ASUPRA RESTULUI IN UNELE FORMULE LINIARE DE APROXIMARE ALE ANALIZEI

de
TIBERIU POPOVICIU
(Cluj)

Multe din formulele de aproximare ale analizei sînt de forma

A[f]\approx B[f],\text{ sau }A[f]=B[f]+R[f],

(*)

unde $A[f],B[f]$ sint functionale liniare definite pe o mulțime vectorială de functii reale și continue de o variabilă reală și al căror rest $R[f]=A[f]--B[f]$ se anulează pe $n+1$ funcții date $f_{i},i=0,1,\ldots,n$ . Restul $R[f]$ este de asemenea o funcţională liniară şi se anulează pe orice combinație liniară a funcțiilor $f_{i}$ .

Nu vom considera decit funcționale reale şi prin o funcțională liniară vom înţelege o funcțională aditivă şi omogenă.

Formulele obişutite de interpolare (polinomială sau trigonometrică), de derivare și de integrare numerică etc. sînt de forma precedentă.

In aplicatii este important de a se putea delimita în mod convenabil restul. Pentru aceasta, cel puțin în anumite cazuri particulare bine determinate, s-a căutat să se pună restul sub diverse forme convenabile. De ex., s-a obtinut $R[f]$ sub forma unei combinatii liniare date, de una sau mai multe valori ale uneia sau mai multor derivate de anumite ordine ale functiei $f$ . De asemenea s-a exprimat restul sub formă de integrală definită. Este suficient să cităm formula lui Taylor care dă o aproximare a valorii functiei $f$ pentru o valoare dată a lui $x$ si al cărei rest este dat de bine cunoscuta formulă a lui Lagrange sau prin o bine cunoscută reprezentare integrală [4].

S-au făcut multe cercetări asupræ restului. Ne vom multumi să cităm lucrările lui A. A. Markov [6]. G. D. Birkhoff [1], G. Kowalewski [5], R. v. Mises [7], J. Radon [21], E. Ya. Remez [22], A. Sard [23].

⁰⁰footnotetext: *) Această lucrare se publică şi în limba franceză în revista „Mathematica" vol. 1 (24), fascicola 1.

În această lucrare vom pune în evidență o altă expresie a restului, care este mai generală, în sensul că, în general, ea nu necesită existența derivatelor, altele decât acelea care intervin efectiv în formula $(*)$ .

Forma nouă pe care o dăm restului face să iasă mai bine în evidență structura lui. Am obținut acest rezultat cu ajutorul teoriei funcțiilor convexe de ordin superior, pe care le-am studiat altă dată [12, 13].

Sub o anumită ipoteză particulară făcută asupra funcțiilor $f_{i}$ , caz care totuși cuprinde un vast câmp de aplicații, expresia pe care o găsim pentru rest este strâns legată de anumite formule de medie.

Vom face câteva considerații asupra acestor formule de medie și vom regăsi astfel o parte a rezultatelor lui D. V. Widder [28].

În acest caz este ușor să se deducă restul exprimat ca o combinație liniară de derivate, dacă, bineînțeles, aceste derivate există.

Am obtinut unele din aceste rezultate [16] în cazul particular cînd functjile $f_{i}$ se reduc la puterile succesive $x^{i},i=0,1,\ldots,n$ ale lui $x$ , deci în cazul cînd restul se anulează pentru orice polinom de gradul $n$ . In cazul acesta am dat de asemenea aplicatii la anumite formule de derivare [17] și de integrare [19] numerică.

Această lucrare este împărtită în 4 părți. În § 1 studiem noua expresie a restului în cazul cînd ea are forma pe care noi convenim a o numi simplă. In § 2 studiem formulele de medie pe care le-am semnalat. In § 3 dăm exemple pentru anumite criterii care permit să se decidă dacă restul este sau nu de formă simplă. În fine, in § 4 spunem cîteva cuvinte asupra cazului cînd restul nu este de formă simplă și încheiem acest paragraf printr-o aplicație. Rezultatele $\S\xi 3,4$ ne arată, pe de o parte, legătura lor cu alte rezultate cunoscute, în particular cu rezultatele lui E . Ya R e mez [22] şi, pe de altă parte, gradul de generalitate a expresiei obtinută pentru rest.

§ 1.

1.

Toate funcţiile considerate în această lucrare vor fi presupuse reale și de o variabilă reală. Vom nota cu $E$ mulțimea de definiție a funcției sau mulţimea de definiție a funcţiilor considerate simultan. Vom preciza totdeauna, dacă este necesar, structura lui $E$ .

Notăm cu

V\left(\begin{array}[]{ll}g_{1},&g_{2},\ldots,g_{m}\\ x_{1},&x_{2},\ldots,x_{m}\end{array}\right)=\left|g_{j}\left(x_{i}\right)\right|_{i,j=1,2,\ldots,m}

determinantul valorilor funcțiilor

g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}

(2)

pe punctele $x_{i}\in E,i=1,2,\ldots,m$ . În determinantul (1), $g_{j}\left(x_{i}\right)$ este elementul din linia a $i$ -a și coloana a $j$ -a.

Determinantul este evident nul dacă punctele $x_{i}$ sau dacă functiile (2) nu sînt distincte.

Vom păstra notația (1) numai pentru cazul cînd punctele $x_{i}$ sînt distincte. In cazul contrar vom modifica convenabil definitia determinantului (1). Această modificare constă în înlocuirea liniilor corespunzătoare fiecărui grup de puncte $x_{i}$ confundate prin linii formate din valorile functiilor (2) și ale derivatelor lor succesive pe aceste puncte. Mai precis, fie $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ punctele distincte cu care coincid respectiv $k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\geqq 1,k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=m\right)$ dintre punctele $x_{i}$ . Atunci, pentru fiecare $i=1,2,\ldots,p$ , există exact $k_{i}$ linii formate din valorile functiilor (2) și ale primelor lor $k_{i}-1$ derivate pe punctul $z_{i}$ . Aceasta implică, bine înțeles, existența derivatelor considerate. Numărul $k_{i}$ este ordinul de multiplicitate al punctului $z_{i}$ .

Ordonînd convenabil punctele $x_{i}$ , putem nota determinantul (1) astfel modificat prin

V(\underbrace{z_{1},z_{1},\ldots,z_{1}}_{k_{1}},\underbrace{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}_{k_{2}}z_{2},z_{2},\ldots,z_{2},\ldots,\underbrace{z_{p},z_{p},\ldots,z_{p}}_{k_{p}}),

(3)

care este de ordinul $m=k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}$ si in care $g_{s}^{(r-1)}\left(z_{i}\right)$ este elementul din a $\left(k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}+r\right)$ -a linie şi a $s$ -a coloană, $v=1,2,\ldots,k_{i},i=1,2,\ldots,p\left(k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}\right.$ este înlocuit cu 0 dacă $i=1$ ).

Subliniem următoarele cazuri particulare
$1^{\circ}$ . Dacă $g_{i}=x^{i-1},i=1,2,\ldots,m$ , vom nota determinantul (1) cu $V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$ . Acesta este determinantul lui Vandermonde al numere1or $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ si avem

V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)\stackrel{{\scriptstyle 1,2,\ldots,m}}{{=}}\prod_{i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right),\quad\left(V\left(x_{1}\right)=1\right)

(4)

Tot in acest caz determinantul (3) se va nota cu
$V(\underbrace{z_{1},z_{1},\ldots,z_{1}}_{k_{1}},\underbrace{z_{2},\ldots,z_{2}}_{k_{2}},\ldots,\underbrace{z_{p},z_{p},\ldots,z_{p}}_{k_{p}})$ unde presupunem că punctele $z_{i},i=1,2,\ldots,p$ , sint distincte.
$2^{\circ}$ . In cazul cînd toate punctele $x_{i}$ coincid cu $x$ , notăm determinantul (1) modificat cu $W\left(g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}\right)$ . Acesta este wronskianul functiilor (2). Avem deci

V(\underbrace{x,x,\ldots,x}_{m})=W\left(1,x,x^{2},\ldots,x^{m-1}\right)=(m-1)!!

unde am pus $\alpha!!=1!2!\ldots\alpha!(0!!=1)$ .
2. Putem obtine determinantul (3) și prin o trecere 1a limită dacă toate derivatele care intervin sînt continue pe $E$ , sau cel puţin în vecinătatea punctelor $z_{i}$ .

Fie $m$ puncte distincte $x_{j}^{(i)},j=1,2,\ldots,k_{i},i=1,2,\ldots,p$ şi să formăm determinantul $D$ de ordinul $m$ al cărui element din a $\left(k_{1}+k_{2}+\right.\left.+\ldots+k_{i-1}+\gamma\right)-a$ linie şi a $s-a$ coloană este diferența divizată (obişnuită) de ordinul $r-1,\left[x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},\ldots,x_{r}^{(i)};g_{s}\right],r=1,2,\ldots,k_{i},s==1,2,\ldots,m$ . Dacă observăm că această diferență divizată tinde către $\frac{1}{(r-1)!}g_{s}^{(r-1)}\left(z_{i}\right)$ cînd punctele $x_{j}^{(i)},j=1,2,\ldots,r$ tind către $z_{i}$ , vedem că determinantul $D$ tinde către determinantul (3) împărţit cu $\prod_{i=1}^{n}\left(k_{i}-1\right)$ ! !, cînd $x_{j}^{(i)}\rightarrow z_{i},j=1,2,\ldots,k_{i},i=1,2,\ldots,p$ . In fine, dacă înmulţim determinantul $D$ prin produsul

\prod_{i=1}^{p}V\left(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},\ldots,x_{k_{i}}^{(i)}\right)

(5)

și clacă facem cîteva operaţii elementare asupra liniilor, obținem determinantul

V\binom{g_{1},g_{2},\ldots\ldots,g_{n}}{x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\ldots,x_{k_{1}}^{(1)},x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},\ldots,x_{k_{2}}^{(2)},\ldots,x_{1}^{(p)},x_{2}^{(p)},\ldots,x_{k_{p}}^{(p)}}.

(6)

Rezultă că determinantul (3) se obține îmmulțind pe (6) cu $\left(k_{i}-1\right)$ ! !, împărțindu-1 cu (5) şi facînd apoi punctele $x_{j}^{(i)}$ să tindă către $z_{i}$ pentru $j=1,2,\ldots,k_{i},\quad i=1,2,\ldots,p$ .

Se poate generaliza procedeul de trecere la limită prin care s-a obtinut determinantul (3) plecind de la determinantul (1). Si anume se poate obține în acelaşi fel un determinant de forma (3) plecînd de la determinanți de aceeaşi formă. Nu insistăm asupra acestei generalizări deoarece ea nu va fi folosită în cele ce urmează.

Ca o primă aplicație găsim formula

	$\displaystyle V(\underbrace{z_{1},z_{1},\ldots,z_{1}}_{k_{1}},\underbrace{z_{2},z_{2},\ldots,z_{2}}_{k_{2}},\ldots,\underbrace{z_{p},z_{p},\ldots,z_{p}}_{k_{p}})=$
	$\displaystyle=\left[\prod_{i=1}^{p}\left(k_{i}-1\right)!!\right]^{1,2,\ldots,p}\left(\bar{z}_{j}-z_{i}\right)^{k_{i}k_{j}}$		(7)

Avem, pe baza tunei formule bine cunoscute (vezi, de ex., I. V. Go nciarov [3]),

	$\displaystyle V\binom{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\ldots,\cos mx,\sin mx}{x_{1},x_{2},\ldots\ldots,x_{2m+1}}=$
	$\displaystyle=2^{-m\prod_{i<j}^{1,2,\ldots 2m+1}}\left(2\sin\frac{x_{j}-x_{i}}{2}\right)$		(8)

din care rezultă şi

	$\displaystyle V\binom{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\ldots,\cos mx,\sin mx}{z_{1},z_{1},\ldots,z_{1},\underbrace{z_{2},z_{2},\ldots,z_{2}}_{k_{1}},\ldots,\underbrace{z_{p},z_{p},\ldots,z_{p}}_{k_{2}}}=$		(9)
	$\displaystyle=2^{-m}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(k_{i}-1\right)!!\right]_{i<j}^{1,2,\ldots,p}\left(2\sin\frac{z_{j}-z_{i}}{2}\right)^{k_{i}k_{j}},\left(k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=2m+1\right)$

Dacă în cele ce urmează se consideră un determinant (1) cu punctele $\dot{x}_{i}$ nu toate distincte, îlvom considera modificat în felul explicat mai sus.
3. Dacă printre punctele $x_{i}$ , pe care este definit determinantul (1) sau determinantul modificat ( 3 ), există unul care are ordinul de multiplicitate $k$ respectiv un ordin de multiplicitate $\leqq k$ , vom zice că acest punct se repetă de $k$ , ori respectiv se repetă cel mult de $k$ ori.

Definiția 1. - Vom zice că funcțile (2) formează un sistem de interpolare sau un sistem (I) pe mulțimea $E$ (avind cel puțin m puncte) dacă. avem

V\left(\begin{array}[]{lll}g_{1},&g_{2},&\ldots,\\ x_{1},&x_{2},&\ldots,\end{array}x_{m}\right)\neq 0

pentru orice grup de $m$ puncte distincte $x_{i}\in E,i=1,2,\ldots,m$ .
Proprietatea de a forma un sistem (I) pe $E$ , pentru functiile (2), este mai restrictivă decît proprietatea de liniar-independenţă a lor (pe $E$ ). Cu alte cuvinte, orice sistem (I) este format din functii liniar indepedente dar nu orice sistem de funcții liniar independente formează un sistem (I).

Prezintă de asemenea interes completarea definiției 1 prin
Definiția 2. - Vom zice că funcțiile (2) formează un sistem (I) regulat de ordin $k(1\leqq k\leqq m)$ pe $E$ dacă avem (10) pentru orice grup de $m$ puncte $x_{i}\in E,i=1,2,\ldots,m$ , fiecare repetîndu-se cel mult de $k$ ori.

Dacă $k=m$ , vom zice că funcțiile (2) formează un sistem (I) complei regulat (pe $E$ ).

Regularitatea de ordinul $k$ însemnează deci că determinantul (3) este $\neq 0$ dacă $z_{i}\in E,1\leqq k_{i}\leqq k,i=1,2,\ldots,p,k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=m$ , punctele $z_{i}$ fiind distincte.

In definiţia 2 presupunem totdeauna că dacă $k>1$ , derivatele de ordinul $k-1$ ale functiilor (2) sint continue pe $E$ . In felu1 acesta regularitatea de ordinul $k>1$ implică continuitatea pe $E$ a derivatelor de ordinul $k-1$ ale funcţiilor (2). Ipoteza făcută anterior face să evităm orice dificultate. Aceasta este evident o restricție însă, după T. J. Stieltjes [26], ea asigură valabilitatea trecerii la limită de la nr. 2.

Se poate evident defini determinantul modificat ( 3 ), admițind condiții de derivabilitate mai generale, de unde rezultă de asemenea o noțiune mai generală de regularitate, dar atunci proprietățile de trecere la limită sînt mai complicate. Vom lăsa sistematic la o parte asemenea generalizări.

Mulţimea $E$ poate să fie oarecare. În cele ce urmează mulțimea $E$ va fi, în general, un interval. Atunci noţiunea de derivată este cea cunoscută din analiza elementară.

Este clar că regularitatea de ordinul $k$ implică regularitatea de orice ordin mai mic și că regularitatea completă implică regularitatea de orice ordin $\leqq m$ . In particular, noțiunile de sistem (I), și de sistem (I) regulat de ordinul 1 sînt echivalente.

În fine, regularitatea de ordinul $k$ este echivalentă cu una din proprietățile următoare :
$1^{\circ}$ . Pentru orice grup de $m$ puncte (numărate cu ordinele lor de multiplicitate) $z_{i}\in E$ , respectiv de ordinele $k_{i}$ de multiplicitate, $i=1,2,\ldots,p$ , $k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=m$ si pentru orice grup de $m$ numere $y_{i}^{()},j==0,1,\ldots,k_{i}-1,i=1,2,\ldots,p$ , există o combinaţie liniară a funcţiilor (2) și una singură $\varphi(x)$ pentru care $\varphi^{(f)}\left(z_{i}\right)=y_{i}^{(f)},j=0,1,\ldots,k_{i}-1$ , $i=1,2,\ldots,p$ .

Dacă $f$ este o funcţie astfel ca $y_{i}^{(j)}=f^{(j)}\left(z_{i}\right),j=0,1,\ldots,k_{i}-1$ , $i=1,2,\ldots,p$ , vom nota această combinație liniară şi cu

L(f\mid x)=L(\underbrace{z_{1},z_{1},\ldots,z_{1}}_{k_{1}},z_{2,}\underbrace{}_{k_{2}},z_{2},\ldots,z_{2},\ldots,z_{k_{p}},z_{p},\ldots,z_{p};f\mid x).

(11)

Dacă functiile (2) formează un sistem (I) regulat de ordinul $k$ şi dacă $k_{i}\leqq k,i=1,2,\ldots,p$ , combinaţia liniară (11) este bine determinată (și unică).

Este clar că dacă $f$ se reduce la o combinație liniară a funcţiilor (2) și dacă condiţia precedentă este verificată, avem $L(f\mid x)=f$ .
$2^{\circ}$ . O combinație liniară a funcţiilor (2) nu se poate anula pe $m$ puncte, dintre care fiecare se repetă cel mult de $k$ ori, fără să fie identic nulă.

Se zice că o funcţie se anulează de $k$ ori pe un punct, dacă această functie și primele sale $k-1$ derivate sînt nule pe acest punct.

Formula (7) ne arată că funcțiile $x^{i},i=0,1,\ldots,m-1$ , formează un sistem (I) complet regulat pentru orice număr natural $m$ şi pe o mulțime oarecare $E$ .

De asemenea formula (9) ne arată că funcțiile $1,\cos ix,\sin ix,i==1,2,\ldots,m$ , formează un sistem (I) complet regulat, pentru orice număr natural $m$ și pe orice interval care nu conține un subinterval închis de lungime $2\pi$ , deci, în particular pe intervalul $[0,2\pi$ ), închis la stînga şi deschis la dreapta.
4. Dacă functiile (2) sînt continue, putem găsi rezultate mai complete. Astfel, avem
teorema 1. - Dacă functiile (2) : $1^{\circ}$ . sînt continue pe intervalul $E$ , $2^{\circ}$ . formează un sistem (I) regulat de ordinul $k$ pe $E$ ,
determinantul (1) nu schimbă de semn, cît timp punctele $x_{i}$ , dintre care fiecare se repetă cel mult de $k$ ori, nu schimbă ordinea lor de mărime relativă (de ex., atît timp cît funcţiile $g_{i}$ rămîn în ordinea indicată de șirul (2) iar punctele $x_{i}$ rămîn în ordinea crescătoare a indicilor lor, $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ ).

In conformitate cu definitiile precedente, pentru $k>1$ (dar nu pentru $k=$ 1) condiţia $2^{\circ}$ a enunțului implică continuitatea funcţiilor (2).

Să presupunem întîi că $k=1$ . Pentru demonstrație, să presupunem contrariul. Putem găsi atunci punctele

x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{m}^{\prime},x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<\ldots<x_{m}^{\prime\prime}

(12)

astfel ca să avem

V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}}>0,\quad V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m}^{\prime\prime}}<0.

(13)

Punctele

x_{i}=\lambda x_{i}^{\prime\prime}+(1-\lambda)x_{i}^{\prime},\quad i=1,2,\ldots,m

(14)

rămîn distincte pentru $0\leqq\lambda\leqq 1$ și determinantul (1) este o funcţie de $\lambda$ perfect determinată și continuă pe $[0,1]$ .

O proprietate bine cunoscută a funcţiilor continue ne arată că există un $\lambda,0<\lambda<1$ astfel ca determinantul (1), unde punctele $x_{i}$ sînt date de (14), să fie egal cu zero. Aceasta este în contradicție cu ipoteza că funcțiile (2) formează un sistem (I).

Să mai observăm că din (12) rezultă că, pentru $0\leqq\lambda\leqq 1$ , punctele (14) verifică de asemenea inegalităţile $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ rămînînd într-un interval de lungime $\leqq\max\left(x_{m}^{\prime}-x_{1}^{\prime},x_{m}^{\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime}\right)$ . Dacă în plus $0<\lambda<1$ şi $x_{1}^{\prime}\neq x_{1}^{\prime\prime},x_{m}^{\prime}\neq x_{m}^{\prime\prime}$ , punctele $x_{i}$ sînt în interiorul celui mai mic interval care contine punctele $x_{i}^{\prime},x_{i}^{\prime\prime}$ .

Să presupunem acum $k>1$ . Pentru demonstraţie, să presupunem iarăşi contrariul. Putem atunci găsi punctele $u_{1}\leqq u_{2}\leqq\ldots\leqq u_{m}$ , dintre care fiecare se repetă cel mult de $k$ ori și punctele $v_{1}\leqq v_{2}\leqq\ldots\leqq v_{m}$ , dintre care de asemenea fiecare se repetă cel mult de $k$ ori, astfel ca

V\binom{\dot{g}_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{u_{1},u_{2},\ldots,u_{m}}>0,\quad V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{v_{1},v_{2},\ldots,v_{m}}<0.

(15)

Putem atunci găsi punctele variabile (12), tinzînd respectiv la punctele $u_{i}$ și $v_{i}$ , astfel ca produsul determinanților (13), prin nişte funcţii care tămîn pozitive, să tindă către determinanții (15) respectivi. Rezultă că si de data aceasta este posibil să găsim punctele (12) astfel ca să avem (13). Demonstratia revine deci la aceea a cazului precedent.

Teorema 1 este deci complet demonstrată.
5. Combinația liniară (11) se poate scrie

L(f\mid x)=f(x)-\frac{V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m},f}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{m},x}}{V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}}}

(16)

unde $x_{i}$ sint punctele $z_{i}$ , cu ordinele lor de multiplicitate, într-o ordine oarecare. Formula (16) are un sens precis dacă $x$ nu coincide cu unul din punctele $x_{i}$ . În cazul contrar convenim să înlocuim al doilea termen al membrului al doilea prin zero. Această convenție este necesară pentru a evita confuziile cu definiția determinantului (1) în cazul cînd punctele $x_{i}$ nu sînt toate distincte.

Din formula (16) rezultă

L(f\mid x)-L(g\mid x)=f(x)-g(x)-\frac{V\binom{g_{1},g_{1},\ldots,g_{m},f-g}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{m},x}}{V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}}}

In particular, dacă punctele $x_{i}$ sînt distincte şi funcţiile (2) sînt continue, deducem inegalitatea

|L(f\mid x)-L(g\mid x)|\leqq M\max_{i=1,2,\ldots,m}\left(\left|f\left(x_{i}\right)-g\left(x_{i}\right)\right|\right)

(17)

unde $M(>0)$ este maximul, în cel mai mic interval închis care contine punctele $x_{i}$ , al functiei continue

\frac{\sum_{i=1}^{m}\left|V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1},\ldots,x_{m},x}\right|}{\left|V\binom{g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}}\right|}

unde determinanții care intervin (la numărător) sînt definiți de membrul al doilea al formulei (1).

Putem uşor generaliza acest rezultat în cazul cînd punctele $x_{i}$ nu sînt distincte.

Deducem atunci
teorema 2. - Dacă : $1^{\circ}$ . funcțile (2) sînt continue și formează un sistem (I) pe intervalul $E,2^{\circ}$ . combinația liniară $\varphi$ a acestor functii se anulează pe $m-1$ puncte distincte $x_{i},i=1,2,\ldots,m-1$ , fără să fie identic nulă pe $E$ ,
funcția $\varphi$ (este continuă şi) schimbă de semn trecînd printr-un punct $x_{i}$ (care nu coincide cu o extremitate a lui $E$ ).

Se presupune, bineînteles, $m>1$ .
Această proprietate este bine cunoscută. Pentru a fi complet, vom da demonstrația ei.

Să presupunem că, contrar enunțului, $\varphi$ nu schimbă de semn trecînd prin punctal $x_{1}$ , care nu coincide cu unul din extremitătile lui $E$ . Putem atunci găsi punctele $x_{1}^{\prime},x_{1}^{\prime\prime}$ astfel $\mathrm{ca}:1^{\circ}.x_{1}^{\prime}<x_{1}<x_{1}^{\prime\prime},2^{\circ}$ , nici unul din punctele $x_{i},i=2,3,\ldots,m-1\mathrm{nu}$ apartine intervalului închis $\left[x_{1}^{\prime},x_{1}^{\prime\prime}\right]$ , $3^{\circ}.\varphi\left(x_{1}^{\prime}\right)\varphi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)>0$ . Să considerăm inegalitatea (17) relativă la punctele $x_{1}^{\prime},x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-1}$ , la funcţia $\varphi$ și la combinatia liniară $\varphi_{1}$ a functiilor
(2) care ia aceleaşi valori ca și $\varphi$ pe punctele $x_{1}^{\prime},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n-1}$ și pentru care $\varphi_{1}\left(x_{1}\right)=-\varepsilon\operatorname{sg}\varphi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)$ , uncle $\varepsilon$ este un număr pozitiv $<\frac{1}{2M}\left|\varphi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)\right|$ . Avem atunci

\left|\varphi_{1}\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)-\varphi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)\right|=\left|L\left(\varphi_{1}\mid x_{1}^{\prime\prime}\right)-L\left(\varphi\mid x_{1}^{\prime\prime}\right)\right|\leqq M\varepsilon<\frac{\left|\varphi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)\right|}{2}

Rezultă că sg $\varphi_{1}\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)=\operatorname{sg}\varphi\left(x_{1}^{\prime\prime}\right)$ .
Se vede acum că $\varphi_{1}$ , fără a fi identic nu1l, se anulează pe punctele $x_{2},x_{3},\ldots,x_{m-1}$ și încă cel puțin o dată pe fiecare din intervalele deschise $\left(x_{1}^{\prime},x_{1}\right),\left(x_{1},x_{1}^{\prime\prime}\right)$ . Aceasta este $\hat{in}$ contradicție cu faptul că funcțiile (2) formează un sistem (I).

Teorema 2 este demonstrată.
6. Să presupunem că cele $n+2$ funcții

f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}

(18)

sînt definite și formează un sistem (I) pe $E$ . Se vede uşor că atunci primele $n+1$ dintre aceste funcţii

f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}

(19)

sint liniar independente pe $E$ .
Zicem [13] că funcţia $f$ este convexă, respectiv concavă în raport cu şirul (19) de funcții, dacă

V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}}>0\text{ resp. }<0

(20)

pentru orice sistem $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$ de $n+2$ puncte ale lui $E$ .
Dacă functia $f$ este convexă sau concavă în raport cu şirul (19), termenii șirului împreună cu această funcție formează un sistem (I) (pe $E$ ). Reciproc, dacă funcțiile (18) sînt continue și formează un sistem (I), funcția $f_{n+1}$ și, în general, una oarecare dintre aceste funcţii, este convexă sau concavă în raport cu orice şir format cu celelalte $n+1$ funcţii.

În cele ce urmează vom presupune că numărul întreg $n$ este $\geqq 0$ .
Se poate da un sens definiției precedente și în cazul $n=-1$ . Atunci sirul (19) dispare și convexitatea, respectiv concavitatea funcţiei $f$ revine la pozitivitatea respectiv negativitatea ei pe $E$ .

Noțiunea de convexitate astfel întrodusă generalizează aceea de convexitate de ordin superior (de ordinul $n$ ) [12], care se obtine în cazul particular

f_{i}=x^{i},\quad i=0,1,\ldots,n

(21)

În acest caz funcţia

f_{n+1}=x^{n+1}

(

\prime

)

este convexă în raport cu șirul funcțiilor (21), intervalul $E$ fiind oarecare. 10 - Studii $\mathdollar 1$ cercetări de matematică
7. Inegalitățile de definiție (20) nu sînt simetrice faţă de punctele $x_{i}$ și distinctia între convexitate și concavitate depinde de ordinea în care intervin functiile (19). Acesta este motivul pentru care în definiție am subliniat faptul că convexitatea și concavitatea sînt în raport cu şirul şi nu în raport cu multimea funcţiilor (1).

Observăm că dacă $f$ este convexă respectiv concavă, funcţia $-f$ este concavă respectiv convexă. Mulțimea funcţiilor convexe (sau concave) în raport cu şirul (19) rămîne invariabilă sau se schimbă în mulțimea funcțiilor concave (sau convexe) prin o permutare a functiilor (19).

Pentru a înlătura aceste asimetrii întroducem notația

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=V\left(\begin{array}[]{lll}f_{0},&f_{1},&\ldots,\\ x_{1},&x_{2},&\ldots,\end{array}x_{n+2}\right):V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}},

unde presupunem că funcțiile (18) formează un sistem (I) și că punctele $x_{i}$ sînt distincte. Atunci expresia (22) are un sens perfect determinat si este simetrică în raport cu punctele $x_{i}$ . In cazul particular (21), (21’) această expresie se reduce la diferenţa divizată a funcției $f$ pe nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ . Vom continua să întrebuințăm pentru expresia (22) denumirea de diferentă divizată şi pentru punctele $x_{i}$ denumirea de noduri (ale acestei diferențe divizate sau pe care această diferenţă divizată este definită). In notația (22) am omis să punem în evidentă funcțiile (18) deoarece niciodată nu vom întîlni simultan în consideratiile noastre două sisteme (18) diferite.

Diferențele divizate astfel definite se bucură de niște proprietăți care sînt exprimate prin formulele

	$\displaystyle{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\left\{\begin{array}[]{l}0,\quad i=0,1,\ldots,n\\ 1,\quad i=n+1,\end{array}\right.}$		(23)
	$\displaystyle{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};\alpha f+\beta g\right]=\alpha\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]+}$
	$\displaystyle-\mid-\beta\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};g\right]$		(24)

oricare ar fi functiile $f,g$ , constantele $\alpha,\beta$ și punctele distincte $x_{i}\in E$ , $i=1,2,\ldots,n+2$ . Formula (24) exprimă proprietatea de liniaritate a diferentei divizate.
8. Cu ajutorul diferențelor divizate, definiția convexităţii se poate enunța (sub o formă ceva mai precisă) în felul următor :

Definitia 3. - Funcța f este convexă, neconcavă, neconvexă resp. concavă în raport cu funcțiile (19) dacă

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]>0,\geqq 0,\leqq 0,\text{ resp. }<0

(25)

punctele $x_{i}\in E,i=1,2,\ldots,n+2$ fiind distincte și oarecari.
Se vede că definiţia este independentă de ordinea funcţiilor (19) și că distincţia între funcţiile convexe şi funcțiile concave este precizată de alegerea funcției $f_{n+1}$ care este, ipso facto, convexă. Vom vedea mai
jos, la studiul restului $R[f]$ , că întroducerea diferențelor divizate satismuce la exigente care intrec mult simpla dorinţă a noastră de a restabili simetria anumitor formule considerate mai sus.

Convexitatea (concavitatea) este un caz particular al neconcavităţii (neconvexității). Insă pentru ceea ce urmează este util să se facă o distincție netă între funcțiile neconcave (neconvexe) în general și între functiile numai convexe (concave).

Dacă $f$ - este convex respectiv neconcav, $f$ este concav respectiv neconvex și reciproc.

Combinaţia liniară cu toți coeficienții pozitivi respectiv toţi negativi, a unui număr finit (cel puţin 1) de funcții neconcave este neconcavă, respectiv neconvexă. Dacă una cel puțin dintre funcţiile considerate este convexă, combinația liniară considerată este convexă respectiv concavă.

Limita unui șir convergent (pe $E$ ) de funcții neconcave (neconvexe) este o funcție neconcavă (neconvexă).

O funcție $f$ poate să fie în același timp neconcavă și neconvexă. Funcţiile care verifică această proprietate sînt acelea şi numai acelea a căror diferență divizată este nulă pe orice grup de $n+2$ puncte ale lui $E$ . Pentru ca această proprietate să fie verificată este necesar si suficient ca $/$ să se reducă la o combinație liniară a functiilor (19). Condiția este evident suficientă. Dar ea este şi necesară. Într-adevăr, deoarece funcţiile (19) sînt liniar independente, există $n+1$ puncte distincte $x_{i},i=1,2,\ldots,n+1$ , astfel ca $V\left(\begin{array}[]{ll}f_{0},&f_{1},\ldots,f_{n}\\ x_{1},&x_{2},\ldots,x_{n+1}\end{array}\right)\neq 0[20]$ . Avem $V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x}=0$ , pentru $x\in E$ , de unde rezultă proprietatea.

Dintre celelalte proprietăți ale funcţiilor convexe semnalăm
teorema 3. - Dacă : $1^{\circ}$ . funcțiile (18) sînt continue și formează un sistem (I) pe intervalul $E,2^{\circ}$ . functia $/$ este continuă insă nu este nici convexă şi nici concavă pe $E$ ,
se pot găsi $n+2$ puncte distincte $x_{i}\in E,i=1,2,\ldots,n+2$ , astfel ca să avem $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=0$ .

Într-adevăr, dacă funcția nut este nici convexă și nici concavă, atunci ea este sau neconcavă sau neconvexă și atunci proprietatea este evidentă sau se pot găsi două grupe de cîte $n+2$ puncte distincte $x_{i}^{\prime}\in E$ şi $x_{i}^{\prime\prime}\in E$ , $i=1,2,\ldots,n+2$ , astfel ca diferentele divizate

\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};f\right],\left[x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime\prime};f\right]

(26)

să fie diferite de zero şi de semne contrare. Este destul atunci să aplicăm teorema 1, ținînd seamă de formula de definiție (22) a diferențelor divizate.

Deducem de asemenea proprietatea mai generală exprimată de
teorema 4. - Dacă : $1^{\circ}$ . functíle (18) sînt continue şi formează un sistem (I) pe intervalul $E,2^{\circ}$ . functia $f$ este continuă pe $E,3^{\circ}$ . $C$ este un numar cuprins intre valorile $A,B$ ale diferentelor divizate (26),
se pot găsi $n+2$ puncte distincte $x_{i}\in E;i=1,2,\ldots,n+2$ , astfel ca să avem $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=C$ .

Dacă $C$ coincide cu $A$ sau cu $B$ , ceea ce are în mod necesar loc dacă $A=B$ , proprietatea este evidentă. In cazul contrar avem $(A-B)(B-C)<0$ . Ținînd seamă de (23), (24) se verifică ușor că funcția $f-Cf_{n+1}$ nu este nici convexă și nici concavă. Este suficient apoi să aplicăm teorema 3 acestei din urmă funcții.

Din observațiile făcute la demonstrația teoremei 1, rezultă că dacă $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n+2}^{\prime},x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<\ldots<x_{n+2}^{\prime\prime}$ , se pot alege punctele $x_{i}$ , astfel ca să avem $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$ si $x_{n+2}-x_{1}\leqq\max\left(x_{n+2}^{\prime}-x_{1}^{\prime},x_{n+2}^{\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime}\right)$ , iar dacă $(A-C)(B-C)<0$ să avem în plus şi min $\left(x_{1}^{\prime},x_{1}^{\prime\prime}\right)<x_{i}<<\max\left(x_{n+1}^{\prime},x_{n+2}^{\prime\prime}\right),\quad i=1,2,\ldots,n+2$ .
9. Dacă funcțiile (18) formează un sistem (I) regulat de ordinul $k$ , putem lua formula (22) pentru a defini orice diferență divizată ale cărei noduri distincte se repetă cel mult de $k$ ori. Pentru a pune în evidenţă multiplicitatea nodurilor vom nota această diferență divizată și cu

[\underbrace{z_{1},z_{1},\ldots,z_{1}}_{h_{1}},\underbrace{z_{2},z_{2},\ldots,z_{2}}_{h_{2}},\ldots,\underbrace{z_{p},z_{p},\ldots,z_{p}}_{k_{p}};f]

(27)

unde nodurile $z_{i}$ de ordinele de multiplicitate respective $k_{i},i=1,2,\ldots,p$ , sînt distincte.

Rezultatele de 1a nr. 2 ne arată că diferența divizată (27) este limita diferentei divizate

\left[x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\ldots,x_{k_{1}}^{(1)},x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},\ldots,x_{k_{2}}^{(2)},\ldots,x_{1}^{(p)},x_{2}^{(p)},\ldots,x_{k_{p}}^{(p)};f\right]

pe noduri distincte, dacă $x_{j}^{(i)}\rightarrow z_{i},j=1,2,\ldots,k_{i},i=1,2,\ldots,p$ .
În particular, presupunînd că funcțiile (18) formează un sistem (I) complet regulat, avem

[\xi,\xi,\ldots,\xi;f]=\left[\frac{W\left(f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f\right)}{W\left(f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}\right)}\right]_{x=\xi}

(28)

Diferitele proprietăți ale diferențelor divizate definite pe noduri distincte se pot extinde la diferentele divizate pe noduri nu toate distincte, definite în felul arătat mai sus. De exemplu, formulele (23), (24) rămîn evident valabile.

Observăm că dacă functíile (18) formează un sistem (I) complet regulat şi dacă funcțiile (19) sînt soluții (în mod necesar liniar independente) ale ectatiei diferentiale liniare și omogene de ordinul $n\neq 1$ ,

D[y]=y^{(n+1)}+\varphi_{1}(x)y^{(n)}+\ldots+\varphi_{n+1}(x)y=0

avem $W\left(f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f\right)=W\left(f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}\right)D[f]$ şi formula (28) clevine

[\xi,\xi,\ldots,\xi;f]=\left[\frac{D[f]}{D\left[f_{n+1}\right]}\right]_{\begin{subarray}{c}x=-\xi\\ i\end{subarray}}

(29)

Diferența divizată (27) există, pe baza definiției daté, ntmai dacă determinantul $V$ de la numărătorul membrului al doilea al formulei (22) există în sensul de la nr. 2. In cele ce urmează vom presupune că funcția $f$ are toate derivatele care intervin, continue. Cu această ipoteză diferența divizată (27) există în condițiile de mai sus.

Se pot defini diferente divizate mai generale pe noduri nu toate distincte, prin treceri la limită convenabile. Aceste treceri la limită se pot face prin intermediul limitelor diferentelor divizate obişnuite (cele corespunzătoare cazului particular (21), (21’)). De fapt, în acest fel procedăm în această lucrare. Se poate proceda şi direct, fără a trece prin cazul particular (21), (21’). Toate aceste chestiuni sînt într-o strînsă legătură cu definitia și existenta derivatelor directe de ordin superior ale unei funcţii.

Pentru a da un exemplu, să observăm că în cazul particular (21), (21’), cîtul (29) se reduce la $\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)$ şi acest rezultat este valabil, în virtutea convenției noastre, dacă $f$ are o derivată de ordinul $n+1$ continuă, cel puțin pe punctul $\xi$ . Dacă însă pentru primul membru al lui (29) (rămînînd în cazul particular (21), (21’)) adoptăm ca definiție limita diferenței divizate $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},\xi;f\right]$ cînd punctele $x_{i},i=1,2,\ldots,n+1$ tind către $\xi$ , formula (29) rămîne valabilă, asa cum a arătat T. J. Stieltjes [26], numai sub ipoteza existentei derivatei de ordinul $n+1$ a funcţiei pe punctul $\xi$ (funcţia $f$ este presupusă definită și mărginită pe $E$ ).

In cele ce urmează vom lăsa în mod sistematic la o parte asemenea generalizări.
10. Fie $R[f]$ o funcțională liniară, definită pe un spațiu vectorial $\sqrt{f}$ format din functii $f$ continue pe intervalul $E$ .

Presupunem că funcțiile (18) formează un sistem (I) şi aparţin lui (f). In particular deci ele sînt continue pe $E$ .

Dacă funcționala liniară $R[f]$ se anulează pe funcţiile (19), ea este nulă pe orice combinație liniară a acestor funcții. O astfel de funcțională este, de exemplu,

K.\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]

(30)

unde $K$ este un număr independent de funcția $f$ iar $\xi_{i}$ sint $n+2$ puncte distincte ale intervalului $E$ .

Vom introduce acum
Definiția 4. - Vom zice că funclionala liniară $R[f]$ , definită pe $\mathbb{f}$ , este de forma simplă dacă, pentru orice $f\in\mathbb{f}$ , ea este de forma (30), unde $K$ este un număr diferit de zero,-independent de functia $f$ , iar $\xi_{i}$ sint $n+2$ puncte distincte ale lui $E$ (care pot depinde în general de funcția $f$ ).

Avem atunci
TEOREMA 5. - Condiția necesară şi suficientă pentru ca functionala liniară $R[f]$ să fie de forma simplă, este ca să avem $R[f]\neq 0$ pentru orice functie $f(\epsilon)$ convexă in raport cu functiile (19).

Condiția este necesară. Într-adevăr, dacă $R[f]$ este de forma simplă. din (23) rezultă întîi că $R\left[f_{n+1}\right]=K\neq 0$ . Din formula

R[f]=R\left[f_{n+1}\right]\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]

(31)

rezultă apoi că $R[f]\neq 0$ dacă $f$ este convex.
Condiţia este suficientă. Dacă avem $R[f]\neq 0$ pentru orice funcţie convexă, aceeaşi proprietate este adevărată şi pentru orice funcţie concavă. Intr-adevăr, dacă $f$ este concav, funcţia $-f$ este convexă şi avem

R[f]=-R[-f]\neq 0

Fie $f\in\mathbb{F}$ şi să considerăm funcția auxiliară

\varphi=R[f]\cdot f_{n+1}-R\left[f_{n+1}\right]\cdot f

(32)

Avem $\varphi\in\mathbb{F}$ și $R[\varphi]=0$ . Rezultă că $\varphi$ nu este nici convex şi nici concav. In virtutea teoremei 3 se pot găsi $n+2$ puncte distincte $\xi_{i}$ , $i=1,2,\ldots,n+2$ , astfel ca să avem $\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};\varphi\right]=0$ . Tinînd seama de (23), (24), din (32) se deduce formula (31).

Teorema 5 este deci demonstrată.
Dacă $R[f]$ este de forma simplă, el se anulează pe funcțiile (19). Se poate deduce această proprietate direct din faptul că $R[f]\neq 0$ pentru orice funcţie convexă sau concavă. Pentru a demonstra proprietatea, să presupunem contrariul, deci că $R\left[f_{i}\right]\neq 0$ pentru un $i,0\leqq i\leqq n$ . Dacă punem $f=f_{i}$ in (32), obtinem o functie $\varphi$ care este convexă sau concavă. Egalitatea $R[\varphi]=0$ este atunci în contradicţie cu ipoteza.

O demonstrație analoagă ne arată că dacă $R[f]\neq 0$ pentru orice functie convexă, avem mai exact $R\left[f_{n+1}\right]R[f]>0$ pentru aceste functii. Cu alte cuvinte $R[f]$ îşi păstrează semnul, care este semnul lui $R\left[f_{n+1}\right]$ , pentru orice funcție convexă, deci păstrează semnul contrar pentru orice funcţie concavă.

La fel se vede că dacă $R[f]$ este de forma simplă, avem $R\left[f_{n+1}\right]R[f]\geqq 0$ pentru orice funcţie $f$ neconcavă și avem inegalitatea contrară pentru orice funcție neconvexă.

§ 2.

11.

Restul $R[f]$ , în cazul cînd este de formă simplă, se exprimă, prin formula (31), eu o diferenţă divizată. Structura restului depinde deci de structura diferentei divizate (22). Structura acestei diferente divizate este precizată de o importantă teoremă de medie datorită lui D. V. W i d der [28]. Această teoremă are loc sub o ipoteză suplimentară făcută asupra funcţiilor (19), ipoteză pe care o vom semnala mai jos.

Vom regăsi rezultatele lui D. V. Widder pe o cale diferită. Rezultatele noastre, care sînt suficiente pentru studiul restului, sînt puțin mai generale, dar nu permit să se regăsească decît o parte din rezultatele lui D. V. Widder, în cazul particular examinat de acest autor.

Ipoteza suplimentară despre care am vorbit mai sus constă în aceea că functiile (19) formează un sistem (I). Aceasta nu este o consecintă a faptului că funcţiile (18) formează un sistem (I) (a se vedea, de ex., exemplul dat la nr. 16). Pentru a evita orice dificultate, vom presupune în cele ce urmează că funcţiile (18) sînt continue.
12. Vom utiliza formula următoare

	$\displaystyle V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2}}V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f}{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3}}=$
$\displaystyle=$	$\displaystyle V\binom{f_{1},\ldots,f_{n+3}}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3}}V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}}+$
$\displaystyle--V$	$\displaystyle\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+2}}V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3}}.$	(33)

Pentru a demonstra această formulă, să considerăm determinantul de ordinul $2n+3$

\left|a_{r,s}\right|\quad r,s=1,2,\ldots,2n+3

(34)

uncle $a_{r,s}$ este elementul din linia a $r$ -a și coloana a $s$ -a şi unde

		$\displaystyle a_{s,s}=\left\{\begin{array}[]{ll}f_{s-1}\left(x_{r}\right),&r=1,2,\ldots,n+3\\ 0,&r=n+4,n+5,\ldots,2n+3\end{array}\right\}s=2,\ldots,n+2$
		$\displaystyle f_{s-n-3}\left(x_{r}\right),$
		$\displaystyle a_{r,r}=$
		$\displaystyle\begin{array}[]{ll}f_{s-n-3}\left(x_{r-n-2}\right),&r=1,i,n+3\\ f_{s-n-3}\left(x_{r-n-1}\right),&r=n+4,n+i+2,\ldots,n+i+1\\ s=n+3,n+4,\ldots,2n+3\end{array}$

Acest determinant este egal cu zero. Pentru a vedea acest lucru este destul de a-1 transforma, adunînd întîi linia a $(n+2+j)$ -a la a $j$ -a pentru $j=2,3,\ldots,i-1$ şi linia a $(n+1+j)$ -a la a $j$ -a pentru $j=i+1$ , $i+2,\ldots,n+2$ şi pe urmă scăzînd coloana a s-a din a $(n+2+s)$ -a pentru $s=1,2,\ldots,n+1$ . In felul acesta toate elementele situate în ultimele $n+1$ coloane și primele $n+3$ linii devin nule.

Dacă dezvoltăm determinantul (34) după formula lui Laplace după primele $n+2$ coloane, obtinem formula (33).

Formula (33) este valabilă pentru $2\leqq i\leqq n+2$ . Este uşor de văzut cum o putem scrie pentru $i=2$ și pentru $i=n+2$ .

Dacă punctele $x_{i},i=1,2,\ldots,n+3$ sînt distincte, finind seamă de (2), din formula (33) deducem

	$\displaystyle{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3};f\right]=}$
	$\displaystyle=A\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]+B\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]$		(35)

unde, ținînd seamă de faptu1 că funcțiile (19) formează un sistem (I), avem

	$\displaystyle A=\frac{V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3}}V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}}}{V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2}}V\binom{f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3}}}$		(36)
	$\displaystyle B=\frac{V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+2}}V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3}}}{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}}$		(37)
	$\displaystyle V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2}}V\left(\begin{array}[]{c}x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3}\end{array}\right)$

Dacă în (35) punem $f=f_{n+1}$ , găsim $A+B=1$ . Dar dacă $x_{1}<x_{2}<\ldots<<x_{n+3}(1<i<n+3)$ , teorema 1 ne arată că coeficienții $A,B$ , care sînt independenţi de funcția $f$ , sînt pozitivi. Rezultă că dacă $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}(1<i<n+3)$ , diferenta divizată $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3};f\right]$ , este o medie aritmetică generalizată (cu ponderi pozitive) a diferențelor divizate $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right],\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]$ .

În particular, în cazul (21), (21’) regăsim formula mediei diferențelor divizate obişnuite

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+3};f\right]=}\\ =\frac{\left(x_{i}-x_{1}\right)\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]+\left(x_{n+3}-x_{i}\right)\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]}{x_{n+3}-x_{1}}.\end{gathered}

13.

Din formula (35) a mediei deducem proprietatea mai generală exprimată de

TEOREMA 6. - Dacă $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ sint $m\geq n+2$ puncte ale lui $E$ , diferenta divizată $\left[x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};f\right]\quad\left(1=i_{1}<i_{2}<\ldots<\right.\left.<i_{n+2}=m\right)$ pe $n+2$ dintre aceste puncte este o medie aritmetică generalizată (cu ponderi pozitive convenabile) a diferentelor divizate

\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right],\quad i=1,2,\ldots,m-n-1

(38)

pe cîte $n+2$ puncte consecutive din şirul punctelor $x_{i}$ .
Avem deci

\left[x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};t\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}A_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};t\right]

(39)

coeficienții $A_{i}$ fiind pozitivi, independenți de funcția $f$ și de sumă egală cu 1.

Demonstrația nu prezintă nici o dificultate. Ea se poate face exact ca și în cazul particular (21), (21’) [14], prin inducție completă asupra numărului $m$ al punctelor $x_{i}$ . Pozitivitatea coeficienților este o consecință
a acestei demonstratii dacă $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ (și a faptului că $i_{1}=1$ , $i_{n+2}=m$ ).

Pe lîngă ipotezele teoremei 6 se deduc şi inegalitățile

	$\displaystyle\min_{i=1,2,\ldots,m-n-1}$	$\displaystyle\left(\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]\right)\leqq\left[x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};f\right]\leqq$
		$\displaystyle\leqq\max_{i=1,2,\ldots,m-n-1}\left(\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]\right)$		(40)

Ègalită tile nu pot avea loc decît în acelaşi timp și anume dacă şi numai dacă diferentele divizate (38) au o aceeaşi valoare $C$ , deci dacă și numai dacă pentru funcția $f-Cf_{n+1}$ , aceste diferențe divizate sînt toate nule. Stim că pentru aceasta este necesar și suficient ca funcția $f$ să depindă liniar de functiile $f_{i},i=0,1,\ldots,n+1$ pe punctele $x_{i},i=1,2,\ldots,m$ .
14. Rezultatele precedente permit să clemonstrăm, sub aceleaşi ipoteze,

TEOREMA 7. - Dacă functia f este continuă pe intervalul $E$ și dacă $x_{i},i=1,2,\ldots,n+2$ sint $n+2$ puncte distincte ale lui $E$ , putem găsi, in interiorul celui mai mic interval care contine punctele $x_{i}$ , un punct $\xi$ astfel că în orice vecinătate a acestui punct există $n+2$ puncte distincte $x_{i}^{\prime}\in E$ , $i=1,2,\ldots,n+2$ pentru care avem egalitatea

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};f\right]

(41)

Vom demonstra întîi că în (41) putem alege punctele $x_{i}^{\prime}$ în interiorul celui mai mic interval care conține punctele $x_{i}$ si intr-un interval de lungime mai mică decît un număr pozitiv $\varepsilon$ dat oarecare.

Putem de la început să presupunem că $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}(n\geqq 0)$ . İmpărțim fiecare din intervalele $\left[x_{j},x_{j+1}\right],j=1,2,\ldots,n+1$ in $m$ părti egale, $m$ fiind un număr natural $>2$ și care verifică inegalitatea

m>\frac{n+1}{\varepsilon}\max_{i=1,2,\ldots,n+1}\left(x_{j+1}-x_{j}\right).

(42)

Fie $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{(n+1)m+1}$ toate punctele de diviziune astlel obtinute. Avem deci $x_{i}=y_{(i-1)m+1},\quad i=1,2,\ldots,n+2$ și, finind seamă de (42),

	$\displaystyle y_{i+n+1}-y_{i}\leq\frac{n+1}{m}\max_{j=1,2,\ldots,n+1}\left(x_{i+1}-x_{j}\right)<\varepsilon$		(43)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,(n+1)m-n$

Fie $\left[y_{r},y_{r+1},\ldots,y_{r+n+1};f\right]$ una din cele mai mici și $\left[y_{s},y_{s+1},\ldots,y_{s+n+1};/\right]$ una din cele mai mari dintre diferentele divizate $\left[y_{i},y_{i+1},\ldots,y_{i+n+1};f\right]$ , $i=1,2,\ldots,(n+1)m-n$ . Formula (40) ne dă

	$\displaystyle{\left[y_{r},y_{r+1},\ldots,y_{r+n+1};f\right]\leqq\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]\leqq}$
	$\displaystyle\leqq\left[y_{s},y_{s+1},\ldots,y_{s+n+1};f\right]$		(44)

Vom distinge două cazuri :
Cazul 1. Egalităţile nu au loc în (44). Atunci pe baza teoremei 4, pentru

\begin{gathered}\left.A=\left[y_{r},y_{r+1},\ldots,y_{r+n+1};f\right]\quad B=\mid y_{s},y_{s+1},\ldots,y_{s+n+1};f\right]\\ C=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]\end{gathered}

proprietatea rezultă dacă ținem seama de observația făcută cu ocazia demonstrării teoremei 1 și ținînd seamă de (43). Ipotezele teoremei 1 sînt aici satisfăcute.

Cazul 2. Inegalitățile (44) devin ambele nişte egalităţi. Avem atunci $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\left[y_{2},y_{3},\ldots,y_{n+3};f\right]$ , unde $x_{1}<y_{2}<y_{n+3}<x_{n+2}$ şi proprietatea rezultă încă din (43).

Se demonstrează acum uşor existența punctului $\xi$ . Rationamentul precedent ne arată că se pot găsi şirurile de $n+2$ puncte $x_{1}^{(j)}<x_{2}^{(j)}<\ldots<x_{n+2}^{(j)}$ , $j=1,2,\ldots$ astfel că, presupunînd $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$ , să avem

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\left[x_{1}^{(j)},x_{2}^{(j)},\ldots,x_{n+2}^{(j)};f\right]}\\ j=0,1,\ldots;x_{i}^{(0)}=x_{i};i=1,2,\ldots,n+2\end{gathered}

x_{1}^{(j)}<x_{1}^{(j+1)},x_{n+2}^{(j+1)}<x_{n+2}^{(j)},x_{n+2}^{(j+1)}-x_{1}^{(j+1)}\leqq\frac{1}{2}\left(x_{n+2}^{(j)}-x_{1}^{(j)}\right),j=0,1,\ldots

Punctul comun $\xi$ al intervalelor închise $\left[x_{1}^{(j)},x_{n+2}^{(j)}\right],j=1,2,\ldots$ verifică proprietatea căutată.

Se vede că punctul $\xi$ se bucură şi de proprietatea că se pot totdeauna găsi punctele $x_{i}^{\prime}$ astfel ca $\xi$ să fie în interiorul celui mai mic interval care contine aceste puncte (zicem că $\xi$ separă punctele $\left.x_{i}^{\prime}\right)$ .

Proprietatea exprimată de teorema 7 , cel puțin în cazul particular (21), (21’), se datoreşte lui A. Cauchy [2]
15. Putem completa teorema 7, observînd că putem totdeauna alege punctele $x_{i}^{\prime}$ astfel ca ele să fie echidistante. Aplicînd proprietatea funcției $f-\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]f_{n+1}$ , se vede că este suficient să demonstrăm că dacă avem

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};t\right]=0,\quad x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}

(45)

putem găsi $n+2$ puncte echidistante $x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,n+2$ , cuprinse în intervalu1 închis $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ astfel ca să avem (41).

Vom distinge două cazuri :
Cazul 1. Printre diferentele divizate pe noduri echidistante şi cuprinse în [ $x_{1},x_{n+2}$ ], există cel puțin una care este pozitivă și cel puțin una care este negativă. In acest caz proprietatea rezultă deoarece prin procedeul întrebuintat la demonstrarea teoremei l, se poate construi o diferentă divizată pe noduri echidistante și care să fie nulă.

Cazul 2. Toate diferenţele divizate pe noduri echidistante și cuprinse în $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ sînt de același semn. Vom arăta că atunci funcţia $f$ , presupusă
continuă, este neconcavă sau neconvexă pe $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ . Pentru fixarea ideilor, să presupunem că diferentele divizate pe noduri echidistante sînt toate $\geqq 0$ (sau toate $\leqq 0$ ). Din teorema 6 rezultă că toate diferentele divizate pe noduri care se divid rational (rapoartele mutuale ale distanțelor dintre noduri sînt rationale) sînt $\geqq 0$ (sau $\leqq 0$ ). Din continuitatea funcției $f$ rezultă atunci că toate diferențele divizate sînt $\geqq 0$ (sau $\leqq 0$ ). Funcția $f$ este deci neconcavă (sau neconvexă) pe $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ .

Proprietatea căutată rezultă atunci din
L ema 1. - Dacă funcția continuă $f$ este neconcavă pe intervalul $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ si dacă avem (45), toate diferentele divizate ale functiei pe noduri apartinînd lui $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ , sînt nule.

Pentru demonstrare să presupunem că proprietatea nu este adevărată. Există atunci puncte distincte $x_{i}^{\prime}$ astfel ca $\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};f\right]>0$ . Reunirea mulțimilor de puncte $x_{i},x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,m+2$ formează un şir de cel putin $n+3$ si cel mult $2n+4$ puncte distincte ale intervalului $\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ . Aplicînd teorema 6, împreuna cu consecințele ei relative 1 a cazurile cînd egalitatea are loc în (40), succesiv şirurilor parti $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ , se ajunge la o contradictic cu (45).

In fine, dacă tinem seamă de rezultatele lui D. V. W id d e r [28], putem afirma că egalitatea (41) poate fi realizată cu noduri $x_{i}^{\prime}$ echidistante, distanța $\delta$ a două noduri consecutive fiind suficient de mică. In cazul cînd intervalu1 $E\supset\left[x_{1},x_{n+2}\right]$ , teorema de medie a lui D. V. Widder afirmă că se poate realiza rezultatul precedent cu noduri $x_{i}^{\prime}$ echidistante pentru care distanta $\delta$ este mai mică decît un număr fix independent de funcția $f$ .
16. Înainte de a merge mai departe să observăm că teorema 7 poate să nu aibă loc clacă funcţiile (19) nu formează un sistem (I).

Să considerăm funcţiile $f_{i}=x^{i+1}i=0,1,\ldots,n$ pe un interval $E$ care contine punctul 0. Aceste functii nu formează un sistem (I). Funcția $f_{n+1}=1$ este convexă sau concavă (convexă dacă $n$ este impar şi concavă dacă $n$ este par), în sensul definiției nesimetrice a convexității. Avem $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};x^{n+2}\right]=(-1)^{n+2}x_{1}x_{2},\ldots,x_{n+2}$ . Dacă deci pentru funcţia continuă $x^{n+2}$ avem egalitatea (41), unde unul dintre punctele $x_{i}$ coincide cu 0 , unul din punctele $x_{i}^{\prime}$ va coincide în mod necesar cu 0 . Rezultă ușor că teorema 7 nu se aplică.
17. Rezultatele acestui § se pot extinde și la cazul cînd nodurile nu sînt distincte.

Să presupunem că nu numai funcțille (18) dar și funcțiile (19) formează un sistem (I) regulat de ordinul $k$ .

Teorema 6 se poate extinde la cazul cînd punctele $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}(m\geq n+2)$ nu sînt toate distincte si acelaşi punct se repeta cel mult de $k$ ori. Pentru cele ce urmează va fi destul să ne ocupăm de extensiunea formulei (35) şi vom arăta că această formulă rămîne valabilă dacă
$x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{n+3}$ , acelaşi punct repetindu-se cel mult de $k$ ori. Mai mult încă, coeficientii respectivi $A,B$ , de sumă egală cu 1 , rămîn independenți de funcţia $f$ și sint pozitivi dacă $x_{1}<x_{i}<x_{n+3}$ (ceea ce implică $1<i<n+3$ )

Formula căutată se scrie unde putem presupune $p\geqq 3$ şi avem $k_{r}^{\prime}=k_{r}^{\prime\prime}=k_{r}^{\prime\prime\prime}=k_{r},r=2,3,\ldots j-1,j+1,\ldots,p-1,2\leqq j\leqq p-1\quad($ dacă $p>3),\quad k_{1}^{\prime}=k_{1}^{\prime\prime}=k_{1}k_{j}^{\prime\prime}=k_{j}^{\prime\prime\prime}=k_{j},\quad k_{p}^{\prime}=k_{p}^{\prime\prime\prime}=k_{p},\quad k_{1}^{\prime\prime\prime}=k_{1}-1,\quad k_{j}^{\prime}=k_{j}-1,k_{p}^{\prime\prime}=k_{p}-1$ ; $1\leqq k_{r}\leqq k,r=1,2,\ldots,p,k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=n+3$ .

Această formulă se obține din formulele (35) - (37), presupunînd $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}$ şi făcînd

	$\displaystyle x_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{r-1}+s}=x_{s}^{(r)}\rightarrow z_{r},\quad s=1,2,\ldots,k_{r}\left(k_{0}=0\right)$		(47)
	$\displaystyle\gamma=1,2,\ldots,p$
	$\displaystyle z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{p},\quad i=k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}$

Se vede ușor cum trebuie modificată formula dacă $k_{1}=1,k_{j}=1$ sau $k_{p}=1$ .

Rezultă imediat că $A^{*},B^{*}$ sînt independenți de funcţia $f$ și că $A^{*}\geqq 0,B^{*}\geqq 0,A^{*}+B^{*}=1$ . Rămîne să se demonstreze că $A^{*}\neq 0$ , $B^{*}\neq 0$ . Pentru coeficientul $A^{*}$ acest lucru rezultă observînd că, cu ajutorul notatiilor (47), el se obtine din membrul al doilea al formulei (36) împărțind cei 4 determinanți (1) care figurează la numărător și la numitor prin expresia (5) ( $n=n+3$ ) multiplicată respectiv cu

		$\displaystyle\frac{V\left(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\ldots,x_{k_{1}-1}^{(1)}\right)}{V\left(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\ldots,x_{k_{1}}^{(1)}\right)}\cdot\frac{V\left(x_{1}^{(j)},x_{2}^{(j)},\ldots,x_{k_{1}-1}^{(j)}\right)}{V\left(x_{1}^{(j)},x_{2}^{(j)},\ldots,x_{k_{j}}^{(j)}\right)},\frac{V\left(x_{1}^{(p)},x_{2}^{(p)},\ldots,x_{k_{p}-1}^{(p)}\right)}{V\left(x_{1}^{(p)},x_{2}^{(p)},\ldots,x_{k_{p}}^{(p)}\right)}$
		$\displaystyle\frac{V\left(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\ldots,x_{k_{1}-1}^{(1)}\right)}{V\left(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\ldots,x_{k_{1}}^{(1)}\right)}\cdot\frac{V\left(x_{1}^{(p)},x_{2}^{(p)},\ldots,x_{k_{p-1}}^{(p)}\right)}{V\left(x_{1}^{(p)},x_{2}^{(p)},\ldots,x_{k_{p}}^{(p)}\right)},\frac{V\left(x_{1}^{(j)},x_{2}^{(j)},\ldots,x_{k_{1}-1}^{(j)}\right)}{V\left(x_{1}^{(j)},x_{2}^{(j)},\ldots,x_{k_{j}}^{(j)}\right)}$

și trecînd la limită. Mai sus determinantii lui Vandermonde care nu au sens (pentru $k_{1}=1,k_{f}=1$ sau $k_{p}=1$ ) sînt înlocuiţi cu 1 . Dacă se efectuează aceste împărtiri, pe de o parte 1111 se schimbă valoarea coeficientului $A$ și, pe de altă parte, fiecare dintre determinanții (1) astfel împărțiți tinde către o limită bine determinată și diferită de zero. Rezultă că $A^{*}\neq 0$ . Se demonstrează în acelaşi fel că $B^{*}\neq 0$ . Demonstrația ne mai arată că
coeficientii $A^{*},B^{*}$ ai formulei (46) sînt bine determinați prin condiția ca să fie independenți de funcţia $f$ . Este uşor a se scrie valorile acestor coeficienti cu ajutorul determinanților (3).
18. Putem extinde teorema 7 la cazul cînd punctele $x_{i}$ nu sînt toate distincte. Intr-adevăr, presupunînd pe mai departe că funcţiile (18) și (19) sînt continue și formează cîte un sistem (I) regulat de ordinul $k$ , teorema 7 rămîne adevărată dacă printre punctele $x_{i}$ același punct se repetă cel mult. de $k$ ori.

Pentru a demonstra această proprietate, în virtutea chiar a teoremei 7, este sufficient să demonstrăm

L, e m a 2. - Dacă, pe lîngă ipotezele precedente, printre punctele $x_{i}$ există exact $p$ puncte distincte, cu $2\leqq p\leqq n+1$ ,
se pot găsi $n+2$ puncte $x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,n+2$ , astfel ca : $1^{\circ}$ . fiecare se repetă cel mult de $k$ ori, $2^{\circ}$ . există printre ele cel putin $p+1$ distincte, $3^{\circ}$ . sînt cuprinse toate în cel mai mic interval închis care contine punctele $x_{i},4^{\circ}$ . egalitatea (41) este verificată.

Pentru simplificarea limbajului vom zice că o diferență divizată ale cărei noduri, aranjate în ordinea lor crescătoare, au succesiv ordinele de multiplicitate $k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\left(k_{1}+k_{2}+\ldots k_{p}=n+2\right)$ , este de tipul $\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)$ . Condițiile $1^{\circ},2^{\circ}$ ale lemei însemnează că diferența divizată pe nodurile $x_{i}$ fiind de tipul ( $k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ ), cu $1\leqq k_{i}\leqq k,i=1,2,\ldots,p$ , $2\leqq p\leqq n+1$ , se pot găsi punctele $x_{i}^{\prime}$ astfel ca diferența divizată pe aceste puncte să fie de tipul ( $k_{1}^{\prime},k_{2}^{\prime},\ldots,k_{q}^{\prime}$ ), cu $1\leqq k_{i}^{\prime}\leqq k,i=1,2,\ldots,q$ , $q\geqq p+1$ .

Să considerăm deci diferența divizată pe nodurile $x_{i}$ și fie ( $k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ ) tipul, iar $C$ valoarea acestei diferențe divizate. Să intercalăm între primele două noduri distincte un al ( $n+3$ )-lea nod, diferit de toate celelalte. Să aplicăm formula mediei (46) șirului de $n+3$ puncte astfel obținute, noul nod fiind acela care este eliminat în diferența divizată din membrul întîi. În membrul al doilea figurează diferentele divizate

\left[u_{1},u_{2},\ldots,u_{n+2};f\right],\left[v_{1},v_{2},\ldots,v_{n+2};f\right]

(48)

u_{1}\leqq u_{2}\leqq\ldots\leqq u_{n+2},v_{1}\leqq v_{2}\leqq\ldots\leqq v_{n+2},u_{1}<u_{n+2},v_{1}<v_{n+2},

care sînt respectiv de tipul $\left(k_{1},1,k_{2},k_{3},\ldots,k_{p-1},k_{p}-1\right)$ și $\left(k_{1}-1,1,k_{2},k_{3},\ldots,k_{p}\right)$ , unde trebuie suprimat $k_{1}-1$ dacă $k_{1}=1$ , şi $k_{p}-1$ dacă $k_{p}=1$ .

Trebuie acum să distingem trei cazuri :
Cazul 1. Diferentele divizate (48) au valori diferite. Atunci una are o valoare $A<C$ si cealaltă o valoare $B>C$ . Tinind seamă de felul cum - diferentă divizată (27) se obține ca limită de diferențe divizate pe noduri distincte, rezultă că putem găsi diferențele divizate

\left[u_{1}^{\prime},u_{2}^{\prime},\ldots,u_{n+2}^{\prime};f\right],\quad\left[v_{1}^{\prime},v_{2}^{\prime},\ldots,v_{n+2}^{\prime};f\right]

(49)

pe noduri distincte și ale căror valori sînt numerele $A^{\prime},B^{\prime}$ respectiv oricît de aproape de numerele $A,B$ , deci în particular, astfel ca $A^{\prime}<C<B^{\prime}$ .

Se poate uşor constata că putem chiar lua nodurile primei diferențe divizate (49) în intervalul ( $u_{1},u_{n+2}$ ) şi nodurile celei de a doua diferente divizate în intervalul ( $v_{1},v_{n+2}$ ). Aplicînd teorema 4 diferențelor divizate ( 49 ), putem găsi o diferență divizată avînd valoarea $C$ . Se vede că conditiile $2^{\circ},4^{\circ}$ ale lemei sînt verificate.

Cazul 2. Avem $k_{1}+k_{p}>2$ şi cele două diferențe divizate (48) sînt egale. Atunci ambele sînt egale cu $C$ şi sau prima (dacă $k_{p}>1$ ) sau a doua (dacă $k_{1}>1$ ) verifică condițiile $2^{\circ}$ și $4^{\circ}$ ale lemei.

Cazul 3. Avem $k_{1}=k_{p}=1$ și cele două diferenţe divizate (48) sînt egale cu $C$ . Avem atunci o diferență divizată egală cu $C$ şi de tipul $\left(1,1,k_{2},k_{3},\ldots,k_{p-1}\right)$ . Cu această diferență divizată se procedează în mod analog. Se vede atunci că dacă $k_{p-1}>1$ , cădem peste cazu1 1 sau 2 iar dacă $k_{p-1}=1$ se construieşte o diferenţă divizată egală cu $C$ și de tipul $\left(1,1,1,k_{2},k_{3},\ldots,k_{p-2}\right)$ . Deoarece cel puţin un $k_{i}$ este $>1$ , după un număr finit de operafii de acest fel se cade asupra cazului 1 sau 2 .

Astfel condiţiile $2^{\circ}$ și $4^{\circ}$ ale lemei sînt realizate. Să observăm că în timpul demonstrației, pe de o parte nu se întrece niciodată ordinul $k$ de multiplicitate şi, pe de altă parte, nu se iese niciodată din cel mai mic interval care conţine punctele $x_{i}$ . Deci și condițiile $1^{\circ}$ și $3^{\circ}$ ale lemei sint verificate.

Lema 2 este deci demonstrată.
Din cele ce preced rezultă și
teorema 8. - Dacă functilie (18) şi functiile (19) sînt continue si /ormează sisteme (I) regulate de ordinul $k$ pe intervalul $E$ si dacă functia $f$ este continuă și convexă, neconcavă, neconvexă resp. concavă in raport cu Junctiile (19),
prima, a doua, a treia respectiv a patra inegalitate (25) rămîne adevărată dacă nodurile $x_{i}$ nu sînt toate confundate si fiecare se repetă cel mult de $k$ ori.

De altfel pentru funcfiile neconcave şi pentru funcţiile neconvexe, proprietatea rezultă simplu prin o trecere la limită şi rămîne adevărată dacă funcţiile (18) şi (19) formează sisteme (I) complet regulate, chiar dacă punctele $x_{i}$ sint toate confundate.

Teorema 8 rezultă din extensimnea teoremei 7 dată in acest număr
19. Teorema 7, extinsă în felul de mai sus, permite să se lege structura unei funcționale liniare de forma simplă de propriefățile diferențiale ale funcţiilor pe care ea este definită. Astfel avem

TE $\mathrm{OREMA}9.-$ Dacă : $1^{\circ}$ . functilile (18) şi (19) formează sisteme (I) complet regulate pe intervalul $E,2^{\circ}$ . functionala liniară $R[f]$ este de forma simplă, $3^{\circ}$ , functia $f\in\mathbb{F}$ are o derivată continuă de ordinul $n+1$ pe interiorul lui $E$ ,
se poate găsi, in interiorul lui $E$ , un punct $\xi$ astfel ca să avem

F[f]=R\left[f_{n+1}\right][\xi,\xi,\ldots,\xi;f].

(50)

Demonstrația rezultă imediat din teorema 7 şi din proprietătile limită ale diferentelor divizate cu noduri multiple. Punctul $\xi$ este unul din acelea care verifică teorema 7 .

Diferenta divizată din membrul al doilea a lui (50) se poate calcula cu ajutorul formulei (28) sau cu acela al formulei (29).

Nu avem intenția de a aprofunda mai mult aceste chestiuni în această lucrare. Reamintim numai că, în cazul particular (21), (21’), am dat o generalizare teoremei 7 [18] care permite să se precizeze încă mai mult legătura dintre proprietățile restului $R[f]$ și proprietățile diferențiale de diferite ordine ale functiei $\not$ .

§ 3.

20.

In acest § vom examina cîteva criterii care permit să se decidă dacă o functională liniară $R[f]$ este sau nu de forma simplă. Vom face apoi aplicatii la restul cîtorva formule de aproximare (*).

Combinația liniară (11) poate să fie întrebuintată pentru a găsi o formulă de aproximare de forma (*).

Fie $A[f]$ o funcțională liniară definită pe spatiul vectorial $(f$ format din functii continue definite pe intervalul $E$ şi care au derivate continue pe $E$ de toate ordinele care intervin. Vom presupune că funcțiile (18) și (19) apartin lui (f şi, pentru a simplifica lucrurile, că ele formează sisteme (I) complet regulate. De altfel pentru valabilitatea cîtorva din rezultatele care urmează, o regularitate de un ordin mai mic decît $n+2$ resp. $n+1$ este în general suficientă.

Vom lua ca aproximare pentru $A[f]$ funcționala definită și liniară pe $\widehat{t}$ ,

B[f]=A[L(f\mid x)],

(51)

unde $L(f\mid x)$ este dat de (11), relativ la functiile (19).
Acest procedeu de aproximare este bine cunoscut și a fost mult studiat, mai cu seamă în diferite cazuri particulare.

Avem

L(f\mid x)=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=0}^{k-1}\varphi_{i,j}(x)f^{(j)}\left(z_{i}\right),\quad\left(f^{(0)}(x)=f(x),\quad\left(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{p}=n+1\right),\right.

punctele $z_{i},i=1,2,\ldots,p$ fiind distincte si $\varphi_{i,j},j=0,1,\ldots,k_{i}-1$ , $i=1,2,\ldots,p$ fiind combinatii liniare bine determinate ale functiilor (19). Avem atunci

B[f]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=0}^{k_{i}-1}a_{i,j}f^{(j)}\left(z_{i}\right),

(52)

unde $\left.a_{i,j}=A\mid\varphi_{i,j}\right],j=0,1,\ldots,k_{i}-1,i-1,2,\ldots,p$ .
Există un caz particular important cînd restul $R[f]$ al formulei de aproximare astfel obținut este de formă simplă. Avem anume

TEOREMA 10. - Dacă : $1^{\circ}$ . functionala liniară $A[f]$ este pozitivă, $2^{\circ}$ . ordinele de multiplicitate $k_{i}$ ale tuturor punctelor $z_{i}$ care se gäsesc $\hat{\imath}n$ interiorul intervalulul $E$ , sînt pare,
restul $R[f]$ al formulei de aproximare (*), construită în felul arătat mai sus, este de formă simplă.

Functionala $A[f]$ este pozitivă dacă avem $A[f]\geqq 0$ , pentru orice funcție $f$ (continuă) nenegativă, egalitatea fiind adevărată (dacă și) nıumai dacă $f=0$ pe $E$ .

Formula (16) ne dă

f(x)-L(f\mid x)=\psi(x)\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x;f\right]

(53)

punctele $x_{i}$ avînd aceeaşi semnificare ca și în (16). În această formulă avem

\psi(x)=V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f_{n+1}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x}:V\binom{f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}}{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}}

dacă $x$ este diferit de unul din nodurile $x_{i}$ .
Formula (53) este adevărată pentru orice $x\in E$ , cu condiția de a îulocui membrul al doilea prin 0 dacă $x$ coincide cu unul dintre nodurile $x_{i}$ . Avem

R[f]=A[f-L(f\mid x)]=A\left[\psi\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x;f\right]\right]

și restul este de formă simplă deoarece : $1^{\circ}$ . diferenta divizată care figurează în membrul al doilea al formulei (53) este, în virtutea teoremei 8, pozitivă dacă $f$ este o funcţie convexă, afară de cel mult $n+1$ puncte (punctele $x_{i}$ ) ale lui $E.2^{\circ}$ . funcția nu este identic nulă şi nu schimbă de semn pe $E$ ; această proprietate rezultă din teorema 2 prin o trecere la limită, $3^{\circ}$ . funcţia $f-L(f\mid x)$ este continuă pe $E$ . Rezultă că această din urmă funcție nu este identic nulă și că nu schimbă de semn pe $E$ dacă $f$ este o funcţie convexă. Teorema 10 rezultă imediat.

Restul este de forma (30) și dacă a $(n+1)$ -a derivată a lui $f$ există si este continuă pe interiorul lui $E$ , chiar de forma indicată în teorema 9. Constanta $K=R\left[f_{n+1}\right]$ se poate calcula şi cu ajutorul formulei $K=R[\psi]$ , sau cu ajutorul formulei $K=R[\psi+\varphi]$ , unde $\varphi$ este o combinaţie liniară a functiilor (19).

Este ușor de generalizat rezultatul precedent în cazul cînd se presupune că funcţiile (18) și (19) formează sisteme (I) regulate de ordinul $k\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)$ . In fine, este clar că o proprietate analoagă subsistă pentru o functională $A[f]$ negativă, pentru care deci avem $A[f]\leqq 0$ pentru orice funcție $f$ nenegativă, egalitatea fiind adevărată numai pentru $j=0$ .

Observăm că numeroase formule clasice de aproximare, de exemplu formule aşa-zise de cuadratură numerică (sau mecanică), sînt de forma precedentă Vom reaminti cîteva dintre aceste formule mai jos.
21. Formula de cuadratură numerică bine cunoscută

A[f]=\int_{0}^{2\pi}f(x)dx=\frac{2\pi}{m+1}\sum_{i=0}^{m}f\left(\frac{2i\pi}{m+1}\right)+R[f]

(54)

unde $m$ este un număr natural și $f$ o funcţie continuă pe intervalul închis $[0,2\pi]$ , este de forma precedentă.

In acest caz $R[f]$ este nul pe functiile

f_{0}=1,f_{2i-1}=\cos ix,f_{2i}=\sin ix,\quad i=1,2,\ldots,m

(55)

la care se reduc acum functiile (19). Am demonstrat deja că functiile (55) formează un sistem (I) complet regulat pe intervalul $[0,2\pi)$ . Această proprietate este echivalentă cu faptul că un polinom trigonometric de gradul $m$ nu poate avea $2m+1$ rădăcini distincte sau nu în intervalul $[0,2\pi)$ , fără să fie identic nul.

Să considerăm şi funcţia

f_{2m+1}=x

(

\prime

)

Atunci functiile (55), (55’) împreună formează de asemenea un sistem (I) complet regulat pe $[0,2\pi)$ . Intr-adevăr, o combinație liniară neidentic nulă $\varphi$ a funcţiilor ( 55 ), ( $55^{\prime}$ ) nu poate avea mai mult de $2m+1$ rădăcini distincte sau nu în $[0,2\pi)$ . In cazul contrar, derivata $\varphi^{\prime}$ , care este un polinom trigonometric de gradul $m$ , ar avea cel puțin $2m+1$ rădăcini distincte sau nu în $[0,2\pi)$ . Ar rezulta că $\varphi^{\prime}=0$ , deci că $\varphi$ este o constantă $\neq 0$ , ceea ce este imposibil.

Formula (54) este de forma precedentă. Pentru a o obține este suficient lua funcția $L(f\mid x)$ (polinom de interpolare trigonometrică de tip Lagrange-Hermite) relativă la nodul simplu 0 şi la nodurile $duble\frac{2i\pi}{m+1}$ , $i=1,2,\ldots,m$ . Este uşor de verificat că (54) este singura formulă de forma

\int_{0}^{2\pi}f(x)dx=Af(0)+\sum_{i=1}^{m}\left[\alpha_{i}f\left(\frac{2i\pi}{m+1}\right)+\beta_{i}f^{\prime}\left(\frac{2i\pi}{m+1}\right)\right]+R[f]

în care $A,\alpha_{i},\beta_{i}$ sînt independenți de funcţia $f$ şi restul căreia se anulează pe funcţiile (55).

Restul formulei (54) este de forma simplă şi avem

R[t]=\frac{2\pi^{2}}{m+1}\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{2m+2};t\right]

funcţia $f$ fiind continuă pe $[0,2\pi]$ și avînd o derivată continuă pe $(0,2\pi)$ . Punctele $\xi_{i}\in(0,2\pi),i=1,2,\ldots,2m+2$ sînt distincte.

Dacă $f$ are o derivată continuă de ordinul $2m+1$ pe ( $0,2\pi$ ), regăsim restul dat de J. Radon [21]. In cazul nostru

[\xi,\xi,\ldots,\xi;f]=\frac{1}{(m!)^{2}}\left[\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{2}}{dx^{2}}+1^{2}\right)\left(\frac{d^{2}}{dx^{2}}+2^{2}\right)\cdots\left(\frac{d^{2}}{dx^{2}}+m^{2}\right)f\right]_{x\rightarrow\xi}

22.

Formula (54) este analoaga trigonometrică a formulei de integrare numerică clasică a lui Gauss,

\int_{-1}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}f\left(\zeta_{i}\right)+R[t]

(56)

unde $\zeta_{i},i=1,2,\ldots,m$ sînt rădăcinile, toate reale, distincte și cuprinse în ( $-1,1$ ), ale polinomului

P(x)=\frac{m!}{(2m)!}\cdot\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left(x^{2}-1\right)^{m}

și al cărui rest se anulează pe orice polinom de gradul $2m-1$ . Formula (56) este relativă la cazul particular (21), (21’) și pentru a o obține este suficient a lua functia $L(f\mid x)$ (polinomul de interpolare al lui lagrangeHermite) relativă la nodurile duble $\zeta_{i},i=1,2,\ldots,m$ . In virtutea teoremei 10 restul este de formă simplă și avem ( $n=2m-1$ ),

R\left[x^{n+1}\right]=R\left[P^{2}\right]=\int_{-1}^{1}P^{2}dx=\frac{2^{2m+1}(m!)^{4}}{(2m+1)[(2m)!]^{2}}

Restul este deci de forma

R[f]=\frac{2^{2m+1}(m!)^{4}}{(2m+1)[(2m)!]^{2}}\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{2m+1};f\right]

(57)

funcția fiind continuă pe $[-1,1]$ și avînd o derivată continuă pe $(-1,1)$ . Punctele $\xi_{i}\in(-1,1),i=1,2,\ldots,2m+1$ sînt distincte.

Existența și continuitatea derivatei funcției $f$ în studiul simplicitătii restului formulelor (54) şi (56) sînt impuse de metoda particulară prin care am obţinut această simplicitate. Se poate demonstra că ipoteza existenţei derivatei este superfluă, ceea ce vom arăta efectiv mai jos pentru formula lui Gauss.
23. Să considerăm o funcțională liniară de forma

R[f]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{\begin{subarray}{c}i=0\\ j=0\end{subarray}}^{k_{i}-1}c_{i,j}f^{(j)}\left(z_{i}\right),

(58)

unde $n+2\geqq k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\geqq 1,k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=m\geqslant n+2,z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{p}$ sînt puncte ale intervalului $E$ și $c_{i,j}$ , sint coeficienți independenti de functia $f$ . Spatiul de definitie $f$ al functionalei este format din functiile ale căror derivată de ordinul max $\left(k_{1}-1,k_{2}-1,\ldots,k_{p}-1\right)$ există şi este continuă pe $E$ . Presupunem că funcțiile (18) și (19) aparțin lui $\underset{f}{f}$ și formează sisteme regulate de ordinul max $\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)$ .

Fie $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ punctele $z_{i}$ contate cu ordinele lor de multiplicitate respective. Functionala (58) poate să se scrie și sub forma

R[f]=R_{1}[f]+\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]

unde $\mu_{i}$ sînt coeficienfi independenţi de funcția $f$ .
$R_{1}[f]$ este o expresie analoagă cu (58), unde însă nu figurează decît valorile functiei $f$ si ale derivatelor sale succesive pe primele $n+1$ noduri $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ (distincte sau nu). Dacă unul din aceste din urmă noduri se repetă de $k$ ori, în $R_{1}[f]$ figurează liniar (eventual cu coeficienţi nuli) numai valoarea funcţiei şi a primelor sale $k-1$ derivate pe acest punct.

Dacă observăm că în diserenţa divizată (27) (unde $z_{i}$ sint distincţi) coeficienții lui $f^{\left(k_{i}-1\right)}\left(z_{i}\right),i=1,2,\ldots,p$ sînt totdeauna diferiți de zero, vedem că coeficientii $\mu_{i}$ şi funcționala liniară $R_{\mathbf{1}}[f]$ sînt determinați complet de funcționala liniară (58).

Pentru ca funcționala liniară (58) să fie nulă pe functiile (19), este necesar şi suficient ca $R_{1}[f]$ să fie nul identic. Condiţia este evident suficientă (formula (23)). Ea este și necesară deoarece se pot anula succesiv coeficientii lui $R_{1}[f]$ , alegînd pentru $f$ o combinație liniară convenabilă a funcţiilor (19).

De aici rezultă întîi formula $R_{1}[f]=R\left[L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)\right]$ și apoi

L e m a 3. - Pentru ca funcționala liniară (58) să fie nulă pe funcțile (19), este necesar și suficient ca ea să fie de forma

R[f]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]

(59)

unde coeficientii $\mu_{i}$ sînt bine determinați și independenti de functia $t$ .
De aici deducem
TEOREMA 11. - Dacă : $1^{\circ}$ . functivle (18) și (19) formează sisteme (I) complet regulate pe intervalul $E,2^{\circ}$ . funcționala liniară (58) este nulă pe functile (19), $3^{\circ}$ . In expresia (59) a acestei functionale liniare, coeficientii $\mu_{i}$ sint de acelaşi semn (toți $\geqq 0$ sau toţi $\leqq 0$ ), $4^{\circ}$ . presupunînd $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ , avem

\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\left(x_{i+n+1}^{m}-x_{i}\right)\neq 0,

funcționala liniară (58) este de forma simplă.
Presupunem aici $m>n+2$ . Condiția $4^{\circ}$ înseamnă că cel puţin unul dintre coeficientii $\mu_{i}$ este $\neq 0$ și în acelaşi timp nodurile $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ , corespunzătoare unui astfel de coeficient, nu sînt toate confundate. Demonstraţia teoremei 11 rezultă uşor. Intr-adevăr, pentru o funcţie convexă toţi termenii sumei (59) sînt de acelaşi semn şi unul cel puțin este $\neq 0$ .

Rezultatul este valabil de asemenea şi pentru $m=n+2$ , suprimînd în teoremă condiţia $3^{\circ}$ .

Se vede uşor că condiţia $n+2\geqq k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ este esenţială. În particular, această condiție este îndeplinită de funcționala liniară (59). În cazul însă cînd condiţia nu este îndeplinită, funcționala liniară (58) poate să nu fie de forma indicată și deci teorema 11 poate să nu aibă loc.
24. In cazul particular (21), (21’) putem da rezultate mai complete. In acest caz putem distinge convexităti de ordinele succesive $n=-1,0,1,\ldots$ şi notiunea de simplicitate a unei functionale liniare este legată de gradul său de exactitate.

Se zice că funcţionala liniară $R[f]$ (sau formula de aproximare corespunzătoare care are acest rest) are gradul de exactitate (întregul) $n\geqq-1$ dacă $R\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots,n,R\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ . Aici punem $n=-1$ dacă $R[1]\neq 0$ si $n=\infty$ dacă $R\left[x^{i}\right]=0$ pentru $i=0,1,\ldots$ Gradul de exactitate (finit sau nu) este totdeauna bine determinat. In cele ce urmează considerăm numai functionale liniare avînd un grad de exactitate finit și care sînt definite, în particular pe orice polinom. Pentru ca o astfel de funcțională liniară să aibă un grad de exactitate finit, este necesar și suficient ca ea să nu fie nulă pe orice polinom. De exemplu, funcționala liniară (58), presupusă neidentic nulă (mai exact cu coeficienti $c_{i,j}$ nu toţi nuli), are un grad de exactitate finit. Intr-adevăr, fără a restringe generalitatea, se poate presupune că unul dintre coeficienții $c_{i,k_{i}-1},i=1,2,\ldots,p$ este $\neq 0$ . Fie, pentru fixarea ideilor, $c_{r},k_{r-1}\neq 0$ . Se poate atunci vedea uşor că $R\left[\frac{1}{x-z_{r}}\prod_{i=1}^{p}\left(x-z_{i}\right)^{k_{i}}\right]\neq 0$ .

Pentru ca o funcţională liniară să poată fi de forma simplă este necesar ca ea să aibă un grad de exactitate finit.

Vom demonstra
teorema 12. - Presupunînd $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{n+3}$ , pentru ca juncjionala liniară

R\mid f]=\mu_{1}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]+\mu_{2}\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right],

(60)

(coeficienţii $\mu_{1},\mu_{2}$ fiind independenţi de funcţia $f$ ) să fie de forma simplă, este necesar si suficient ca una din conditile :
$1^{\circ}$ . Nodurile $x_{i}$ nu sînt toate confundate şi $\mu_{1}=-\mu_{2}\neq 0$ .
$2^{\circ}.\left(x_{n+2}-x_{1}\right)\mu_{1}+\left(x_{n+3}-x_{2}\right)\mu_{2}\neq 0,\quad\mu_{1}\mu_{2}\geqq 0,\quad$ sä fie verificată.
Din conditía $2^{\circ}$ rezultă de asemenea că nodurile nu sînt toate confundate. Mai mult, dacă primele $n+2$ resp. ultimele $n+2$ noduri sînt confundate, coeficientul $\mu_{2}$ resp. coeficientul $\mu_{1}$ este $\neq 0$ .

Pentru a demonstra teorema este necesar şi suficient să se verifice că în cazurile $1^{\circ}$ și $2^{\circ}$ ale enunţului, funcţionala este de forma simplă, pe cînd în celelalte cazuri posibile ea nu este de forma simplă. Aceste cazuri posibile sînt următoarele :
$3^{\circ}$ . Nodurile $x_{i}$ sînt toate confundate.
$4^{\circ}$ . Nodurile $x_{i}$ nu sint toate confundate şi $\mu_{1}\mu_{2}\geqq 0$ ,

\left(x_{n+2}-x_{1}\right)\mu_{1}+\left(x_{n+3}-x_{2}\right)\mu_{2}=0.

$5^{\circ}$ . Nodurile $nu$ sint toate confundate si $\mu_{1}\mu_{2}<0,\mu_{1}+\mu_{2}\neq 0$ .
Vom examina fiecare din cele 5 cazuri.
$1^{\circ}$ . In acest caz expresia (60) se poate scrie $\mu_{2}\left(x_{n+3}-x_{1}\right)\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+3};f\right]$ . Ea este de grad de exactitate $n+1$ și este de forma simplă, în virtutea teoremei 8.
$2^{\circ}$ . Proprietatea rezultă din teorema 11.
$3^{\circ}$ . Pe baza definiției diferentelor divizate pe noduri nu toate distincte, expresia (60) este de forma $\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right)[\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{n-2};f]$ . Atunci functionala liniară este : $3^{\prime o}$ . sau identic nulă, deci nu este de forma simplă, $3^{\prime\prime}$ . Sau are gradul de exactitate $n$ , dar se anulează pe funcția $\left|x-x_{1}\right|\left(x-x_{1}\right)^{n+1}$ care este convexă de ordinul $n$ , deci nu este de forma simplă.
$4^{\circ}$ . Unul cel puțin dintre coeficientii $\mu_{1},\mu_{2}$ este nul și functionala liniară (60) este : $4^{\prime\circ}$ . sau identic nulă, $4^{\prime\prime\prime}$ sau de forma $3^{\circ}$ precedentă. Nici în acest caz funcţionala nu este de forma simplă.
$5^{\circ}$ . Gradul de exactitate este $n$ și putem nota cu $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{p}$ nodurile distincte, $k_{l}$ fiind ordinul de multiplicitate a lui $z_{i}$ . Avem $1\leqq k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\leqq n+2,k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=n+3$ . Să considerăm funcțiile

\psi_{1}=-\left(\frac{x-\lambda_{1}-\left|x-\lambda_{1}\right|}{2}\right)^{n+2}\quad\psi_{2}=\left(\frac{x-\lambda_{2}+\left|x-\lambda_{2}\right|}{2}\right)^{n+2}

(61)

care sînt neconcave de ordinul $n$ și aparțin mulțimii de definitie $\mathbb{F}$ a functionalei liniare (60), astfel cum această mulţime a fost definită la nr. $\mathbf{23}$ . Intr-adevăr, functiile (61) au (peste tot) derivate continue de ordinul $n+1$ . Vom calcula pe $R\left[\psi_{1}\right]$ şi pe $R\left[\psi_{2}\right]$ , presupunînd că $\lambda_{1}\in\left(z_{1},z_{2}\right)$ şi $\lambda_{2}\in\left(z_{p-1},z_{p}\right)$ . Este inutil de a reproduce aici în detaliu acest calcul. Avem

		$\displaystyle R\left[\psi_{1}\right]=\sum_{i=1}^{k_{1}-1}M_{i}\left(\lambda_{1}-z_{1}\right)^{n+2-i},\quad\left(z_{1}<\lambda_{1}<z_{2}\right)$
		$\displaystyle R\left[\psi_{2}\right]=\sum_{i=1}^{k_{p}-1}N_{i}\left(z_{p}-\lambda_{2}\right)^{n+2-i},\quad\left(z_{p-1}<\lambda_{2}<z_{p}\right),$

unde

M_{k_{1}-1}=\frac{\binom{n+2}{k_{1}-1}\mu_{1}}{\left[\prod_{i=2}^{p-1}\left(z_{i}-z_{1}\right)^{k_{i}}\right]\left(z_{p}-z_{1}\right)^{k_{p-1}}},\quad N_{k_{p}-1}=\frac{\binom{n+2}{k_{p}-1}\mu_{2}}{\left[\prod_{l=2}^{p-1}\left(z_{p}-z_{i}\right)^{k_{i}}\right]\left(z_{p}-z_{1}\right)^{k_{1}-1}},

ceilalți coeficienti $M_{i},N_{i}$ , independenți de $\lambda_{1}$ și $\lambda_{2}$ , avînd valori care este inutil să fie calculate aici.

Observăm că $M_{k_{1}-1},N_{k_{p}-1}$ sînt diferiţi de zero şi de acelaşi semn cu $\mu_{1},\mu_{2}$ respectiv. Se vede atunci că putem găsi un $\lambda_{1}$ suficient de aproape de $z_{1}$ și un $\lambda_{2}$ suficient de aproape de $z_{p}$ astfel ca să avem $R\left[\psi_{1}\right].R\left[\psi_{2}\right]<0$ . Dintr-o observație făcută la nr. 10 rezultă că funcționala liniară (60) nu poate să fie de forma simplă.

Teorema 12 este complet demonstrată.

Construcția functiilor (61) depinde, într-o oarecare măsură, de spațiul (7. Dacă acest spațiu este mai restrîns, de ex. dacă el nu conține decît funcţi indefinit derivabile pe $E$ , trebuie să înlocuim functiile (61) prin altele convenabile. Putem evita această modificare prin criterii analoage cu acelea studiate mai jos (vezi nr. 30).
25. Rămînînd în cazul particular (21), (21’), dacă $R[f]$ este o functională liniară definită pe $\left(\mathcal{F},R^{*}[f]=R\left[f^{\prime}\right]\right.$ este o functională liniară definită pe mulțimea $\mathscr{F}^{*}$ a funcţiilor continue și derivabile a căror derivată apartine lui $\mathbb{F}$ . Se vede ușor că dacă $R[f]$ este de grad de exactitate $n(\geqq-1),R^{*}[f]$ este de grad de exactitate $n+1$ .

Avem și
teorema 13. - Sub ipotezele precedente, pentru ca $R[f]$ să fie de forma simplă, este necesar și suficient ca $R^{*}[f]$ să fie de forma simplă.

Demonstrația este imediată. Este suficient să observăm că derivata unei funcţii convexe de ordinul $n$ este o funcţie convexă de ordinul $n-1$ și că toate primitivele unei asemenea funcţii sînt funcţii convexe de ordinul $n+1$ .
26. Pentru a face o aplicație, să considerăm formula de cuadratură numerică

\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_{i}f^{(i)}(a)+\sum_{i=0}^{l-1}\beta_{i}f^{(i)}(c)+\sum_{i=0}^{m-1}\gamma_{i}f^{(i)}(b)+R[f]

(62)

unde $f$ este o funcţie continuă pe $[a,b]$ avînd derivatele scrise continue şi $a<c<b$ .

Să presupunem că restul formulei (62) este nul pe orice polinom de gradul $n-1=k+l+m-1\geq 0$ . Atunci formula intră în categoria celor studiate la nr. 20. Numerele $k,l,m$ pot fi nule, ceea ce însemnează că suma corespunzătoare (deci punctul $a,c$ sau $b$ corespunzător) nu intervine in membrul al doilea al formulei (62).

Cazuri particulare ale formulei (62) au fost studiate de către diverși autori și în particular de K. Petr [10, 11], G. N. W atson [27], N. Obreschkoff [9]. Metoda acestor autori este diferită de cea expusă aici.

În virtutea teoremei 10 , restul este de formă simplă dacă $l$ este par, în particular deci dacă $l=0$ . Vom regăsi acest rezultat mai jos cu ajutorul teoremelor 12 si 13.

Se vede ușor că $R[f]$ are un grad de exactitate finit care este egal cu $n-1$ sau cu $n$ . Functionala liniară $R^{*}[f]=R\left[f^{\prime}\right]$ este de forma (58), cu noduri nu toate confundate, numărul total al lor fiind $n+2$ dacă $l=0$ si $n+3$ dacă $l>0$ . Putem dar discuta simplicitatea restului cu ajutorul teoremelor 12 și 13 .
$R[f]$ este de grad de exactitate $n$ dacă şi numai dacă

P(c)=\int_{a}^{b}(x-a)^{k}(x-c)^{l}(b-x)^{m}dx=0

(63)

Această ecuație algebrică (de gradul $l$ ) în $c$ nu are nici o rădăcină reală în ( $a,b$ ) (de altfel pe toată axa reală) dacă $l$ este par, şi are o singură rădăcină reală $c^{*}$ care este în $(a,b)$ dacă $l$ este impar. Se obține acest rezultat observînd că ecuația derivată $P^{\prime}(c)=0$ este de aceeaşi formă. $R[f]$ este deci de grad de exactitate $n$ dacă şi numai dacă $l$ este impar şi $c=c^{*}$ .

Teorema 11 ne arată că dacă $l=0,R^{*}[t]$ este de grad de exactitate $n$ și este de forma simplă. Déci $R[f]$ este de grad de exactitate $n-1$ si de forma simplă. La fel se vede că dacă $l$ este impar şi $c=c^{*}$ , el este de grad de exactitate $n$ și este de forma simplă.

Pentru a studia celelalte cazuri posibile, trebuie calculați coeficienții $\mu_{1},\mu_{2}$ ai formulei (60) corespunzătoare lui $R^{*}[f]$ . Niște calcule, pe care min le reproducem în detaliu, ne dau
$\mu_{1}=(-1)^{l+m}k!(c-a)^{l+1}(b-c)^{m}\alpha_{k-1},\mu_{2}=-m!(b-a)^{k}(b-c)^{l+1}\gamma_{m-1}$ , unde

\begin{gathered}\alpha_{k-1}=\frac{(-1)^{l}}{(k-1)!(c-a)^{l}(b-a)^{m}}\int_{a}^{b}(x-a)^{k-1}(x-c)^{l}(b-x)^{m}dx,\quad(k>0)\\ \gamma_{m-1}=\frac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!(b-a)^{k}(b-c)^{l}}\int_{a}^{b}(x-a)^{k}(x-c)^{l}(b-x)^{m-1}dx,\quad(m>0)\\ \alpha_{-1}=1,\gamma_{-1}=-1,\quad(0!=1)\end{gathered}

Aplicînd teorema 12, vedem că dacă $l>0$ și dacă restul $R[f]$ este de grad de exactitate $n-1$ , el este de forma simplă dacă și numai dacă $\mu_{1}\mu_{2}>0$ . Această condiție este verificată dacă $l$ este un număr par.

Dacă $l$ este impar şi $k>0$ , există în $(a,b)$ o valoare $c_{1}$ a lui $c$ și una singură pentru care $\mu_{1}=0$ şi dacă $m>0$ o valoare $c_{2}$ a lui $c$ şi una singură pentru care $\mu_{2}=0$ .

Avem $c_{1}<c^{*}<c_{2}$ . Pentru a demonstra prima inegalitate este suficient să observăm că pentru polinomul (63) avem

P(a)>0,\quad P\left(c_{1}\right)=\int_{a}^{b}(x-a)^{k-1}\left(x-c^{*}\right)^{l+1}(b-x)^{m}dx>0

La fel se demonstrează a doua inegalitate.
Se vede imediat că dacă $c_{1}<c<c_{2}$ avem $\mu_{1}\mu_{2}<0$ , și dacă $c\leqq c_{1}$ sau $c_{2}\leqq c$ avem $\mu_{1}\mu_{2}\geqq 0$ . Rezultatele subsistă și dacă $k=0$ luînd $c_{1}=a$ , şi dacă $m=0$ luînd atunci $c_{2}=b$ .

Restul $R[f]$ al formulei (62) este deci de forma simplă numai în următoarele trei cazuri :
$1^{\circ}.l$ impar, $c=c^{*}$ .
$2^{\circ}$ . $l$ impar, $a<c\leqq c_{1}$ sau $c_{2}\leqq c<b$ .
$3^{\circ}$ . $l$ par.

In cazul $1^{\circ}$ restul are forma

R[f]=K^{*}\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{k+l+m+2};f\right]

iar în cazurile $2^{\circ}$ şi $3^{\circ}$ este de forma

R[f]=K\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{k+l+m+1};f\right]

unde $\xi_{i}$ sînt, de fiecare dată, puncte distincte ale intervalului ( $a,b$ ) şi

K^{*}=\int_{a}^{b}(x-a)^{k}(x-c)^{l+1}(x-b)^{m}dx,\quad K=\int_{a}^{b}(x-a)^{k}(x-c)^{l}(x-b)^{m}dx

In cazul „simetric" $k=m$ , avem $c^{*}=\frac{1}{2}(a+b)$ si $c_{1}+c_{2}=a+b$ .
In cazul $l=1$ , avem

c_{1}=\frac{(m+1)a+kb}{m+k+1},c^{*}=\frac{(m+1)a+(k+1)b}{m+k+2},c_{2}=\frac{ma+(k+1)b}{m+k+1}

Se poate demonstra că în toate cazurile de simplicitate a restului simplicitatea are loc și dacă funcţia este presupusă numai continuă pe $[a,b]$ , avînd pe punctele $a,c,b$ derivatele care figurează efectiv în membrul al doilea al formulei (62). Ipoteza continuitătii derivatei de ordinul $\max(k-1,l-1,m-1)$ a fost impusă numai de definiția pe care am adoptat-o pentru diferentele divizate pe naduri multiple și de criteriul pe care ne-am bazat pentru a demonstra simplicitatea restului.
27. În cazul particular (21), (21’), vom relua, precizîndu-1 şi comple-tîndu-1, un criteriu pe care 1-am dat deja [15].

Fie

\varphi_{n+1,\lambda}=\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right)^{n}

(64)

unde $n$ este un număr natural. Aceasta este o funcție neconcavă de ordinul $n$ pentru orice $x$ . Derivata sa de ordinul $k$ există dacă $0\leqq k\leqq n-1$ şi este continuă pentru orice $x$ . Avem, de altfel,

\varphi_{n+1,\lambda}^{(k)}=\frac{n!}{(n-k)!}\varphi_{n+1-k,\lambda}\quad(0\leqq k\leqq n-1).

(65)

Fie $n$ un număr natural și să împărțim intervalul finit și închis $[a,b]$ în $m>2n$ părți egale prin punctele

\lambda_{i}=a+ih,i=0,1,\ldots,m,h=\frac{b-a}{m}\quad\left(\lambda_{0}=a,\lambda_{m}=b\right)

(66)

Notăm cu
$D_{j}^{i}[f]=\left[\lambda_{i},\lambda_{i+1},\ldots,\lambda_{i+j};f\right],\quad i=0,1,\ldots,m-j,j=0,1,\ldots,m$ (67) diferentele divizate (obişnuite) ale funcției $/$ pe puncte (66) consecutive,

Să considerăm funcţiile

\psi_{m}=f_{m}+Q_{m}

(68)

unde

	$\displaystyle f_{m}=(n+1)h\sum_{i=0}^{m-n-1}D_{n+1}^{i}[f]\varphi_{n+1,\lambda_{i+n}}$		(69)
	$\displaystyle Q_{m}=\frac{(-1)^{n}}{n!h^{n}}\left\{\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\binom{n+1}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n}\right]\right\}$		(70)

Funcția (68) este continuă și are o derivată continuă de ordinul $n-1$ (deci de orice ordin $\leqq n-1$ ) pentru orice $x$ . Ea se reduce la un polinom de gradul $n$ in fiecare din intervalele $\left[\lambda_{i},\lambda_{i+1}\right],i=0,1,\ldots,m-1$ . $\Psi_{m}$ este ceea ce am numit altă dată o funcție elementară de ordinul $n$ .

Am demonstrat [15] că dacă $f$ este continuu pe $\{a,b\}$ , şirul $\left\{\psi_{m}\right\}$ converge uniform pe întreg intervalul $[a,b]$ către $f$ pentru $m\rightarrow{}^{c}$ . Această proprietate de convergenţă o vom completa pentru cazul cînd functia $f$ este derivabilă de un anumit număr de ori.
28. Inainte de a enunța şi de a demonstra teorema 14, pe care o vom stabili-o mai jos, este necesar să facem cîteva calcule preliminare.

Formula de recurenţă $\left.D_{j}^{i}[f]=\frac{1}{jh}\left\{D_{j-1}^{i+1}[f]-D_{j-1}^{i}[f]\right)\right\}$ permite să stabilim diferite relaţii între diferențele divizate (67). Astfel avem

(n+1)hD_{n+1}^{i}[f]=\frac{(-1)^{n+1-k}k!}{n!h^{n-k}}\sum_{j=0}^{n+1-k}(-1)^{j}\binom{n+1-k}{j}D_{k}^{i+j}|f|

(71)

Aici $k$ este un întreg astfel ca $0\leq k\leq n+1$ . Pentru cele ce urmează va fi suficient să presupunem că $0\leqq k\leqq n-1$ .

Ţinînd seamă de formula (71), funcţia (69) devine

i_{m}=\frac{(-1)^{n+1-k}k!}{n!h^{n-k}}\sum_{r=0}^{m-k}D_{k}^{r}[f]\left[(-1)^{r}\sum_{i=r-n-1+k}^{r}(-1)^{i}\binom{n+1-k}{r-i}\varphi_{n+1,\lambda_{i+n}}\right]

(72)

unde $\varphi_{n+1,\lambda_{i+n}}=0$ pentru $i<0$ şi pentru $i>j$ dacă $x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right]$ , $j=-n,-n+1,\ldots,m-n-1$ .

Pentru a simplifica, introducem notațiile

P_{i,u,v}=(-1)^{r}\sum_{i=u}^{u}(-1)^{i}\binom{n+1-k}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n}

(73)

Ţinînd seamă de (73), găsim

		$\displaystyle f_{m}=0,\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{n}\right]$
		$\displaystyle f_{m}=\frac{(-1)^{n+1-k}k!}{n!h^{n-k}}\left[\sum_{r=0}^{n-k}D_{k}^{r}[f]P_{r,0,r}-\sum_{r=f+1}^{n-k}D_{k}^{r}[f]P_{r,j+1,r}+\right.$

$\left.+\sum_{r=n+1-k}^{n+1-k+j}D_{k}^{r}[j]P_{r,r-n-1+k,j}\right]$ , pentru $x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right]$ ,

		$\displaystyle j=1,\ldots,n-k-1,$
		$\displaystyle f_{m}=\frac{(-1)^{n+1-k}k!}{n!h^{n-k}}\left[\sum_{r=0}^{n-k}D_{k}^{r}[f]P_{k,0,r}+\sum_{r=n+1-k}^{2n-2k+1}D_{k}^{r}[f]P_{r,r-n-1+k,n-k}\right],$
		$\displaystyle\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{2n-k},\lambda_{2n-k+1}\right],$
		$\displaystyle f_{m}=\frac{(-1)^{n+1-k}k!}{n!h^{n-k}}\left[\sum_{r=0}^{n-k}D_{k}^{r}[f]P_{r,0,r}+\sum_{r=n+1-k}^{j}D_{k}^{r}[f]P_{r,r-n-1+k,r+}\right.$
		$\displaystyle\left.+\sum_{k=j+1}^{n+1-k+j}D_{k}^{r}[f]P_{r,r-n-1+k}\right],\operatorname{pentru}x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],$
		$\displaystyle j=n-k+1,n-k+2,\ldots,m-n-1.$

Pentru a pune şi polinomul (70) sub o formă convenabilă, vom aplica formula de transformare

		$\displaystyle\quad\sum_{r=0}^{n}c_{r}f\left(\lambda_{r}\right)=(-1)^{k}k!h^{k}\sum_{r=0}^{n-k}D_{k}^{r}[f]\left[\sum_{s=0}^{r}\binom{k+s-1}{s}c_{r-s}\right]+$
		$\displaystyle+(-1)^{n}\sum_{r=n+1-k}^{n}(-1)^{r}(n-r)!h^{n-r-r}D_{n-r}^{r}[f]\left[\sum_{s=0}^{r}\binom{n-r+s}{s}c_{r-s}\right].$
		Să luăm

c_{r}=(-1)^{r}\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\binom{n+1}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n},r=0,1,\ldots,n

Dacă ținem seamă de formula bine cunoscută (vezi, de ex., E. Netto [8])
deducem

\sum_{s=0}^{l}(-1)^{s}\binom{s+a}{s}\binom{b}{t-s}=\binom{b-a-1}{t}

\begin{gathered}\sum_{s=0}^{r}\binom{k+s-1}{s}c_{r-s}=(-1)^{r}\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\left[\sum_{s=0}^{r-i}(-1)^{s}\binom{k+s-1}{s}\binom{n+1}{r-i-s}\right]\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n}=\\ =P_{r,0,r}\\ \sum_{s=0}^{r}\binom{n-r+s}{s}c_{r-s}=(-1)^{r}\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\binom{r}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n}\end{gathered}

de unde, în fine,

	$\displaystyle Q_{m}=\frac{(-1)^{n-k}k!}{n!h^{n-k}}\sum_{r=0}^{n-k}D_{k}^{r}(f]P_{r,0,r}+$
	$\displaystyle+\sum_{r=n+1-k}^{n}\left\{\frac{(n-r)!}{n!h^{r}}D_{n-r}^{r}[f]\left[\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\binom{r}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n}\right]\right\}.$		(74)

Vom calcula acum derivatele funcției (68). Să observăm că

\sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\binom{r}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n-k}=(-1)^{r}r!h^{r}D_{r}^{n}\left[(x-t)^{n-k}\right]

unde considerăm $x$ ca un parametru și $t$ ca variabila polinomului $(x-t)^{n-k}$ cărei diferenţă divizată se calculează pe nodurile $\lambda_{n},\lambda_{n+1},\ldots,\lambda_{n+r}$ . Insă, diferența divizată de ordinul $r$ a unui polinom de gradul $r-1$ este nulă identic. Rezultă că derivata de ordinul $k$ a celei de a doua sume a membrului al doilea al formulei (74), dispare. Se vede în acelaşi fel că $P_{r,r-n-1+k,r}^{(k)}=0$ pentru $r\geqq n+1-k$ .

Avem deci

	$\displaystyle\psi_{m}^{(k)}=$	$\displaystyle\frac{(-1)^{n-k}k!}{n!n^{n-k}}\sum_{r=0}^{n-k}D_{k}^{r}[f]P_{r,0,r}^{(k)}\quad\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{n}\right]$
	$\displaystyle\psi_{m}^{(k)}=$	$\displaystyle\frac{(-1)^{n+1-k}k!}{n!h^{n-k}}\left[-\sum_{r=j+1}^{n-k}D_{h}^{r}[f]P_{r,j+1,r}^{(k)}+\sum_{r=n+1-k}^{n+1-k+i}D_{k}^{r}[/]P_{r,i-n-1+k,j}^{(k)}\right]$
		$\displaystyle\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],j=1,\ldots,n-k-1$
	$\displaystyle\psi_{m}^{(k)}=$	$\displaystyle\frac{(-1)^{n+k-k}k!}{n!h^{n-k}}\sum_{r=j+1}^{n-k+j}D_{k}^{r}[f]P_{r,r-n-1+k,j}^{(k)}$
		$\displaystyle\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],j=n-k,n-k+1,\ldots,m-n-1$

Vom avea nevoie și de niste delimitări convenabile ale derivatelor de ordinul $k$ ale polinoamelor (73) care intervin în aceste formule.

Pentru $0\leqq s\leqq r\leqq n-k,x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{2n-k}\right]$ avem

\begin{gathered}\left|P_{r,s,r}^{(k)}\right|\leqq\frac{n!}{(n-k)!}\sum_{i=0}^{r}\binom{n+1-k}{r-i}\left|x-\lambda_{i+n}\right|^{n-k}=\\ =\frac{n!}{(n-k)!}\sum_{i=0}^{r}\binom{n+1-k}{i}\left|x-\lambda_{r+n-i}\right|^{n-k}\leqq\\ \leqq\frac{n!}{(n-k)!}\sum_{i=0}^{r}\binom{n+1-k}{i}\left[\max_{x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{2n-k}\right]}\left|x-\lambda_{r+n-i}\right|^{n-k}\right]\leqq\\ \leqq\frac{n!h^{n-k}}{(n-k)!}(2n-k)^{n-k}\left(2^{n+1-k}-1\right)\end{gathered}

Dacă deci punem

M=\frac{k!}{(n-k)!}(2n-k)^{n-k}\left(2^{n+1-k}-1\right)

(75)

avem, in particular,

\begin{gathered}\left|P_{r,0,r}^{(k)}\right|\leqq\frac{n!h^{n-k}}{k!}M,\quad\text{ pentru }0\leqq r\leqq n-k,\quad x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{n}\right]\\ \left\lvert\,P_{r,j+1,r}^{(k)}\leqq\frac{n!h^{n-k}}{k!}M\right.,\quad\text{ pentru }j+1\leqq r\leqq n-k,\quad x\in\left[\lambda_{j+11},\lambda_{j+n+1}\right]\\ \quad j=0,1,\ldots,n-k-1\end{gathered}

Pentru $j+1\leqq r\leqq n+1-k+j,x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],j=0,1,\ldots;n-n-1$ ,
avem

		$\displaystyle\left\|P_{r,r-n-1+k,j}^{(k)}\right\|\leqq\frac{n!}{(n-k)!i=r-n-1+k}\binom{n+1-k}{r-i}\left\|x-\lambda_{i+n}\right\|^{n-k}\leqq$
		$\displaystyle\leqq\frac{n!}{(n-k)!}\sum_{i=0}^{n+1-k+j-r}\binom{n+1-k}{i}_{x\in\left[\lambda_{j+n^{\prime}}\lambda_{j+n+1}\right]}\left\|x-\lambda_{r+k-1+i}\right\|^{n-k}\leqq$
		$\displaystyle\leqq\frac{n!h^{n-k}n+1-k+j-r}{(n-k)!}\sum_{i=0}\binom{n+1-k}{i}(n+2-k+j-r-i)^{n-k}\leqq$
		$\displaystyle\leqq\frac{n!h^{n-k}}{(n-k)!}\left(n+2-k+j-r^{\prime}\right)^{n-k}\sum_{i=0}^{n+1-k+i-r}\binom{n+1-k}{i}<$
		$\displaystyle<\frac{n!h^{n-k}}{(n-k)!}(n+1-k)^{n-k}\left(2^{n+1-k}-1\right)\leqq\frac{n!h^{n-k}}{k!}M.$

Se pot găsi şi delimitări mai bune. Am dat delimitări de acest fel într-o altă lucrare [15]. Pentru cele ce urmează este suficient să se observe că numărul (75) este independent de $m$ (și de $j$ ).
29. Putem actum demonstra

IEOREMA 14. - Firind dat numărul natural $n$ și întregul $k$ astfel ca $0\leqq k\leqq n-1$ , dacă functia $\mid$ admite $o$ derivată de ordinul $k$ continuă pe intersectia $I$ a intervalului tinit şi inchis $[a,b]$ cu un interval deschis,
sirul derivatelor de ordinul $k\left\{\psi_{m}^{(k)}\right\}$ , ale functiilor (68) converge uniform către derivata de ordinul $k,f^{(l)}$ , a functiei ! pentru $m\rightarrow\infty$ și pe orice subinterval inchis al lui $I$ .

Derivata de ordinul 0 a unei funcții coincide cu însăși funcția.
Concluzia enunțului însemnează că convergența este uniformă pe $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]\subseteq[a,b]$ dacă $f^{(k)}$ este continuu pe $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]$ si dacă, în plus, $a<a^{\prime}$ , este continuu și pe un interval $\left[a^{\prime\prime},a^{\prime}\right)$ cu $a<a^{\prime\prime}<a^{\prime}$ , iar dacă $b^{\prime}<b$ este continuu și pe un interval ( $b^{\prime},b^{\prime\prime}$ ] cu $b^{\prime}<b^{\prime\prime}<b$ .

Pentru a face demonstratia, vom delimita diferenta $f^{(k)}-\psi_{m}^{(k)}$ .

Dacă în expresia lui $\psi_{m}^{(k)}$ înlocuim toate diferentele divizate $D_{k}^{r}[f]$ prin 1, funcţia $f_{m}^{(k)}$ se anulează identic și polinomul $Q_{m}^{(k)}$ se reduce la

		$\displaystyle\frac{(-1)^{n-k}k!}{n!h^{n-k}}\sum_{r=0}^{n-k}P_{r,0,r}^{(k)}=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{(-1)^{n-k}k!}{(n-k)!h^{n-k}}\sum_{r=0}^{n-k}(-1)^{r}\left[\sum_{i=0}^{r}(1-)^{i}\binom{n+1-k}{r-i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n-k}\right]=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{(-1)^{n-k}k!}{(n-k)!h^{n-k}}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}\left[\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{r}\binom{n+1-k}{r-i}\right]\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n-k}=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{k!}{(n-k)!h^{n-k}}\sum_{i=1}^{n-k}(-1)^{i}\binom{n-k}{i}\left(x-\lambda_{i+n}\right)^{n-k}=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{k!}{(n-k)!}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}\binom{n-k}{i}(n-k-i)^{n-k}=k!$

În acest calcul am ținut seamă de o observație deja făcută asupra diferentelor divizate ale unui polinom. Se vede dar că expresia este independentă de $x$ și deci se poate lua (de ex.) $x=\lambda_{2n-k}$ .

Rezultă că diferența $f^{(k)}-\psi_{m}^{(k)}$ se obține din $\psi_{m}^{(k)}$ înlocuind pe $D_{k}^{r}[f]\operatorname{prin}\frac{f^{(k)}}{k!}-D_{k}^{r}[f],\quad r=0,1,\ldots,m-k$ .

Thinind seamă de calcu1ele făcute în mr. precedent, avem

\begin{gathered}\left|f^{(k)}-\psi_{m}^{(k)}\right|\leq M\sum_{r=0}^{n-k}\left|\frac{f^{(k)}}{k!}-D_{k}^{r}[j]\right|,\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{n}\right]\\ \left|f^{(k)}-\psi_{m}^{(k)}\right|\leq M\sum_{r=j+1}^{n+1-k+j}\left|\frac{f^{(k)}}{k!}-D_{k}^{r}[j]\right|,\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{y+n},\lambda_{j+n+1}\right]\\ j=0,1,\ldots,m-n-1\end{gathered}

Fie acum $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]$ un subinterval închis al lui $I$ . Să presupunem întîi că $a<a^{\prime}<b^{\prime}<b$ și fie atunci $a<a^{\prime\prime}<a^{\prime},b^{\prime}<b^{\prime\prime}<b$ , derivata de ordinul $k,f^{(k)}$ fiind continuă pe $\left[a^{\prime\prime},b^{\prime\prime}\right]$ . Să notăm cu $\omega_{k}(\delta)$ modulul de oscilatie a lui $\frac{1}{k!}f^{(k)}$ pe intervalul $\left[a^{\prime\prime},b^{\prime\prime}\right]$ .

Să luăm numărul natural $m$ destul de mare pentru ca să avem

m>\max\left(2n,\frac{n(b-a)}{a^{\prime}-a^{\prime\prime}},-\frac{b-a}{b^{\prime\prime}-b^{\prime}},\frac{2(b-a)}{b^{\prime\prime}-a^{\prime}}\right)

(76)

și să punem

j_{0}=\left\lfloor\frac{a^{\prime}-a}{h}\right\rfloor-n,\quad j_{1}=\left\lfloor\frac{b^{\prime\prime}-a}{h}\right\rfloor-n-1,\quad h=\frac{b-a}{m},

unde $\lfloor\alpha\rfloor$ înseamnă cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $\alpha$ .

Avem atunci $0\leq j_{0}+1,j_{0}\leqq j_{1}$ şi $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]\subseteq\left[\lambda_{j_{0}+n},\lambda_{j_{1}+n+1}\right]\subseteq\subseteq\left[\lambda_{j_{0}+1},\lambda_{j_{1}+n+1}\right]\subseteq\left[\overline{a^{\prime\prime}},b^{\prime\prime}\right]$ .

Dacă $j_{0}\leqq j\leqq j_{1},j+1\leqq r\leqq n+1-k+j$ , nodurile diferenței divizate $D_{k}^{r}[f]$ sînt în intervalul $\left[\lambda_{j+1},\lambda_{j+n+1}\right]\subseteq\left[a^{\prime\prime},b^{\prime\prime}\right]$ , unde $f^{(k)}$ este continuu. Există atunci un punct $\xi$ astfel ca

D_{k}^{r}[t]=\frac{1}{k!}f^{(k)}(\xi),\quad\xi\in\left[\lambda_{j+1},\lambda_{j+n+1}\right]

și rezultă că

\left|\frac{f^{(k)}}{k!}-D_{k}^{r}[f]\right|\leqq\omega_{k}(nh),\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right].

Avem deci

\left|f^{(k)}-\stackrel{{\scriptstyle i}}_{nn}^{(k)}\right|\leqq(n+1-k)M_{\omega_{k}}(nh),\text{ pentru }x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right]

j=j_{0},j_{0}-1-1,\ldots,j_{1}

deci, cu atît mai mult,

\left|f^{(k)}-\psi_{m}^{(k)}\right|\leqq(n+1-k)M\omega_{k}(nh),\text{ pentru }x\in\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]

(77)

care, pe baza proprietătilor bine cunoscute ale modulului de oscilație, al funcţiilor continue, demonstrează teorema în acest caz.

Este uşor de văzut că delimitarea (77) este valabilă și în celelalte cazuri posibile. Modificările care trebuie aduse demonstrației sînt următoarele :

Dacă $b^{\prime}=b$ , se suprimă termenul $\frac{b-a}{b^{\prime\prime}-b^{\prime}}$ , în membrul al doilea al formulei (76).

Dacă $a^{\prime}=a$ , se suprimă termenul $\frac{n(b-a)}{a^{\prime}-a^{\prime\prime}}$ în membrul al doilea al formulei (76) și se observă că pentru $j<0$ numărul $r$ este supus la condiţia ca $0\leqq r\leqq n-k$ . Nodurile diferenței divizate $D_{k}^{r}[/]$ sînt atunci in intervalul $\left[\bar{\lambda}_{0},\lambda_{n}\right]$ .

Teorema 14 este demonstrată.
30. Putem acum reveni la studiul criteriilor de simplicitate ale functionalelor liniare.

Fie $[a,b]$ un interval finit și închis și sǎ considerăm şirul neascendent de $k+1$ intervale partiale $\left[a_{0},b_{0}\right]\supseteqq\left[a_{1},b_{1}\right]\supseteq\ldots\supseteq\left[a_{k},b_{k}\right]$ , unde $a_{0}=a,b_{0}=b$ .

Fie $\bigodot_{k}$ spatiul functiilor $/$ care admit derivate continue de ordinul $i$ pe $\left[a_{i},b_{i}\right]$ pentru $i=0,1,\ldots,k$ şi să considerăm norma

\|f\|=\sum_{i=0}^{k}\max_{x\in\left[a_{i},b_{i}\right]}\left|f^{(i)}\right|

(78)

a acestui spaţiu.

Avem

TEOREMA 15. - Find dat numărul natural $n$ și întregul $k$ astfel ca $0\leqq h\leqq n-1$ , dacă functionala liniară $R[f]$ este : $1^{\circ}$ . definită pe $@_{k}$ , $2^{\circ}$ . de grad de exactitate $n,3^{\circ}$ . mărginită în raport cu norma (78) pentru ca $R[f]$ să fie de forma simplă este necesar si suficient ca să avem

R\left[x^{n+1}\right]R\left[\varphi_{n+1,\lambda}\right]\geqq 0,\text{ pentru }\lambda\in[a,b],

(79)

unde functiile $\varphi_{n+1,n}$ sînt definite de formula (64).
Să observăm că polinoamele şi funcţiile $\varphi_{n+1,\lambda}$ , aparțin spațiului $e_{k}$ .
Condiția este necesară. Intr-adevăr, $x^{n+1}$ este convex și $\varphi_{n+1,\lambda}$ este neconcav de ordinul $n$ . Proprietatea rezultă din formula (31).

Condiţia este şi suficientă. Prin ipoteză, avem

|R[f]|\leqq A\|f\|,\quad t\in\mathscr{C}_{k},

$A$ fiind un număr independent de funcția $f$ și $\|f\|$ norma (78).
Vom demonstra întîi că $R\left[\varphi_{n+1,\lambda}\right]$ este o funcție continuă de $\lambda$ pe $[a,b]$ . Intr-adevăr, avem

\varphi_{n+1,\lambda}-\varphi_{n+1,\lambda^{\prime}}|\leqq n|\lambda-\lambda^{\prime}\mid(b-a)^{n-1},x\in[a,b]

deci și $(0\leqq i\leqq n-1)$ ,

		$\displaystyle\left\|\varphi_{n+1,\lambda}^{(i)}-\varphi_{n+1,\lambda^{\prime}}^{(i)}\right\|=\frac{n!}{(n-i)!}\left\|\varphi_{n+1-i,\lambda}-\varphi_{n+1-i,\lambda^{\prime}}\right\|\leqq$
		$\displaystyle\leq\frac{n!}{(n-i-1)!}\left\|\lambda-\lambda^{\prime}\right\|(b-a)^{n-1-i},\quad x\in[a,b].$

Avem deci
$\left|R\left[\varphi_{n+1,\lambda}\right]-R\left[\varphi_{n+1,\lambda^{\prime}}\right]\right|=\left|R\left[\varphi_{n+1,\lambda}-\varphi_{n+1,\lambda^{\prime}}\right]\right|\leqq A\left\|\varphi_{n+1,\lambda}-\varphi_{n+1,\lambda^{\prime}}\right\|$ .
Dar,

\left\|\varphi_{n+1,\lambda}-\varphi_{n+1,\lambda^{\prime}}\right\|\leqq\left[\sum_{i=0}^{k}\frac{n!}{(n-i-1)!}(b-a)^{n-1-i}\right]\left|\lambda-\lambda^{\prime}\right|

de unde proprietatea rezultă fără nici o dificultate.
Prin ipoteză, $R\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ , deci $R\left[\varphi_{n+1,\lambda}\right]$ nut schimbă de semn cînd $\lambda$ parcurge intervalul $[a,b]$ . Să ne reamintim că o funcție convexă de ordinul $n$ pe $[a,b]$ are o derivată continuă de toate ordinele $\leq n-1$ pe $(a,b)$ . Dacă deci $f\in e_{k}$ este convex de ordinul $n$ , în virtutea teoremei 14 şirul $\left\{R\left[\psi_{m}\right]\right\}$ tinde către $R[f]$ pentru $m\rightarrow\infty$ . Dar, pe baza formulelor (68) - (70), avem $R\left[\psi_{m}\right]=R[f]=(n+1)h^{m-n-1}D_{n+1}^{i}[f]R\left[\varphi_{n+1,\lambda_{i+n}}\right]$ şi din (79) rezultă că dacă $f$ este convex de ordinul $n$ , avem

R\left[x^{n+1}\right]R[f]\geqq 0.

(80)

Rămîne să demonstrăm că în această formulă egalitatea nu poate avea loc. Am dat această demonstraţie în altă parte [15], aşa că mu mai revenim aici asupra ei.

Se deduce că pentru orice funcție $f\in\mathbb{C}_{k}$ convexă de ordinul $n$ semmul $>$ este valabil în (80), deci că $R[/]\neq 0$ .

Yeorema 15 este deci demonstrată.
31. Fie $R[/]$ o funcţională liniară definită pe $e_{k}$ şi mărginită in raport cu norma (78). Să presupunem că $0\leqq k\leqq n-1$ şi că $a=a_{0}==a_{1}=\ldots=a_{k},b=b_{0}=b_{1}=\ldots=b_{k}$ . Atunci, după E. Ya. Remez [22], dacă $R[f]$ este de gradul de exactitate $n$ , avem

R[f]=\int_{a}^{b}f^{(\mu)}(x)d\alpha_{\mu}(x)

(81)

unde $\mu$ este un întreg, $k\leqq\mu\leqq n+1$ si $\alpha_{\mu}$ o functie cu variaţia mărginită care, pentru $\mu\leqq\lambda$ , verifică egalitatea $\alpha_{\mu}(a)=\alpha_{\mu}(b)=0$ . Reprezentarea (81) este valabilă dacă derivata a $\mu-a,f^{(\mu)}$ este continuă pe $[a,b]$ . E. Ya. Remez a demonstrat [22] şi formulele

	$\displaystyle\alpha_{\mu+1}(x)=-\int_{a}^{b}\alpha_{\mu}(x)dx,\quad k\leqq\mu\leqq n$		(82)
	$\displaystyle R[f]=-\int_{a}^{b}f^{(\mu)}(x)\alpha_{\mu-1}(x)dx,\quad k+1\leqq\mu\leqq n+1$		(83)

In particular, funcția de $\lambda\varphi_{n+1,\lambda}$ admite o derivată continuă de ordinul $n-1$ pe $[a,b]$ . Avem deci, ținînd cont de (80), (81),

	$\displaystyle R\left[\varphi_{n+1,\lambda}\right]=$	$\displaystyle n!\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)d\alpha_{n-1}(x)=-n!\int_{\lambda}^{b}\alpha_{n-1}(x)dx=$
		$\displaystyle=n!\int_{a}^{\lambda}\alpha_{n-1}(x)dx=-n!\alpha_{n}(\lambda)$

Din (83) rezultă deci că dacă $f$ are o derivată de ordinul $n+1$ continux pe $[a,b]$ , avem reprezentarea

R[f]=\frac{1}{n!}\int_{a}^{b}R\left[\varphi_{n+1,\lambda}\right]f^{(n+1)}(x)dx

(84)

32.

Să reluăm formula (56) a lui Gauss. Am stabilit formula (57) sub ipoteza continuitătii funcţiei $f$ pe $[-1,1]$ si a derivatei sale pe $(-1,1)$ . Insă în cazul acesta functionala liniară $R[f]$ este mărginită pe spatiul $e_{0}$ al functiilor continue pe $[-1,1]$ , in raport cu norma max $|f|$ .

Formula (57) este, în particular, adevărată pentru funcțiile $f=\varphi_{2m,\lambda}$ care sînt neconcave de ordinul $2m-1$ . Se deduce că $R\left[\varphi_{2m,\lambda}\right]\geqq 0$ pentru $\lambda\in[-1,1]$ și, aplicînd teorema 15, rezultă că formula (57) este adevărată sub singura ipoteză a continuitătii functiei f pe intervalul $[a,b]$ .

§4.

83.

Vom examina în acest §, fără a întra în prea multe detalii, cazul cînd funcţionala liniară $R[f]$ nu este de forma simplă.

O funcţională liniară $R_{1}[f]$ definită pe $\mathscr{F}$ se numește o majorantă simplă a lui $R[f]$ dacă : $1^{\circ}$ . ea este de forma simplă, $2^{\circ}$ . avem $R_{1}[f]>R[f]$ pentru orice funcţie convexă $f\in\sqrt{f}$

Avem atunci

TEOREMA 16. - Dacă functionala liniară $R[f]$ definită pe $f$ admite majorantă simplă, avem

R[f]=K\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]-K^{\prime}\left[\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi_{n+2}^{\prime};f\right]

(85)

unde : $1^{\circ}.K,K^{\prime}$ sint numere diferite de zero și independente de functia $f,2^{\circ}$ . punctele $\xi_{i}\in E,i=1,2,\ldots n+2$ pe de o parte și punctele $\xi_{i}\in E,i==1,2,\ldots,n+2$ pe altă parte, sînt distincte (ele pot depinde, în general, de functia $f$ ).

Intr-adevăr, fie $R_{1}[f]$ o majorantă simplă a lui $R[f]$ . Avem $R[f]==R_{1}[f]-\left\{R_{1}[f]-R[f]\right\}$ , unde functionalele liniare $R_{1}[f],R_{1}[f]-$ - $R[f]$ sînt de forma simplă.

Să considerăm o funcțională liniară $R[f]$ definită pe $\mathbb{F}$ şi de forma (85) indicată în teorema 16. Dacă constantele $K,K^{\prime}$ sînt de semne contrare, $R[f]$ este de forma simplă. Este deci destul să examinăm cazul cînd $K,K^{\prime}$ sînt (diferite de zero şi) de acelaşi semn. Fără să restrîngem generalitatea, putem atunci presupune că ei sînt pozitivi. Avem atunci

L e m a 4. - Dacă functionala liniară $R[f]$ este definită pe spatiul (f şi dacă ea este de forma (85), indicată in teorema 16, pentru orice functie / $\in$ cu diferența divizată mărginită,
reprezentarea (85) este valabilă pentru orice $t\in\mathscr{F}$ (deci și pentru elementele $1ui$ $\widehat{f}$ care nu au diferența divizată mărginită).

Se vede uşor că lema 4 este o consecinţă a următoarei :
L e m a 5. - Dacă : $1^{\circ}$ . R[f] este o functională liniară definită pe ${f}$ , $2^{\circ}.K,K^{\prime}$ sînt două numere pozitive,
pentru orice $f\in\mathbb{F}$ a cărui diferență divizată nu este mărginită, se pot găsi $n+2$ puncte distincte $\xi_{i}\in E,i=1,2,\ldots,n+2$ şi $n+2$ puncte distincte $\xi_{i}^{\prime}\in E,i=1,2,\ldots,n+2$ , astfel ca să avem (85).

Să presupunem, pentru fixarea ideilor, că diferența divizată a funcției $f$ nu este mărginită superior, În virtutea teoremei 4 , dacă diferența divizată a acestei functii ia valoarea $m$ , ea va lua orice valoare mai mare decît $m$ . Fie atunci $m$ o valoare luată de diferenta

12 - Studii și cercetări de matematlcă
$\left[\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi_{n+2}^{\prime};f\right]$ o diferenţă divizată care ia o valoare $>\frac{mK-R[f]}{K^{\prime}}$ și $\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};t\right]$ o diferenţă divizată care ia valoarea

\frac{1}{K}\left\{K^{\prime}\left[\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi_{n+2}^{\prime};f\right]+R[f]\right\}>m.

Formula (85) rezultă.
Se procedează la fel dacă diferența divizată a funcției $f$ nu este mărginită inferior.

Lema 5 este deci demonstrată.
Reamintim că noțiunea de diferenţă divizată, de simplicitate a functionalelor liniare și spațiile considerate sînt în sensul de la § 1 .

Este clar că, în loc de majorante simple putem intrebuinţa minorante simple. Funcţionala liniară $R_{1}[f]$ definită pe $\mathscr{F}$ se numeşte o minorantă simplă pentru $R[t]$ dacă ea este de formă simplă şi dacă $R_{1}[t]<<R[f]$ pentru orice funcție concavă $f$ .

Pentru a putea pune o functională liniară $R[f]$ sub forma ( 85 ), este deci suficient de a cunoaște o majorantă (sau o minorantă) simplă. De exemplu, funcţionala liniară (58), care se anulează pe funcțiile (19) și care se poate deci pune sub forma (59), are ca o majorantă simplă funcționala liniară

\sum_{i=1}^{m-n-1}\frac{\left|\mu_{i}\right|+\mu_{i}}{2}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]+\mu\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};f\right],

unde $\mu$ este un număr pozitiv şi $x_{i}^{\prime},n+2$ puncte distincte ale intervalului $E$ . Toate funcţionalele liniare de forma (58) pot deci să fie puse sub forma (85), indicată în teorema 16.
34. Dacă funcţionala liniară $R[f]$ este de forma (85), diferența $K-K^{\prime}=R\left[f_{n+1}\right]$ are o valoare perfect determinată. Să presupunem că $K,K^{\prime}$ sînt pozitivi. Putem atunci înlocui $K,K^{\prime}$ prin $K+\varepsilon,K^{\prime}+\varepsilon$ respectiv, $\varepsilon$ fiind un număr pozitiv oarecare. Intr-adevăr, dacă avem (85) pentru un $f\in\mathbb{F}$ dat, avem $R[f]=R_{1}[f]-R_{2}[f]$ , unde $R_{1}[f]==K\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]+\varepsilon\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right],R_{2}[f]=K^{\prime}\left[\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi_{n+2}^{\prime};f\right]++\varepsilon\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]$ , unde $x_{i}$ sint $n+2$ puncte distincte ale intervalului $E$ . Putem privi pe $R_{1}[f],R_{2}[f]$ ca nişte functionale liniare definite pe $\mathscr{F}$ . Atunci ele sînt de forma simplă. Proprietatea enunţată rezultă observînd că $R_{1}\left[f_{n+1}\right]=K+\varepsilon,R_{2}\left[f_{n+1}\right]=K^{\prime}+\varepsilon$ .

Dacă $R\|f]$ este de forma (85) dar nu este de forma simplă, coeficienții $K,K^{\prime}$ , presupuşi pozitivi, au nişte margini inferioare ale căror valori prezintă interes mai ales cînd $R[f]$ este restul unei formule de aproximare. In acest sens vom examina un caz particular important în nr. următor.
35. Să presupunem iarăși că sîntem în cazul particular (21), (21’) și să considerăm o funcțională liniară $R[f]$ definită și mărginită pe spațiul $e_{k}$ considerat la nr. 30. Avem

TEOREMA 17. - Dacă : $1^{\circ}$ . functionala liniară $R[f]$ este definită pe $\bigodot_{k}$ , mărginită in raport cu norma (78) şi de gradul de exactitate $n$ , cu $R\left[x^{n+1}\right]>0,2^{\circ}$ . A este marginea superioară a lui $R[f]$ pentru functiile $f\in\mathbb{C}_{k}$ ale căror diferentă divizată de ordinul $n+1$ rămîne cuprinsă in $[0,1]$ si $B=A-R\left[x^{n+1}\right]$ ,
pentru orice $\varepsilon>0$ , functionala liniară $R[f]$ este de forma (85), indicată de teorema 16, unde $K=A+\varepsilon,K^{\prime}=B+\varepsilon$ .

Din demonstrație va rezulta că $A,B$ sînt finiți.
Avem $A>0$ deoarece, în particular, $x^{n+1}$ are diferența sa divizată de ordinul $n+1$ cuprinsă în $[0,1]$ . Avem evident $B\geq 0$ .

Dacă considerăm funcțiile (69), prin formula $R_{m}[f]=R\left[f_{m}\right]$ definim o funcţională liniară care, pentru $m\rightarrow\infty$ , tinde către $R[f]$ pentru orice $f\in e_{k}$ . Să punem

R_{m}^{+}[f]=(n+1)h\cdot\sum_{i=1}^{m-1}D_{n+1}^{i}[f]\frac{R\left[\varphi_{n+1,\lambda_{i+n}}\right]+\left|R\left[\varphi_{n+1,\lambda_{i+n}}\right]\right|}{2}

(86)

și să notăm cu $e_{k}^{*}$ submulțimea lui $e_{k}$ formată din funcțiile $f$ care au diferențele lor divizate de ordinul $n+1$ mǎrginite. De altfel orice funcţie definită pe $[a,b]$ , avînd diferența sa divizată de ordinul $n+1$ mărginită, aparține lui $\ell_{k}$ . Să observăm că funcția de $x,R\left[\varphi_{n+1,x}\right]$ fiind continuă pe $[a,b]$ , şirul cu termeni pozitivi

\left\{(n+1)h\sum_{i=1}^{m-n-1}\frac{R\left[\varphi_{n+1;\lambda_{i+n}}\right]+\left|R\left[\varphi_{n+1,\lambda_{i\div n}}\right]\right|}{2}\right\}

(87)

tinde, pentru $m\rightarrow\infty$ , către o limită finită și bine determinată egală cu

A=(n+1)\int_{a}^{b}\frac{\left.R\left[\varphi_{n+1,}x\right]+|R|\varphi_{n+1},x\right]\mid}{2}dx

(88)

Rezultă că şirul (87) este mărginit. Dacă $f\in\mathcal{C}_{k}^{*}$ , şirul $\left\{R_{m}^{+}[f]\right\}$ este de asemenca mărginit. Se poate extrage din acest șir un şir partial convergent către funcționala $R^{+}[f]$ . Se vede uşor că funcționala $R^{+}[f]$ astfel definită pe $e_{k}^{*}$ este liniară și se anulează pe orice polinom de gradul $n$ . Dar avem $R_{m}^{+}[f]>0,R_{m}^{\star}[f]\geqq R_{m}[f]$ dacă $f\in e_{k}$ este convex, deci $R^{+}[f]\geqq 0,R^{+}[f]\geqq R[f]$ dacă $f\in\mathbb{C}_{k}^{*}$ este convex. Rezultă imediat că dacă $\varepsilon$ este un număr pozitiv şi $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2},n+2$ puncte fixe ale intervalului $E$ , funcţionala liniară $R_{1}[f]=R^{+}[f]+\varepsilon\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]$ este o majorantă simplă a lui $R[f]$ . Se vecle uşor că $R_{1}\left[x^{n+1}\right]=A+\varepsilon$ , unde $A$ este dat de formula (88).

Rămîne să se demonstreze că numărul $A$ , dat de formula (88), coincide cu marginea superioară a lui $R[f]$ dacă $f$ parcurge mulțimea functiilor a căror diferență divizată de ordinul $n+1$ rămîne cuprinsă în $[0,1]$ . Dacă $f$ este o astfel de funcție, este clar că $R_{m}[f]$ nu depăseşte termenul general (corespunzător) al șirului ( 87 ). Trecînd la limită, rezultă că $R[f]$ nu cle-
păşeste pe $A$ . Fie acum $\varepsilon$ un număr pozitiv oarecare. Să ținem seamă de continuitatea functiei de $x,R\left[\varphi_{n+1,x}\right]$ , deci de continuitatea şi de nenegativitatea functiei de $x,\frac{1}{2}\left\{R\left[\varphi_{n+1,x}\right]+\mid R\left[\varphi_{n+1,x}\right]\right\}$ şi să observăm că punctele pe care o funcţie continuă pe $[a,b]$ se anulează, formează $o$ mulțime închisă. Rezultă că putem găsi un număr finit $k$ de intervale disjuncte $\left[\alpha_{i},\beta_{i}\right],i=1,2,\ldots,k$ , apartinînd lui $(a,b)$ şi astfel ca funcţia $R\left[\varphi_{n+1,x}\right]$ să fie nenegativă pe aceste intervale și astfel ca să avem

(n+1)\sum_{i=1}^{k}\int_{a_{i}}^{\beta_{i}}R\left[\varphi_{n+1,x}\right]dx>A-\frac{\varepsilon}{2}

(89)

Putem să presupunem $a<\alpha_{1}<\beta_{1}<\alpha_{2}<\beta_{2}<\ldots<\alpha_{k}<\beta_{k}<b$ . Fie $M=\max_{(n+1)\left|R\left[\varphi_{n+1,x}\right]\right|\text{ si să alegem punctele }\alpha_{i}^{\prime},\quad\beta_{i}^{\prime}\text{, }}i=1,2,\ldots,k$ astfel ca să avem $a<\alpha_{1}^{\prime}<\alpha_{1},\beta_{k}<\beta_{k}^{\prime}<b,\beta_{i-1}<\beta_{i-1}^{\prime}<<\alpha_{i}^{\prime}<\alpha_{i},\quad i=2,3,\ldots,k$ şi ca

M\sum_{i=1}^{k}\left(\alpha_{i}-\alpha_{i}^{\prime}+\beta_{i}^{\prime}-\beta_{i}\right)<\frac{\varepsilon}{2}.

(90)

Fie acum $f$ o funcţie a cărei derivată de ordinul $n+1$ există şi este continuă pe $[a,b]$ , această derivată reducîndu-se la $(n+1)$ ! pe intervalele $\left[\alpha_{i},\beta_{i}\right],i=1,2,\ldots,k$ , la 0 pe intervalele $\left[a,\alpha_{j}^{\prime}\right],\left[\beta_{k}^{\prime},b\right]$ , $\left[\beta_{i-1}^{\prime},\alpha_{i}\right],i=2,3,\ldots,k$ și la cîte o funcțe liniară pe fiecare dintre intervalele $\left[\alpha_{i}^{\prime},\alpha_{i}\right],\left[\beta_{i},\beta_{i}^{\prime}\right],i=1,2,\ldots,k$ . Funcța $f$ considerată aparține lui $e_{k}$ și formula (29) a mediei ne arată că diferenta sa divizată de ordinul $n+1$ rămîne cuprinsă in $[0,1]$ . Tinind seamă de reprezentarea ( 85 ), avem pentru această funcţie

	$\displaystyle R[f]=(n+1)\sum_{i=1}^{k}\int_{a_{i}}^{\beta_{i}}R\left[\varphi_{n+1,x}\right]dx+$
	$\displaystyle+(n+1)\left\{\sum_{i=1}^{k}\int_{a_{i}^{\prime}}^{a_{i}}R\left[\varphi_{n+1,x}\right]\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}dx+\sum_{i=1}^{k}\int_{\beta_{i}}^{\beta_{i}^{\prime}}R\left[\varphi_{n+1,x}\right]\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}dx\right\}.$		(91)

Însă

\begin{gathered}(n+1)\left|\sum_{i=1}^{k}\int_{a_{i}}^{a_{i}}+\sum_{i=1}^{k}\int_{\beta_{i}}^{\beta_{i}^{\prime}}R\left[\varphi_{n+1,x}\right]\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}dx\right|\leqq\\ \leqq(n+1)\left\{\sum_{i=1}^{k}\int_{a_{i}^{\prime}}^{a_{i}}+\sum_{i=1}^{k}\int_{\beta_{i}}^{\beta^{\prime}}\left|R\left[\varphi_{n+1,x}\right]\right|dx\right\}\leqq M\sum_{i=1}^{k}\left(\alpha^{i}-\alpha_{i}^{\prime}+\beta_{i}^{\prime}-\beta_{i}\right)<\frac{\varepsilon}{2}\end{gathered}

Ținind seamă de (89), (92), din formula (91) rezultă că $R[f]>A-\varepsilon$ . Numărul $A$ este deci marginea superioară indicată în enunţul teoremei.

Teorema 17 este deci demonstrată.
Ìn această teoremă am presupus $R\left[x^{n+1}\right]>0$ . In cazul contrar, deci dacă $R\left[x^{n+1}\right]<0$ , proprietatea și demonstraţia sînt analoage. In acest caz $B>0,A\geqq 0$ .

In cazurile $A=\overline{0}$ sau $B=0$ , functionala $R[f]$ este de formă simplă.
Este ușor de demonstrat că dacă $f\in C_{k}$ are o derivată de ordinul $n+1$ continuă pe $[a,b]$ , avem

R[f]=\frac{1}{(n+1)!}\left\{Af^{(n+1)}(\xi)-Bf^{(n+1)}(\eta)\right\},\quad\xi,\eta\in[a,b]

Dacă $f\epsilon e_{k}^{*}$ şi dacă $d$ este marginea superioară a valorii absolute a diferenței divizate de ordinul $n+1$ a lui $t$ , avem delimitarea

|R[f]|\leqq(A+B)d

36.

Există şi alte forme sub care se poate pune o funcțională liniară $R[f]$ , deci restul unei formule liniare de aproximare. Aceste expresii prezintă un interes mai ales atunci cînd $R[f]$ nu este de formă simplă.

Să presupunem că sîntem în cazul particular (21), (21’) și să presupunem că $R[f]$ este o funcțională liniară definită şi de grad de exacitate $n$ pe $\widehat{f}$ . Să considerăm o descompunere de forma

R[f]=R_{1}[f]+\left\{R[f]-R_{1}[f]\right\}

(93)

unde $R_{1}[t]$ este o functională liniară definită pe $(\tau$ și unde funcționala liniară (definită de asemenea pe $(f)R[f]-R_{1}[f]$ are un grad de exacitate $n+p>n$ . Atunci dacă $R_{1}[f]$ şi $R[f]-R_{1}[f]$ sînt de formă simplă, avem

R[f]=R\left[x^{n+1}\right]\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]+K\left[\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi_{n+p+2}^{\prime};f\right]

(94)

unde $K\neq 0$ este independent de funcţia $f$ şi $\xi_{i},\xi_{i}$ sînt grupe de $n+2$ resp. $n+p+2$ puncte distincte in $E$ .

Fără a avea pretenția de a face aici o teorie generală, vom arăta, pe două exemple, cum se poate găsi efectiv o reprezentare de forma (94) pentru restul anumitor formule de aproximare.
37. Să considerăm formula de cuadratură a lui Hardy,

\int_{0}^{6}f(x)dx=0,28[f(0)+f(6)]+1,62[f(1)+f(5)]+2,2f(3)+R[f]

Gradul de exactitate al restului $R[f]$ este 5 . Un calcul simplu ne arată că $R\left[\varphi_{6,3}\right]=\frac{81}{50}>0,\quad R\left[\varphi_{6,5}\right]=-\frac{17}{150}<0$ și deci, în virtutea teoremei 15, restul nu este de formă simplă.

Pentru a pune $R[f]$ sub forma (94) este avantajos să considerăm întîi functionala liniară $R^{*}[f]=R\left[f^{\prime}\right]$ , pe care am considerat-o deja în § precedent. Intr-adevăr, este destul să găsim o descompunere de forma (94) pentru această funcțională liniară. Descompunerea corespunzătoare pentru $R[f]$ , rezultă imediat.

Avem
$R^{*}[f]=-63[0,0,1,1,3,3,5,5;f]+190,8[0,1,1,3,3,5,5,6;f]-$

-63[1,1,3,3,5,5,6,6;f]

Fie

	$\displaystyle R_{1}[f]=\mu_{1}[0,0,1,1,3,3,5,5;f]+\mu_{2}[0,1,1,3,3,5,5,6;f]+$
	$\displaystyle+\mu_{3}[1,1,3,3,5,5,6,6;f]$		(95)

unde
Avem atunc $\mu_{1}+\mu_{2}+\mu_{3}=64,8$ .

R^{*}[f]-R_{1}[f]=6\left(63+\mu_{1}\right)[0,0,1,1,3,3,5,5,6;f]-

(96)

-6\left(63+\mu_{3}\right)[0,1,1,3,3,5,5,6,6;f]

(97)

care are un grad de exacitate $>6$ .
Functionalele liniare (95), (97) sînt de forma simplă dacă $\mu_{1}=\mu_{3},\mu_{2}$ sînt nenegativi. Găsim astfel următoarea expresie a restului în formula lui Hardy,

R[f]=\frac{9}{700}\left\{6!\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{2};f\right]-\frac{5\left(63+\mu_{1}\right)}{648}8!\left[\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{9};f\right]\right\}

unde $f$ este continuu pe $[0,6],\xi_{i}$ sint 7 puncte distincte iar $\eta_{i}$ sint 9 puncte distincte ale intervalului ( 0,6 ).

Din metoda particulară de demonstratie rezultă că în această formulă avem $0\leqq\mu_{1}\leqq 32,4$ .

Dacă $f$ are o derivată continuă de ordinul 8 pe ( 0,6 ), avem

R[f]=\frac{9}{700}\left\{f^{(6)}(\xi)-\frac{5\left(63+\mu_{1}\right)}{648}f^{(8)}(\eta)\right\},\quad\xi,\eta\in(0,6)

Dacă în această formulă punem $\mu_{1}=\frac{9}{5}$ , găsim restul bine cunoscut [24]

R[f]=\frac{9}{700}\left\{f^{(6)}(\xi)-\frac{1}{2}f^{(8)}(\eta)\right\},\quad\xi,\eta\in(0,6)

(98)

Dar putem lua și $\mu_{1}=0$ și atunci găsim

R[f]=\frac{9}{700}\left\{f^{(6)}(\xi)-\frac{35}{72}f^{(8)}(\eta)\right\},\quad\xi,\eta\in(0,6)

unde coeficientul $\frac{35}{72}$ este mai mic decît coeficientul corespondent $\frac{1}{2}$ din formula (98).
38. Ca o a doua aplicație, să luăm formula de cuadratură a lui Weddle,
⁶
$\int_{0}^{6}f(x)dx=0,3[f(0)+f(2)+f(4)+f(6)]+1,5[f(1)+f(5)]+1,8f(3)+R[f]$ , al cărei rest este încă de grad de exactitate 5. Avem $R\left[\varphi_{6,3}\right]=\frac{3}{10}>0$ , $R\left[\varphi_{6,4}\right]=-\frac{13}{30}<0$ , deci restul nu este de formă simplă. Procedînd ca la exemplul precedent, avem

\begin{gathered}\frac{5}{18}R^{*}[t]=-3[0,0,1,1,2,2,3,3;t]-4[0,1,1,2,2,3,3,4;t]+\\ +4[1,2,2,3,3,4,4,5;t]-4[2,3,3,4,4,5,5,6;t]-\\ -3[3,3,4,4,5,5,6,6;t]\end{gathered}

şi luăm

	$\displaystyle\frac{5}{18}R_{1}[f]=\mu_{1}[0,0,1,1,2,2,3,3;f]+\mu_{2}[0,1,1,2,2,3,3,4;f]+$
	$\displaystyle+\mu_{3}[1,1,2,2,3,3,4,4;f]+\mu_{4}[1,2,2,3,3,4,4,5;f]+$		(99)
	$\displaystyle+\mu_{3}[2,2,3,3,4,4,5,5;f]+\mu_{2}[2,3,3,4,4,5,5,6;f]+$
	$\displaystyle+\mu_{1}[3,3,4,4,5,5,6,6;f]$
	$\displaystyle 2\left(\mu_{1}+\mu_{2}+\mu_{3}\right)+\mu_{4}=-10$

şi atunci avem

$\displaystyle-\frac{5}{18}\left[R^{*}[f]\right.$	$\displaystyle\left.-R_{1}[f]\right]=16\left(\mu_{1}+3\right)[0,0,1,1,2,2,3,3,4,4;f]+$	(101)
	$\displaystyle+20\left(2\mu_{1}+\mu_{2}+10\right)[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5;f]+$
	$\displaystyle+16\left(3\mu_{1}+2\mu_{2}+\mu_{3}+17\right)[1,1,2,2,3,3,4,4,5,5;f]+$
	$\displaystyle+20\left(2\mu_{1}+\mu_{2}+10\right)[1,2,2,3,3,4,4,5,5,6;f]+$
	$\displaystyle+16\left(\mu_{1}+3\right)[2,2,3,3,4,4,5,5,6,6;f]$

Să luăm $\mu_{1}=-3,\mu_{2}=-2,\mu_{3}=\mu_{4}=0$ . Atunci (100) este veri-

R[f]=-\frac{1}{140}\left\{6!\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{7};f\right]+\frac{1}{5}8!\left[\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\mu_{3};f\right]\right\}

funcţia $/$ și punctele $\xi_{i},\eta_{i}$ verificind aceleași conditii ca şi în exemplul precedent (nr. 37). Dacă funcţia $f$ are o derivată continuă de ordinul 8 pe $(0,6)$ , avem

R[f]=-\frac{1}{140}\left\{f^{(6)}(\xi)+\frac{1}{5}f^{(8)}(\eta)\right\},\quad\xi,\eta\in(0,6)

În formula binecunoscută [24],

R[t]=-\frac{1}{140}\left\{f^{(6)}(\xi)+\frac{9}{10}f^{(8)}(\eta)\right\}\quad\xi,\eta\in(0,6)

coeficientul derivatei de ordinul 8 este de 4,5 ori mai mare în valoate absolută.

Să mai observăm că dacă, pe lîngă (100), avem şi

20\mu_{1}+9\mu_{2}+2\mu_{3}=-96,

(102)

putem scrie

	$\displaystyle-\frac{5}{18}\left\{R^{*}[f]-R_{1}[f]\right\}=400\left(\mu_{1}+3\right)[0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5;f]+$
	$\displaystyle+120\left(18\mu_{1}+5\mu_{2}+74\right)[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6;f]+$		(103)
	$\displaystyle+400\left(\mu_{1}+3\right)[1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6;f]$

Dacă luăm $\mu_{1}=-\frac{51}{11},\mu_{2}=-\frac{4}{11},\mu_{3}=\mu_{4}=0$ , egalitățile (100), (102) sînt verificate şi functionalele liniare (99), (103) sînt de forma simplă. Pentrú restul $R[t]$ al formulei lui Weddle obtinem

R[f]=-\frac{1}{140}\left\{6!\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{7};f\right]-\frac{61}{1815}10!\left[\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{11};f\right]\right\}

unde $f$ este continuu pe $[0,6],\xi_{i}$ sint 7 puncte distincte iar $\eta_{i}$ sint 11 puncte distincte ale intervalului $(0,6)$

Dacă funcția $f$ are o derivată continuă de ordinul 10 pe ( 0,6 ), avem

R[f]=-\left\{\frac{1}{140}f^{(6)}(\xi)-\frac{61}{8115}f^{(10)}(\eta)\right\},\quad\xi,\eta\in(0,6).

Asupra restului în unele formule liniare de aproximare ale analizei

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe

Lucrare in format HTML

ASUPRA RESTULUI IN UNELE FORMULE LINIARE DE APROXIMARE ALE ANALIZEI

§ 1.

§ 2.

§ 3.

Avem

§4.

Avem atunci

Related Posts