^{\prime}{}_{r}\right)=-\mu_{r}\ldots

pentru a desemna cel mai mare număr întreg conținut în æ.
Să demonstrăm, de exemplu, prima parte a afirmației.

Nu poate exista niciun rost $\mathrm{M}_{\text{r }}$ , pentru că altfel am fi avut

-\mu_{n}\leq\equiv f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)\leq\mu^{\prime}<\mu_{n}\quad,\quad\text{ in (D) }

aşa

-\mu_{n}<-\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}\leq f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}\leq\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}

și polinomul $\mathrm{P}(x,y)-\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}$ ar oferi o aproximare mai bună.
Să presupunem, așadar, că există doar $m<\left[\frac{n+2}{2}\right]$ străpungere $\mathrm{M}_{\text{r, }}$
$r=1,2,\ldots,m$ Încă luăm în considerare cercurile închise ( $\mathrm{C}_{r}$ ) definite în punctul anterior. Luăm în continuare raza lor comună $\delta$ suficient de mici încât cercurile să nu se intersecteze și așa mai departe. $f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)$ să rămână pozitiv în aceste cercuri. În fiecare cerc ( $C_{rr}$ ) luăm un punct $\mathrm{M}_{r}^{*}\left(\xi_{r},\eta_{r}\right)$ la distanță $\frac{1}{4}\delta$ de $\mathrm{M}_{r}$ , și să fie $\left(\mathrm{C}_{r}^{*}\right)^{*}$ cercul închis cu centrul în $\mathrm{M}_{r}^{*}$ și raza egală cu $\frac{3}{4}\delta=\delta^{*}$ Fie acum
polinomul de grad $n$

\begin{gathered}Q(x,y)=\left[\left(x-\xi_{1}\right)^{2}+\left(y-\eta_{1}\right)^{2}-\delta^{*}2\right]\left[\left(x-\xi_{2}\right)^{2}+\left(y-\eta_{2}\right)^{2}-\delta^{*2}\right]\ldots\\ \ldots\left[\left(x-\xi_{m}\right)^{2}+\left(y-\eta_{m}\right)^{2}-\delta^{*2}\right].\end{gathered}

Acest polinom se anulează doar pe conturul cercurilor ( $\mathrm{C}_{2}^{*}$ ). Avem $Q(x,y)<0$ în interiorul acestor cercuri și $Q(x,y)>0$ în domeniul deschis (D'), care se obține din (D) prin eliminarea cercurilor ( $\mathrm{C}_{r}^{*}$ ).

În ( $\mathrm{D}^{\prime}$ ) avem

-\mu_{n}\leq f(x,y)-P(x,y)\leq\mu^{\prime}<\mu_{n}.

Să luăm $\lambda$ pozitiv, astfel încât

\lambda<\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2M(|Q|)}\left(<\frac{\mu_{n}}{M(|Q|)}\right).

Avem în domeniul ( $\mathrm{D}^{\prime}$ )

f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\lambda\mathrm{Q}(x,y)<\mu^{\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}

şi

-\mu_{n}<f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\lambda Q(x,y),

Pentru această inegalitate, este de remarcat faptul că avem semnul $\leq$ Egalitatea ar putea avea loc doar dacă $Q(x,y)=0$ dar -
atunci $f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)>0$ Avem așa, dar

\mid f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\lambda Q(x,y)<\mu_{n}

în ( $\mathrm{D}^{\prime}$ ).
În cercuri ( $\mathrm{C}_{r}^{*}$ ) avem
s.

f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\lambda Q(x,y)<\mu_{n}

-\mu_{n}<\lambda Q(x,y)<f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\lambda Q(x,y).

Rezultă că avem

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)+\lambda Q(x,y)|<\mu_{n}

peste tot în (D). ¹ Polinomul $\mathrm{P}(x,y)-\lambda\mathrm{Q}(x,y)$ prin urmare o aproximare mai bună, contrară ipotezei. Această contradicție demonstrează proprietatea.

Demonstrația se face la fel și pentru punctele $\mathbf{M}_{\boldsymbol{r}}^{\boldsymbol{\prime}}$ 45.
- Teorema domnului L. Tonelli. Dacă $\mathrm{P}(x,y)$ un polinom de gradul n și E mulțimea punctelor ( $x^{\prime},y^{\prime}$ ) în care M—( $f-\mathrm{P}$ )— se atinge. Mulțimea E poate fi finită sau o mulțime închisă arbitrară. D1 L. Tonelli a dat următoarea teoremă, care este oarecum analoagă cu prima teoremă a domnului E. Borel (nr. 15):

Condiția necesară și suficientă ca $\mathrm{P}(x,y)$ pentru a fi un polinom T n este astfel încât nu se poate găsi niciun polinom $Q(x,y)$ de gradul n verificând condițiile
10. $\operatorname{sg}\mathrm{Q}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)=\operatorname{sg}\left(f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right)$ ,
$2^{0}.\Gamma>\left|Q\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right|>\gamma>0$ ,
în toate punctele varietății E.
Pentru a demonstra că această condiție este suficientă, este suficient să demonstrăm că dacă $\mathrm{P}(x,y)$ nu este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ putem găsi un astfel de polinom $Q(x,y)$ Să presupunem, așadar, că

\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)=\mu^{\prime}>\mu_{n}

Din relație

\mathrm{T}_{n}(x,y;f)-\mathrm{P}(x,y)=f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\left(f(x,y)-\mathrm{T}_{n}(x,y;f)\right)

rezultă că

\begin{gathered}\operatorname{sg}\left(\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime},y^{\prime};f\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right)=\operatorname{sg}\left(f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right)\\ 0<\mu^{\prime}-\mu_{n}\leq\left|\mathrm{T}_{n}\left(x^{\prime},y^{\prime};f\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right|\leq\mu^{\prime}+\mu_{n}.\end{gathered}

Deci putem lua $Q(x,y)=T_{n}(x,y;f)-\mathrm{P}(x,y)$ Să
demonstrăm acum că și această condiție este necesară. Să presupunem că

\left|f(x,y)-{}^{2}\mathrm{P}(x,y)\right|\leq\mu^{\prime}<\mu_{n}

Fie acum $\lambda$ un număr pozitiv ales astfel încât

\lambda<\min\left(\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2\mathrm{M}(|Q|)},\frac{\mu_{n}-\varepsilon}{\Gamma+\varepsilon}\right)

avem atunci

|f(x,y)-P(x,y)-\lambda Q(x,y)|<\mu^{\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}

în ( $\mathrm{D}^{\prime}$ Într
-un cerc ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) unde

f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)=\mu_{n}

\begin{array}[]{r}0<\mu_{n}-\varepsilon<f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)\leq\mu_{n}\\ -\lambda(\Gamma+\varepsilon)<\lambda Q(x,y)<-\lambda(\gamma-\varepsilon)\end{array}

aşa
$0<\mu_{n}-\varepsilon-\lambda(\Gamma+\varepsilon)<f(x,y)-P(x,y)-\lambda Q(x,y)<\mu_{n}-\lambda(\gamma-\varepsilon)<\mu_{n}$ În mod similar ,
observăm că într-un cerc ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) unde

f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)=-\mu_{x}

AI
$-\mu_{n}<-\mu_{n}+\lambda(\gamma-\varepsilon)</(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\lambda Q(x,y)<-\mu_{n}+\varepsilon+\lambda(\Gamma+\varepsilon)<0$ Prin urmare, rezultă
că în cercuri ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ),

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\lambda Q(x,y)|<\mu_{n}-\lambda(\gamma-\varepsilon)<\mu_{n}.

Se observă însă că pentru $\lambda$ avem destul de mult

|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)-\lambda Q(x,y)|<\mu_{n}

în întregul domeniu (D). Această inegalitate conține contradicția care demonstrează teorema.
47. - Multiplicitatea polinoamelor $\mathbf{T}_{n}$ Vom arăta acum, printr-un exemplu, că polinomul $\mathrm{T}_{n}(x,y;f)$ s-ar putea să nu fie unic.

Dacă $f(x)$ o funcție continuă a unei variabile definite în interval $(a,b)$ şi $\mathrm{T}_{n}(x)$ polinomul său de cea mai bună aproximare de gradul n. Notăm cu $\mu_{n}^{*}$ aproximarea dată de $\mathrm{T}_{n}(x){}^{*}$

Să luăm acum în considerare funcția

f(x,y)=\frac{1}{d-c}\left[(y-c)\mathrm{T}_{n}(x)-(y-d)f(x)\right]

definit în dreptunghiul (38). Fie $\mu_{n}$ cea mai bună aproximare a $f(x,y)$ prin polinoame de gradul n. Avem

f(x,y)-\mathrm{T}_{n}(x)=\frac{d-y}{d-c}\left(f(x)-\mathrm{T}_{n}(x)\right)

ceea ce arată că

\left|f(x,y)-\mathrm{T}_{n}(x)\right|\leq\mu_{n}^{*}

egalitatea este posibilă doar pentru $y=c$ și pentru anumite valori ale $x$ Deci avem sigur $\mu_{n}\leq\mu_{n}^{*}$ .

Acum avem

f(x,c)=f(x)

și rezultă că, dacă $\mathrm{P}(x,y)$ este un polinom $\mathrm{T}_{n}$ lui/ei $f(x,y)$ trebuie să fie

\mathrm{P}(x,c)\equiv\mathrm{T}_{n}(x).

Altfel ar exista cel puțin o valoare $x$ pentru care

|f(x,c)-\mathrm{P}(x,c)|>\mu_{n}^{*}

Prin urmare, avem
Acum fie polinomul

\mu_{n}=\mu_{n}^{*}.

\mathrm{P}(x,y)=\mathrm{T}_{n}(x)+\lambda\mu_{nx}^{*}\frac{y-c}{d-c}

sunete $|\lambda|\leq 1$ Avem

\begin{gathered}|f(x,y)-\mathrm{P}(x,y)|=\frac{1}{d-c}\left|(d-y)\left(f(x)-\mathrm{T}_{n}(x)\right)-\lambda\mu_{n}^{*}(y-c)\right|\leq\\ \leq\frac{\mu_{n}^{*}}{d-c}[(d-y)+|\lambda|(y-c)]\leq\mu_{n}^{*}=\mu_{n}\end{gathered}

deci toate aceste polinoame sunt polinoame $\mathrm{T}_{n}$ Without
further ado, we only point out that DI L. Tonelli has also established various other properties of polynomials. $\mathrm{T}_{n}$ . You can see the cited article by Mr. Tonelli.
47. - Weierstrass's theorem. Weierstrass's theorem, stated in No. 30 for continuous functions of one variable, remains true. This theorem tells us that if the function is continuous we have

\mu_{n}(f)\rightarrow 0\quad\text{ pentru }\quad n\rightarrow\infty

For simplicity, let us assume that (D) is the rectangle (38). In very general cases we can return to this case by conveniently extending the function $f(x,y)$ We can prove Weierstrass's theorem with the help of Mr. S. Bernstein's polynomials of two variables.

\begin{gathered}\mathrm{P}_{m,n}(x,y;f)=\frac{1}{(b-a)^{m}(d-c)^{n}}\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}\binom{m}{i}\binom{n}{i}f\left(a_{i},c_{j}\right)(x-a)^{i}(b-x)^{m-i}\ldots\\ \cdot(y-c)^{j}(d-y)^{n-j}\end{gathered}

where

	$\displaystyle a_{i}=a+i\frac{b-a}{m},$	$\displaystyle i=0,1,\ldots,m$
	$\displaystyle c_{j}=c+j\frac{d-c}{n},$	$\displaystyle j=0,1,\ldots,n$

these polynomials.
To limit the approximation given by this polynomial we define the oscillation modulus $\omega(\delta)$ his/her $f(x,y)$ in the following way

\omega(\delta)=\max\left|f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime}\right)\right|

when ( $x^{\prime},y^{\prime}$ ), ( $x^{\prime\prime},y^{\prime\prime}$ ) are two points in (D) such that

\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|+\left|y^{\prime}-y^{\prime\prime}\right|\leq\delta.

function $\omega(\delta)$ enjoys properties analogous to those of the case of functions of one variable. These properties are proved in the same way. Let us recall them here for the case of two variables.
$\omega(\delta)$ is a function defined for $\delta\leq b-a+d-c$ , non-decreasing and which does not become negative. We have

\left|f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime}\right)\right|\leq\omega^{\prime}\left(\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|+\left|y^{\prime}-y^{\prime\prime}\right|\right)

and

\omega(k\delta)<(k+1)\omega(\delta)

for a positive number $k$ so that $k\bar{o}$ and $\delta$ to be $\leq b-a+d-c$ .
The necessary and sufficient condition that the function $f(x,y)$ to be continuous in (D) is such that we have $\omega(\delta)\rightarrow 0$ for $\delta\rightarrow 0$ .

Returning now to our problem, we can write, taking into account the properties of the oscillation modulus,

\begin{gathered}\left|f(x,y)-\mathrm{P}_{m,n}(x,y;f)\right|\leq\frac{1}{(b-a)^{m}(d-c)^{n}}\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}\binom{m}{i}\binom{n}{j}.\\ \cdot\left|f(x,y)-f\left(a_{i},c_{j}\right)\right|(x-a)^{i}(b-x)^{m-i}(y-c)^{j}(d-y)^{n-j}\end{gathered}

and

\left|f(x,y)-f\left(a_{i},c_{j}\right)\right|<\left[\frac{\left|x-a_{i}\right|+\left|y-c_{j}\right|}{\delta}+1\right]\omega(\delta)

Doing the calculations, it is found that

\begin{gathered}\left|f(x,y)-\mathrm{P}_{m,n}(x,y;f)\right|\leq\left\{\frac{1}{\delta}\left[\frac{1}{(b-a)^{m}}\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}\left|x-a_{i}\right|(x-a)^{i}(b-x)^{m-i}+\right.\right.\\ \left.\left.\quad+\frac{1}{(d-c)^{n}}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\left|y-c_{j}\right|(y-c)^{i}(d-y)^{n-j}\right]+1\right\}\omega(\delta)\end{gathered}

However, we showed in No. 34 that

		$\displaystyle\frac{1}{(b-a)^{mn}}\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}\left\|x-a_{i}\right\|(x-a)^{i}(b-x)^{m-i}\leq\frac{b-a}{2\sqrt{m}}$
		$\displaystyle\frac{1}{(d-c)^{n}}\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{i}\left\|y-c_{j}\right\|(y-c)^{j}(d-y)^{n-i}\leq\frac{d-c}{2\sqrt{n}}$

So if we take

\delta=\frac{b-a}{\sqrt{m}}+\frac{d-c}{\sqrt{n}}

FIND

\left|f(x,y)-\mathrm{P}_{m,n}(x,y;f)\right|<\frac{3}{2}\omega\left(\frac{b-a}{\sqrt{m}}+\frac{d-\rho}{\sqrt{n}}\right)

If we do $m\rightarrow\infty,n\rightarrow\infty$ we come across Weierstrass's theorem-
48. - The problem of the best approximation for a function of a complex variable. So far we have studied the case of functions of real variables. Let us briefly examine the case of functions of a complex variable. A function $f(x,y)$ of two real variables that takes real or complex values can also be called a function of a complex variable... $z=x+iy(i=\sqrt{-1})$ Such a function is of the form $f_{1}(x,y)+if_{2}(x,y)\cdots$ where $f_{1}$ and $f_{2}$ are real functions. The necessary and sufficient condition that the function $f(x,y)$ to be continuous is that the functions $f_{1}$ and $f_{2}$ to be continuous.

For abbreviation function $f(x,y)$ it is also noted with $f(z)$ . Vomiting. assumes as above that $f(z)$ is defined and continuous in the domain (D).

Let us now consider the set of analytic polynomials of degree n-

\mathrm{P}(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n}

A polynomial of the set is completely determined by its coefficients $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ real or complex.

The modulus of a function is a real function so $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|\mathrm{U}\mid)$ has a well-defined meaning here as well and represents, by definition, the error or approximation with which the polynomial $\mathrm{P}(z)$ represents the function $f(z)$ in the domain (D). The best approximation $\mu_{n}(f)$ , or shorter $\mu_{n}$ , is here too, —by definition, the lower edge of the numbers $\left.\mathrm{M}_{(}|f-\mathrm{P}|\right)$ when Po of degree n.

The problem that interests us is posed as before:
Given a function $f(z)$ , to determine the polynomials of degree n for which $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ reaches its lower edge $\mu_{n}$ and to study this number $\mu_{n}$ .

The definition of a best-fitting polynomial is self-explanatory. We will denote such a polynomial by $\mathrm{T}_{n}(z;f)$ and we will say it is a polynomial $\mathrm{T}_{n}$ .

It is proven, exactly as above, that:
Any continuous function $f(z)$ admits at least one polynomial of best approximation of degree n.

This result remains exact for any bounded function.

number $\mu_{n}$ is positive or null and cannot be canceled unless $f(z)$ reduces to an analytic polynomial of degree $n$ We will assume, in the following, that $\mu_{n}>0$ .

This best approximation problem was also studied by Mr. L. Tonelli in the cited work.
49. - Fundamental property of polynomials $\mathbf{T}_{\boldsymbol{n}}$ The first property of best-approximation polynomials is the following:

If $\mathrm{P}(z)$ is a best-approximation polynomial of degree n, there exists at least $n+2$ points where

|f(z)-\mathrm{P}(z)|=\mu_{n}

(42)

Let us assume the opposite and let $z_{1},z_{2},\ldots,z_{m}$ the points, in number only of $m\leq n+1$ where we have the equality (42). Let

f\left(z_{r}\right)-\mathrm{P}\left(z_{r}\right)=\mu_{n}e^{ia_{r}}\quad r=1,2,\ldots,m.

Lagrange's interpolation formula allows us to determine an apolynomial $Q(z)$ of the degree $n$ so that

Q\left(z_{r}\right)=\mu_{n}e^{ia_{r}}\quad r=1,2,\ldots,m.

Let's put

f(z)-\mathrm{P}(z)=\mu e^{i\alpha},\quad Q(z)=ve^{i\beta}

where, of course, $\mu,\nu,\alpha,\beta$ depend on the point $z$ Let us now
consider the closed corks ( $C_{r}$ ) with the center in $z_{r}$ and
radius §. We take $\delta$ small enough because
10. The circles ( $\mathrm{C}_{r}$ ) not to be cut.
$2^{0}.f(z)-\mathrm{P}(z),Q(z)$ not to cancel in the circles ( $\left.\mathrm{C}_{\mathrm{r}}\right)$ . There will be. then a positive number $\gamma$ so that $\mu\geq\gamma,\gamma\geq\gamma$ in circles $\left(\mathrm{C}_{r}\right)$ .
30. Let's have

\left|\alpha-\alpha_{r}\right|\leq\alpha^{\prime}<\frac{\pi}{4},\left|\beta-\alpha_{r}\right|\leq\alpha^{\prime}<\frac{\pi}{4}

in the circles ( $\mathrm{C}_{r}$ ).
All these circumstances can be achieved by virtue of the continuity of functions $f(z)-\mathrm{P}(z),\mathrm{Q}(z)$ .

In the whole field ( $\mathrm{D}^{\prime}$ ) which is obtained from (D) by removing the interior of the circles ( $\mathrm{C}_{r}$ ), we have

|f(z)-\mathrm{P}(z)|\leq\mu^{\prime}<\mu_{n}

$\mu^{\prime}$ being a fixed number.
Let us now take a positive number $\lambda$ so that

\lambda<\min\left(\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2\mathrm{M}(|Q|)},\frac{2\gamma\cos 2\alpha^{\prime}}{\mathrm{M}(|Q|)}\right).

\left.\mid f(z)-P_{1}z\right)-\left.\lambda Q(z)\right|^{2}=\left|\mu e^{i\alpha}-\lambda ve^{i\beta}\right|=\mu^{2}+\lambda^{2}\mu^{2}-2\mu\lambda v\cos(\alpha-\beta)v

But in the circles ( $\mathrm{C}_{r}$ )

\cos(\alpha-\beta)\geq\cos 2\alpha^{\prime}>0

and

\lambda^{2}\gamma^{2}-2\lambda\mu\nu\cos(\alpha-\beta)<\lambda\nu\left(\lambda M(|Q|)-2\gamma\cos 2\alpha^{\prime}\right)<0

We therefore have, in the circles ( $\mathrm{C}_{r}$ ),

|f(z)-P(z)-\lambda Q(z)|\leq\mu^{\prime\prime}<\mu_{n}

$\mu^{\prime\prime}$ being a fixed number.
On the other hand, in the domain ( $\mathrm{D}^{\prime}$ ) we have

f(z)-\mathrm{P}(z)-\lambda\mathrm{Q}(z)\left\lvert\,\leq\mu^{\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}.\right.

It follows that in the entire domain (D)

|f(z)-P(z)-\lambda Q(z)|\leq\max\left(\mu^{\prime\prime},\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}\right)<\mu_{n}.

which contradicts the hypothesis that $\mathrm{P}(z)$ is a polynomial $\mathrm{T}_{n}$ . The stated property is therefore proven.
50. - The uniqueness of the polynomial $\mathbf{T}_{n}$ From the previous property it immediately follows that:

A continuous function $f(z)$ admits a single polynomial of best approximation of degree n.

Let us assume the opposite and let $\mathrm{P}(z),\mathrm{P}_{1}(z)$ two polynomials $\mathrm{T}_{n}$ distinct. The polynomial $P_{2}=\frac{P+P_{1}}{2}$ is also a polynomial $T_{n}$ , because

M\left(\left|f-P_{2}\right|\leq\frac{1}{2}\left\{M(|f-P|)+M\left(\left|f-P_{1}\right|\right)\right\}\leq\mu_{n}\right.

Whether $z^{\prime}$ a point where

\left|f\left(z^{\prime}\right)-P_{2}\left(z^{\prime}\right)\right|=\mu_{n}

\left|f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right|\leq\mu_{n},\quad\left|f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}_{1}\left(z^{\prime}\right)\right|\leq\mu_{n}

and

\mu_{n}=\left|\frac{f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)+\left(f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right)}{2}\right|\leq\frac{\left|f(z)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right|+\left|f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right|}{2}\leq\mu_{n}

It follows that we have the sign = everywhere. Then we must first $f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right),f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}_{1}\left(z^{\prime}\right)$ to have the same mode $\mu_{n}$ and then, the modulus of the sum being equal to the sum of the moduluses, it must have the same argument. We have so

	$\displaystyle f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)$	$\displaystyle=f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)$
	$\displaystyle\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)$	$\displaystyle=\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)$

Or, we saw in the previous No. that there is at least $n+1$ (and even at least $n+2$ ) points $z^{\prime}$ . Polynomials of degree $n,\mathrm{P}(z)$ and $\mathrm{P}_{1}(z)$ , coincide in at least $n+1$ points and are therefore identical, contrary to the hypothesis. The theorem is proven.
51. - Mr. L. Tonelli's theorem. Mr. Tonelli found a theorem here too, analogous to Mr. Borel's first theorem.

Let E be the set of points $\boldsymbol{z}^{\prime}$ where $\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)$ is reached. We have the property:

The necessary and sufficient condition for $\mathrm{P}(z)$ to be a polynomial ${}^{\mathrm{T}}\mathrm{T}_{n}$ is that no polynomial can be found $\mathrm{Q}(z)$ , of degree n, - such that
10. $\quad c^{\prime}>\left|Q\left(z^{\prime}\right)\right|>c>0$

20 $\quad\left|\arg\mathrm{Q}\left(z^{\prime}\right)-\arg\left(f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right)\right|<\alpha^{\prime}<90^{\circ}$
in all points $z^{\prime}$ of E.
To show that this condition is sufficient, it is enough to show that, if $\mathrm{P}(z)$ is not a polynomial $\mathrm{T}_{n}$ , we can construct the polynomial $Q^{\prime}z$ ).

Let us therefore suppose that

\mathrm{M}(|f-\mathrm{P}|)=\mu^{\prime}>\mu_{n},\quad\left(\mathrm{P}(z)\equiv\equiv\mathrm{T}_{n}(z;f)\right).

Whether $\mathrm{A}_{,}\mathrm{A}_{1},\mathrm{~A}_{2}$ the points that represent $f\left(z^{\prime}\right),\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right),\mathrm{T}_{n}\left(z^{\prime};f\right)$ The point. $\mathrm{A}_{2}$ is in the circle with center A and radius equal to $\mu_{n}$ .

-We

\begin{gathered}\mu^{\prime}-\mu_{n}\leq\left|\mathrm{T}_{n}\left(z^{\prime};f\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right|\leq\mu^{\prime}+\mu_{n}\\ \left|\arg\left(\mathrm{~T}_{n}\left(z^{\prime};f\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right)-\arg\left(f\left(z^{\prime}\right)-\mathrm{P}\left(z^{\prime}\right)\right)\right|\leq\operatorname{Arcsin}\frac{\mu_{n}}{\mu^{\prime}}<90^{n}\end{gathered}

So we can take $Q(z)=\mathrm{T}_{n}(z;f)-\mathrm{P}(z)$ .
It remains to show the necessity of the condition.
Suppose there were a polynomial $Q(z)$ care satisface proprietățile menționate și fie $\mathrm{T}_{n}(z;f)$ polinomul cel mai potrivit. Putem presupune $c<\mu_{n}$ Pentru un număr pozitiv dat, $\varepsilon<\mu_{n}$ , corespunde unui alt număr pozitiv $\delta$ astfel încât oscilația funcțiilor $f(z)-\mathrm{T}_{n}(z;f)$ , $Q(z)$ a fi mai mic decât $\varepsilon$ , într-un cerc de rază $\leq\delta$ Apoi, fie $\varphi(z)=f(z)-\mathrm{T}_{n}(z;f)-\lambda Q(z),\lambda$ fiind un număr pozitiv.

Să luăm acum $\varepsilon$ suficient de mic pentru a avea

\varepsilon<\min\left(c\sin\frac{90^{\circ}-\alpha^{\prime}}{2},\mu_{n}\sin 15^{\circ}\right)

Și să notăm cu E proiecția lui M pe OD.
Dacă luăm

\lambda<\frac{\mu_{n}\cos(\mathrm{MOD})}{\varepsilon+\gamma\overline{c^{2}-\varepsilon^{2}}}

domeniul (B) este complet în interiorul triunghiului MOE. Pe de altă parte

f(z)-\mathrm{T}_{n}(z;f)-\lambda Q(z)\mid<\mu_{n}

în cercurile C. În domeniul închis obținut prin eliminarea interiorului cercurilor C avem

\left|f(z)-T_{n}(z;f)-\lambda Q(z)\right|\leq\mu^{\prime}<\mu_{n},

aşa

\left|f(z)-T_{n}(z;f)-\lambda Q(z)\right|<\mu_{n}

peste tot, ceea ce este în contradicție cu faptul că $\mathrm{T}_{n}(z;f)$ este polinomul cu cea mai bună ajustare.

Prin urmare, proprietatea este complet demonstrată.

	$\displaystyle\left\|C\right\|M\left(\left\|f-P\right\|\right)$	$\displaystyle=M\left(\left\|Cf-CP\right\|\right)=\left\|C\right\|\mu_{n}\left(f\right),$
	$\displaystyle M\left(\left\|Cf-R\right\|\right)$	$\displaystyle=M\left(\left\|Cf-C\frac{R}{C}\right\|\right)=\left\|C\right\|M\left(\left\|f-\frac{R}{C}\right\|\right)\geq\left\|C\right\|\mu_{n}\left(f\right).$

	$\displaystyle M\left(\left\|f-P\right\|\right)$	$\displaystyle\leq M\left(\left\|f-P_{1}\right\|\right)+M\left(\left\|P-P_{1}\right\|\right)<M\left(\left\|f-P_{1}\right\|\right)+\varepsilon.$
	$\displaystyle M\left(\left\|f-P_{1}\right\|\right)$	$\displaystyle\leq M\left\|\left(f-P\right)\right\|+M\left\|\left(P-P_{1}\right)\right\|<M\left(\left\|f-P\right\|\right)+\varepsilon$

	$\displaystyle\left\|\lambda Q\right\|$	$\displaystyle<\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2},$
	$\displaystyle\left\|f-T_{n}-\lambda Q\right\|$	$\displaystyle\leq\left\|f-T_{n}\right\|+\left\|\lambda Q\right\|<\mu^{\prime}+\frac{\mu_{n}-\mu^{\prime}}{2}=\frac{\mu_{n}+\mu^{\prime}}{2}<\mu_{n}$

$\displaystyle\mu_{n}$	$\displaystyle\leq M\left(\left\|f-\frac{\alpha P+\beta P_{1}}{\alpha+\beta}\right\|\right)=M\left(\left\|\frac{\alpha^{\prime}f-P}{\alpha+\beta}+\frac{\beta\left(f-P_{1}\right)}{\alpha+\beta}\right\|\right)\leq$	(1.10)
	$\displaystyle\leq\frac{\alpha\backslash\left(\left\|f-P\right\|\right)+\beta M\left\|\left(f-P_{1}\right)\right\|}{\alpha+\beta}=\mu_{n}$
	$\displaystyle\therefore M\left(\left\|f-\frac{\alpha P+\nu P_{1}}{\alpha+\beta}\right\|\right)=\mu_{n}.$

	$\displaystyle\mid f-$	$\displaystyle P_{n}(x;f)\left\|=\left\|\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left[f(x)-f\left(a_{i}\right)\right](x-a)^{i}(b-x)^{n-i}\right\|\leq\right.$
		$\displaystyle\leq\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\omega\left(\left\|x-a_{i}\right\|\right)(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}<$
		$\displaystyle<\left\{\frac{1}{\delta}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left\|x-a_{i}\right\|(x-a)^{\prime}(b-x)^{n-i}+1\right\}\omega(0)$

Despre cea mai bună aproximație a funcțiilor continue prin polinoame

Abstrait

Auteur(s)

Mots-clés

PDF

Pour citer ce travail

Sur ce travail

Journal

Publié par

DOI

Print ISSN

Online ISSN

References

Lucrare in format HTML

Despre cea mai bună aproximare a funcțiilor continue prin polinoame. Cinci lecții ținute la Facultatea de Științe din Cluj în anul universitar 1933-1934

Capitolul 1Prima lecție. Existența și unicitatea polinoamelor de cea mai bună aproximare.

1.1Funcții mărginite. Oscilația unei funcții.

1.2Funcții continue.

1.3Distanța dintre două funcții.

1.4Problema celei mai bune aproximări folosind polinoame.

1,5DeterminareaT.n.T_{n}în cazuri simple.

1.6O lemă preliminară.

1.7ContinuitateaM.​(|f.−P.|)M\left(\left|f-P\right|\right).

1.8Existența polinoamelor celei mai bune aproximări.

1.9Polinoamele lui Cebîșev pentru o funcție continuă.

1.10Rezultatul anterior a fost revizuit.

1.11Mulțimea polinoamelorT.n.T_{n}.

1.12Unicitatea polinoamelor lui Cebîșev.

Capitolul 2A doua lecție. Rezultatele lui E. Borel.

2.1Diferențaf.​(x)−P.​(x)f\left(x\right)-P\left(x\right).

2.2Proprietatea fundamentală aT.n.T_{n}polinoame.

2.3Prima teoremă a lui Borel.

2.4Despre distribuția zerourilor luiT.n.−T.n.−1T_{n}-T_{n-1} polinoame.

2,5Cel/Cea/Cei/CeleT.n.T_{n}polinoame pentru funcții de ordinn.n.

2.6A doua teoremă a lui Borel.

2.7O consecință a teoremei anterioare.

2.8CalcululT.n.T_{n}polinom.

2.9Cea mai bună aproximare axn.+1x^{n+1}.

Capitolul 3A treia lecție. Rezultatele lui Ch. de la Vallée Poussin.

3.1Cea mai bună aproximare an.+2n+2puncte.

3.2Determinarea polinomuluiE.n.E_{n}.

3.3Prima teoremă a lui Ch. de la Vallée Poussin.

3.4A doua teoremă a lui Ch. de la Vallée Poussin.

3.5Aplicații la funcții cu diferențe mărginite.

3.6Modulul de oscilație al unei funcții.

LECȚIA IV

Teorema lui Weierstrass

LECTURA A V-A

Cazul funcțiilor de două variabile independente

44.- Completarea rezultatului anterior. Proprietatea anterioară-

Related Posts

Despre cea mai bună aproximare a funcțiilor continue prin polinoame.
Cinci lecții ținute la Facultatea de Științe din Cluj în anul universitar 1933-1934

1,5Determinarea $T_{n}$ în cazuri simple.

1.7Continuitatea $M\left(\left|f-P\right|\right)$ .

1.11Mulțimea polinoamelor $T_{n}$ .

2.1Diferența $f\left(x\right)-P\left(x\right)$ .

2.2Proprietatea fundamentală a $T_{n}$ polinoame.

2.4Despre distribuția zerourilor lui $T_{n}-T_{n-1}$ polinoame.

2,5Cel/Cea/Cei/Cele $T_{n}$ polinoame pentru funcții de ordin $n$ .

2.8Calculul $T_{n}$ polinom.

2.9Cea mai bună aproximare a $x^{n+1}$ .

3.1Cea mai bună aproximare a $n+2$ puncte.

3.2Determinarea polinomului $E_{n}$ .