DE

Se știe că o matrice oarecare cu elemente dintr-un corp dat, se poate aduce la o formă canonică prin transformări elementare repetate în mod convenabil. Transformările elementare sînt următoarele :
$T_1$$T_1$T_(1)$T_1$ : se schimbă o linie cu altă linie ;
$T_2$$T_2$T_(2)$T_2$ : se înmulțesc elementele unei linii cu un factor și se adună la elementele unei alte linii.

Schimbînd în definițiile precedente cuvîntul "linie" cu cuvîntul ,,coloană", se obțin transformările $T_1^{\prime },T_2^{\prime }$$T_1^{\prime },T_2^{\prime }$T_(1)^('),T_(2)^(')$T_1^{\prime },T_2^{\prime }$.

În particular, dacă matricea este patrată

forma ei canonică este

cu toate elementele, în afară de diagonală, egale cu zero.
Vom numi forma canonică a determinantului $D=|A|$$D=|A|$D=|A|$D=|A|$, determinantul $D^{\ast }=\left|A^{\ast }\right|$$D^{\ast }=\left|A^{\ast }\right|$D^(**)=|A^(**)|$D^{\ast }=\left|A^{\ast }\right|$.

În general avem $D=D^{\ast }$$D=D^{\ast }$D=D^(**)$D=D^{\ast }$ sau $D=-D^{\ast }$$D=-D^{\ast }$D=-D^(**)$D=-D^{\ast }$, de unde rezultă :
$1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)$1^{\circ }$. Dacă $D\ne 0$$D\ne 0$D!=0$D\ne 0$, atunci forma canonică a lui $D$$D$D$D$ este

3 - Studii şi cercetări de matematică

cu toate elementele diagonalei diferite de zero, și reciproc.
$2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)$2^{\circ }$. Dacă $D=0$$D=0$D=0$D=0$, atunci forma canonică a lui $D$$D$D$D$ este

cu cel puțin un element al diagonalei egal cu zero, și reciproc.
În această lucrare vom face aplicații ale formei canonice a unui determinant. Deși am făcut mai multe, ne vom mărgini numai la două și anume :
$1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)$1^{\circ }$. demonstrarea formulei bine cunoscute care leagă determinantul reciproc de un ordin dat al determinantului $D$$D$D$D$, de determinantul $D$$D$D$D$;
$2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)$2^{\circ }$. demonstrarea identităt,ii bine cunoscute a lui Sylvester.
Demonstrațiile ce le vom face se vor baza pe următoarea idee:
Să presurunem că avem de calculat un determinant $\mathrm{\Delta }$$\mathrm{\Delta }$Delta$\mathrm{\Delta }$ care corespunde la un determinant $D$$D$D$D$ oarecare. Dacă se poate pune în evidență un invariant $f(D,\mathrm{\Delta })$$f(D,\mathrm{\Delta })$f(D,Delta)$f(D,\mathrm{\Delta })$ pentru orice transformare elementară $T_1,T_2,T_1^{\prime },T_2^{\prime }$$T_1,T_2,T_1^{\prime },T_2^{\prime }$T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^(')$T_1,T_2,T_1^{\prime },T_2^{\prime }$, atunci vom avea

unde ${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$Delta^(**)${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$ este determinantul care corespunde la forma canonică $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$ a determinantului D. Dacă determinantul ${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$Delta^(**)${\mathrm{\Delta }}^{\ast }$ se calculează direct și ușor din $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$, atunci formula precedentă ne va da pe $\mathrm{\Delta }$$\mathrm{\Delta }$Delta$\mathrm{\Delta }$.

Fie

un determinant oarecare și să considerăm minorii lui de ordinul $j$$j$j$j$.

formaţi cu elementele determinantului $D$$D$D$D$, comune liniilor de rang $i_1,i_2,\dots \dots ,i_j$$i_1,i_2,\dots \dots ,i_j$i_(1),i_(2),dots dots,i_(j)$i_1,i_2,\dots \dots ,i_j$ şi coloanelor de rang $k_1,k_2,\dots ,k_j$$k_1,k_2,\dots ,k_j$k_(1),k_(2),dots,k_(j)$k_1,k_2,\dots ,k_j$. Grupările ( $i_1,i_2,\dots ,i_j$$i_1,i_2,\dots ,i_j$i_(1),i_(2),dots,i_(j)$i_1,i_2,\dots ,i_j$ ), $(k_1,k_2,\dots ,k_j)$$(k_1,k_2,\dots ,k_j)$(k_(1),k_(2),dots,k_(j))$(k_1,k_2,\dots ,k_j)$ se fac cu $j$$j$j$j$ indici dintre indicii $1,2,\dots ,n$$1,2,\dots ,n$1,2,dots,n$1,2,\dots ,n$. Numărul tuturor
minorilor de forma (2) este ${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}^2$${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}^2$((n)/(j))^(2)${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}^2$. Vom aranja aceşti minori într-un determinant ${\mathrm{\Delta }}_j$${\mathrm{\Delta }}_j$Delta_(j)${\mathrm{\Delta }}_j$ cu $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$((n)/(j))$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$ linii și $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$((n)/(j))$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$ coloane în modul următor. Aranjăm toate grupările de $j$$j$j$j$ indici $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j)$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j)$(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j))$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j)$ luați dintre indicii $1,2,\dots ,n$$1,2,\dots ,n$1,2,dots,n$1,2,\dots ,n$ într-un şir $S$$S$S$S$, astfel ca $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j),({\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },\dots ,{\alpha }_j^{\prime })$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j),({\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },\dots ,{\alpha }_j^{\prime })$(alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j)),(alpha_(1)^('),alpha_(2)^('),dots,alpha_(j)^('))$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j),({\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },\dots ,{\alpha }_j^{\prime })$ fiind doi termeni consecutivi ai şirului, să avem ${\alpha }_h\leqq {\alpha }_h^{\prime }$${\alpha }_h\leqq {\alpha }_h^{\prime }$alpha_(h) <= alpha_(h)^(')${\alpha }_h\leqq {\alpha }_h^{\prime }$ pentru $h=1,2,\dots ,j$$h=1,2,\dots ,j$h=1,2,dots,j$h=1,2,\dots ,j$.

Vom forma determinantul ${\mathrm{\Delta }}_j$${\mathrm{\Delta }}_j$Delta_(j)${\mathrm{\Delta }}_j$, făcînd ca grupările ( $i_1,i_2,\dots ,i_j$$i_1,i_2,\dots ,i_j$i_(1),i_(2),dots,i_(j)$i_1,i_2,\dots ,i_j$ ) și $(k_1,k_2,\dots ,k_j)$$(k_1,k_2,\dots ,k_j)$(k_(1),k_(2),dots,k_(j))$(k_1,k_2,\dots ,k_j)$ să parcurgă toți termenii şirului $S$$S$S$S$.

Se notează

determinantul reciproc de ordinul $j$$j$j$j$, al lui $D$$D$D$D$. Acești determinanți au fost considerați pentru prima dată de Cauchy. S-a demonstrat că

Vom da demonstrația acestei formule utilizînd forma canonică a determinantului $D$$D$D$D$.

Purtîndu-ne atenția asupra primelor două linii ale determinantului $D$$D$D$D$, vom scrie determinantul ${\mathrm{\Delta }}_j$${\mathrm{\Delta }}_j$Delta_(j)${\mathrm{\Delta }}_j$ sub forma

în care s -au pus în evidenţă elementele coloanei ( $k_1,k_2,\dots ,k_j$$k_1,k_2,\dots ,k_j$k_(1),k_(2),dots,k_(j)$k_1,k_2,\dots ,k_j$ ).
În primele linii ale determinantului ${\mathrm{\Delta }}_j\mathrm{s}$${\mathrm{\Delta }}_j\mathrm{s}$Delta_(j)s${\mathrm{\Delta }}_j\mathrm{s}$-au pus în evidență liniile cu minorii de ordinul $j$$j$j$j$ ai determinantului $D$$D$D$D$ care conțin prımele două linii ; $(i_3,i_4,\dots ,i_j)$$(i_3,i_4,\dots ,i_j)$(i_(3),i_(4),dots,i_(j))$(i_3,i_4,\dots ,i_j)$ fiind o grupare oarecare cu $j-2$$j-2$j-2$j-2$ indici luați dintre indicii $3,4,\dots ,n$$3,4,\dots ,n$3,4,dots,n$3,4,\dots ,n$, numărul acestor linii este $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-2})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-2})$((n-2)/(j-2))$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-2})$.

In liniile următoare s-au pus în evidenţă minorii din determinantul $D$$D$D$D$, cu $j$$j$j$j$ linii dintre care prima este linia $1-\mathrm{a}$$1-\mathrm{a}$1-a$1-\mathrm{a}$ și apoi linia a $2-\mathrm{a}$$2-\mathrm{a}$2-a$2-\mathrm{a}$ din determinantul $D;(i_2,\dots ,i_j)$$D;(i_2,\dots ,i_j)$D;(i_(2),dots,i_(j))$D;(i_2,\dots ,i_j)$ este o grupare cu $j-1$$j-1$j-1$j-1$ indici luaţi dintre
indicii $(3,4,\dots ,n)$$(3,4,\dots ,n)$(3,4,dots,n)$(3,4,\dots ,n)$, numărul acestor linii $ϵ$$ϵ$epsilon$ϵ$ ste $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-1})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-1})$((n-2)/(j-1))$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-1})$. In fine, în liniile următoare ( $i_1,i_2\dots ,i_j$$i_1,i_2\dots ,i_j$i_(1),i_(2)dots,i_(j)$i_1,i_2\dots ,i_j$ ) este o grupare cu $j$$j$j$j$ indici luați dintre indicii $3,4,\dots ,n$$3,4,\dots ,n$3,4,dots,n$3,4,\dots ,n$. Numărul acestor linii este $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j})$((n-2)/(j))$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j})$. Se verifică uşor că numărul tuturor liniilor este

Dacă în determinantul $D$$D$D$D$ se schimbă linia întîia cu a doua, se obține determinantul

și determinantul reciproc de ordinul $j$$j$j$j$ corespunzător lui $\overline{D}$$\overline{D}$bar(D)$\overline{D}$ este

Ținînd seama că

şi permutînd linia marcată prin $a(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,i_2,\dots ,i_j}{k_1,k_2,\dots ,k_j})$$a(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,i_2,\dots ,i_j}{k_1,k_2,\dots ,k_j})$a((1,i_(2),dots,i_(j))/(k_(1),k_(2),dots,k_(j)))$a(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,i_2,\dots ,i_j}{k_1,k_2,\dots ,k_j})$ cu linia marcată prin $a\left(\begin{array}{ccc}2,& i_2,& \dots ,\\ k_1,& k_2& \dots ,\end{array}\right),{\overline{\mathrm{\Delta }}}_j$$a\left(\begin{array}{ccc}2,& i_2,& \dots ,\\ k_1,& k_2& \dots ,\end{array}\right),{\overline{\mathrm{\Delta }}}_j$a({:[2",",i_(2)",",dots","],[k_(1)",",k_(2),dots","]:}), bar(Delta)_(j)$a\left(\begin{array}{ccc}2,& i_2,& \dots ,\\ k_1,& k_2& \dots ,\end{array}\right),{\overline{\mathrm{\Delta }}}_j$ schimbînd semnul la fiecare permutare, deducem că

deoarece $\overline{{\mathrm{\Delta }}_j}$$\overline{{\mathrm{\Delta }}_j}$bar(Delta_(j))$\overline{{\mathrm{\Delta }}_j}$ schimbă semnu1 de $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-1})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-1})$((n-2)/(j-1))$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j-1})$ ori, se poate scoate -1 factor pe primele $n-2$$n-2$n-2$n-2$ linii şi

Se arată în mod analog că dacă în determinantul $D$$D$D$D$ se schimbă două linii oarecare sau două coloane oarecare, avem formulele

urde s-a notat cu $\overline{D}$$\overline{D}$bar(D)$\overline{D}$ ce devine $D$$D$D$D$ prin schimbarea făcută și apoi prin $\overline{\mathrm{\Delta }}$$\overline{\mathrm{\Delta }}$bar(Delta)$\overline{\mathrm{\Delta }}$, determinartul reciproc de ordinul $j$$j$j$j$ al lui $\overline{D}$$\overline{D}$bar(D)$\overline{D}$.

In determinantul $D$$D$D$D$, să adunăm la clementele liniei 1-a, elementele iniei a $2-$$2-$2-$2-$ a înmulțite cu $\lambda$$\lambda$lambda$\lambda$, adică să considerăm determinantul

Determinantul reciproc de ordinul $j$$j$j$j$ al lui $\bar{\overline{D}}$$\overline{\overline{D}}$bar(bar(D))$\bar{\overline{D}}$ este

Cînd 1 d elementele unei linii oarecare a lui $D$$D$D$D$, se adună elementele altei linii înmulțite cu un număr oarecare, sau la elementele unei coloane oarecare se adună elementele unei alte coloane înmulțite cu un număr oarecare, avem formulele

unde s-a notat cu $\bar{\overline{D}}$$\overline{\overline{D}}$bar(bar(D))$\bar{\overline{D}}$ ce devine $D$$D$D$D$ prin transformarea făcută şi apoi prin $\overline{\overline{\mathrm{\Delta }}}$$\overline{\overline{\mathrm{\Delta }}}$bar(bar(Delta))$\overline{\overline{\mathrm{\Delta }}}$, determinantul reciproc de ordinul $j$$j$j$j$ al lui $\bar{\overline{D}}$$\overline{\overline{D}}$bar(bar(D))$\bar{\overline{D}}$.

Fie $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$ determinantul canonic al lui $D$$D$D$D$ şi ${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }$${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }$Delta_(j)^(**)${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }$ determinantul reciproc de ordinul $j$$j$j$j$ al lui $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$.

Deoarece determinantul $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$ se obţine din $D$$D$D$D$ prin transformările $T_1$$T_1$T_(1)$T_1$, $T_2,T_1^{\prime },T_2^{\prime }$$T_2,T_1^{\prime },T_2^{\prime }$T_(2),T_(1)^('),T_(2)^(')$T_2,T_1^{\prime },T_2^{\prime }$ convenabil repetate şi avem formulele (4), (5), determinantul ${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }$${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }$Delta_(j)^(**)${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }$ va fi egal cu ${\mathrm{\Delta }}_j$${\mathrm{\Delta }}_j$Delta_(j)${\mathrm{\Delta }}_j$ sau va diferi de ${\mathrm{\Delta }}_j$${\mathrm{\Delta }}_j$Delta_(j)${\mathrm{\Delta }}_j$ prin semn.

Dacă $D=0$$D=0$D=0$D=0$, în forma canonică $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$ va exista cel puțin un zero pe diagonala principală, iar ${\mathrm{\Delta }}_{\stackrel{⃛}{j}}^{\mathcal{j}}$${\mathrm{\Delta }}_{\stackrel{⃛}{j}}^{\mathcal{j}}$Delta_(j^(⃛))^(j)${\mathrm{\Delta }}_{\stackrel{⃛}{j}}^{\mathcal{j}}$ va avea de asemenea cel puțin un element zero pe diagonala principală, adică vom avea ${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }=0$${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }=0$Delta_(j)^(**)=0${\mathrm{\Delta }}_j^{\ast }=0$. Se deduce prin urmare că dacă $D=0$$D=0$D=0$D=0$, atunci vom avea și ${\mathrm{\Delta }}_j=0$${\mathrm{\Delta }}_j=0$Delta_(j)=0${\mathrm{\Delta }}_j=0$.

Dacă $D\ne 0$$D\ne 0$D!=0$D\ne 0$, forma lui canonică este

Determinantul ${\mathrm{\Delta }}_3^{\stackrel{⃛}{j}}$${\mathrm{\Delta }}_3^{\stackrel{⃛}{j}}$Delta_(3)^(j^(⃛))${\mathrm{\Delta }}_3^{\stackrel{⃛}{j}}$, corespunzător 1ui $D^{\ast }$$D^{\ast }$D^(**)$D^{\ast }$, este